河南省洛阳市中成外国语学校高中数学学案《数列求和》二

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精【考纲要求】1.熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；2。能运用倒序相加、错位相减、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算；3。熟记一些常用的数列的和的公式．【自主复习】思考:等差数列、等比数列求和公式推导过程.(一）主要知识：1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。（1）等差数列的求和公式:（2）等比数列的求和公式（切记:公比含字母时一定要讨论）2．公式法:3．错位相减法：比如4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。常见拆项公式：（1)（2)（3）5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列，再求和。6．合并求和法：如求的和。7．倒序相加法：【基础自测】1．在数列中，，则项数n为 (c)A．9 B．10 C．99 D．1002．数列1，(1+2）,（1+2+22）,…，（1+2+22+…+2n－1），…的前n项和等于 （B） A． B． C． D．3．设= （C） A．－1 B．0 C．1 D．24．数列1, （B） A． B． C． D．【要点探究】探究点1公式法求和与分组法求和例1已知数列eq\b\lc\｛\rc\}(\a\vs4\al\co1（an)）的通项an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（6n－5n为奇数，，4nn为偶数，））求Sn。[解答]易知奇数项中,a1＝1，d＝12；偶数项中，a2＝16，q＝16。当n为偶数时，eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1(an))中奇数项与偶数项各占eq\f(n,2)项，所以有Sn＝S奇＋S偶＝eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(\f(n，2）a1＋\f（\f(n，2）\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(n，2)－1））,2)d））＋eq\f(a2\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（1－q\f（n,2））），1－q)＝eq\f(1，2)（3n2－5n）＋eq\f(1,15）（4n＋2－16）．当n为奇数时,奇数项总共有eq\f（n＋1，2)项，偶数项共有eq\f（n－1,2)项，所以有Sn＝S奇＋S偶＝eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（\f（n＋1,2）a1＋\f（\f（n＋1,2）\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(n＋1,2）－1)）,2）d)）＋eq\f(a2\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（1－q\f(n－1,2)）)，1－q）＝eq\f（1，2)(3n2＋n－2)＋eq\f（1,15）(4n＋1－16)．【合作探究】1、求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n项和解、探究点2裂项相消法例2已知数列eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1（an)）的通项公式是an＝4n－2n,其前n项和为Sn，求数列eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1(\f（2n,Sn）)）的前n项和Tn.[解答］根据公式法Sn＝eq\f（4（1－4n）,1－4)－eq\f（2（1－2n）,1－2）＝eq\f(1，3）(4n＋1－3·2n＋1＋2）＝eq\f(1，3）(2n＋1－1)(2n＋1－2)＝eq\f(2,3）(2n＋1－1)（2n－1)，故eq\f(2n,Sn)＝eq\f(3,2)·eq\f(2n，（2n＋1－1)（2n－1）)由于（2n＋1－1)－（2n－1）＝2n，所以eq\f(2n，Sn）＝eq\f（3,2）·eq\f（（2n＋1－1)－（2n－1），（2n＋1－1）（2n－1））＝eq\f（3,2)eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，2n－1）－\f(1,2n＋1－1））),所以Tn＝eq\f(3,2)[(eq\f(1,21－1)－eq\f（1,22－1））＋﹙eq\f（1，22－1）－eq\f(1,23－1)﹚＋…＋（eq\f(1,2n－1）－eq\f(1,2n＋1－1））］＝eq\f(3，2)（1－eq\f（1，2n＋1－1））＝3·eq\f（2n－1，2n＋1－1)【合作探究】.求和解：探究点3．错位相减法求和例3、等比数列{an｝的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点（n,Sn）均在函数y＝bx＋r(b〉0且b≠1，b，r均为常数）的图象上．（1）求r的值;（2）当b＝2时，记bn＝eq\f(n＋1,4an）（n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn。[解答]（1）因为对任意的n∈N＊，点（n，Sn）均在函数y＝bx＋r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图象上，所以得Sn＝bn＋r，当n＝1时，a1＝S1＝b＋r，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝bn＋r－（bn－1＋r）＝bn－bn－1＝(b－1）bn－1，又因为{an}为等比数列，所以an＝(b－1)bn－1，所以r＝－1，公比为b.(2)当b＝2时，an＝（b－1）bn－1＝2n－1，bn＝eq\f(n＋1，4an)＝eq\f(n＋1,4×2n－1）＝eq\f（n＋1，2n＋1)，则Tn＝eq\f（2，22）＋eq\f(3,23）＋eq\f(4，24）＋…＋eq\f(n＋1,2n＋1)，eq\f（1,2)Tn＝eq\f(2,23)＋eq\f(3,24）＋eq\f(4，25）＋…＋eq\f（n,2n＋1）＋eq\f(n＋1，2n＋2)，相减得eq\f(1,2）Tn＝eq\f(2，22）＋eq\f（1,23）＋eq\f（1，24)＋eq\f（1，25)＋…＋eq\f(1，2n＋1)－eq\f（n＋1,2n＋2）＝eq\f（1，2)＋eq\f（\f(1,23）×（1－\f（1，2n－1））,1－\f（1,2))－eq\f(n＋1，2n＋2）＝eq\f（3,4)－eq\f(1,2n＋1）－eq\f(n＋1，2n＋2)，所以Tn＝eq\f（3,2)－eq\f（1,2n）－eq\f(n＋1，2n＋1)＝eq\f（3,2）－eq\f(n＋3,2n＋1)。【合作探究】求答案：【方法总结】：1、数列的求和要有通项意识，先要对通项特征进行分析（数列的通项决定了数列的求和方法），再确定数列求和的方法。2、数列常用的求和方法有五种：求和五法一公二错三分四裂五倒，最后一定要牢记，公比为1不为1【自我检测】求下列数列的前项和：（1）5，55,555，5555，…，,