二次函数在闭区间上的最值课件

二次函数在闭区间上的最值1二次函数在闭区间上的最值11求下列函数的最大值和最小值。1.2.3.4.预习检测求下列函数的最大值和最小值。1.2.3.4.预习检测2二次函数在闭区间上的最值课件3二次函数在闭区间上的最值课件4学习目标：能利用数形结合、分类讨论思想求闭区间上二次函数最值重点：二次函数在闭区间上最值（1）轴定区间变（2）轴定区间定（3）轴变区间定难点：

数形结合、分类讨论思想学习目标：5例1.求函数y=-x2-2x+3在区间[-2,3]上的最值oxyX=-1-313-24-12解：∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4∴函数的对称轴为直线x=-1∴

-2≤-1≤3∴当x=-1时，y的最大值为f(-1)=4当x=3时，y的最小值为f(3)=-12一、定函数定区间问题引导下的再学习例1.求函数y=-x2-2x+3在区间[-2,3]上的最值o6例2、已知函数y=ax2+2ax+1-a在区间[0,1]上有最大值2，求实数a的值yx10-1a＞0解：当a=0时，f(x)=1（不合题意）当a≠0时，f(x)=a(x+1)2+1-2a，x∈[0,1](1)当a＞0时，f(x)max=f(1)=2a+1=2，∴a=

0.5

二、定区间定轴动函数例2、已知函数y=ax2+2ax+1-a在区间[0,1]上有7例2、已知函数y=ax2+2ax+1-a在区间[0,1]上有最大值2，求实数a的值yx10-1a＜0(2)当a<0时，f(x)max=f(0)=1-a=2，

∴a=-1例2、已知函数y=ax2+2ax+1-a在区间[0,1]上有8例2、已知函数y=ax2+2ax+1-a在区间[0,1]上有最大值2，求实数a的值解：当a=0时，f(x)=1（不合题意）当a≠0时，f(x)=a(x+1)2+1-2a，x∈[0,1](1)当a＞0时，f(x)max=f(1)=2a+1=2，∴a=0.5

(2)当a<0时，f(x)max=f(0)=1-a=2，

∴a=-1综上所述：a=0.5或a=-1yx10-1a＞0yx10-1a＜0例2、已知函数y=ax2+2ax+1-a在区间[0,1]上有9解：∵函数的对称轴为直线x=a⑴当a≤0时y的最大值为f(0)=1-a例3求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最大值.

yOx10X=a三、定区间动轴动函数解：∵函数的对称轴为直线x=a例3求函数y=-x2+10(2)当0＜a＜1时y的最大值为f(a)=a2-a+1

例3求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最大值.

Oxy10X=a(2)当0＜a＜1时例3求函数y=-x2+2a11(3)当a≥1时y的最大值为f(1)=4+a

例3求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最大值.

xy10X=a(3)当a≥1时例3求函数y=-x2+2ax+112例3求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最大值.

解：∵函数的对称轴为直线x=a⑴当a≤0时

y的最大值为f(0)=1-a(2)当0＜a＜1时

y的最大值为f(a)=a2-a+1(3)当a≥1时

y的最大值为f(1)=4+a

yOx10X=aOxy10X=axy10X=a例3求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]13思考1：函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最大值为2，求a的值.解：∵函数的对称轴为直线x=a⑴当a≤

0时当x=0时y的最大值为2∴a=-1(2)当0＜

a＜1时当x=a时y的最大值为2∴a=-1（舍去）(3)当a≥1时当x=1时y的最大值为2∴a=2综上所述：a=-1或a=2yOx10X=aOxy10X=axy10X=a课堂检测思考1：函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的14思考2：求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最小值.yOx10X=aOxy10X=axy10X=a思考2：求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上15思考2：求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最小值.1）当＜时，y的最小值为f(1)=4+a2）当≥时，y的最小值为f(0)=1-a

2121Oxy10X=a解：∵函数的对称轴为直线x=a思考2：求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上16解：∵函数的对称轴为直线x=a⑴当a≤0时y的最小值为f(1)=4+ay的最大值为f(0)=1-a变题1求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最值.

yOx10X=a完全达标教学解：∵函数的对称轴为直线x=a变题1求函数y=-x217(2)当0＜

a＜1时y的最大值为f(a)=a2-a+11）当0＜

a＜时，y的最小值为f(1)=4+a2）当1＞

a≥时，y的最小值为f(0)=1-a

2121变题1求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最值.

Oxy10X=a(2)当0＜a＜1时2121变题1求函数y=-18(3)当a≥1时y的最大值为f(1)=4+ay的最小值为f(0)=1-a

变题1求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最值.

xy10X=a(3)当a≥1时变题1求函数y=-x2+2ax+19变题1求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最值.

解：∵函数的对称轴为直线x=a⑴当a≤

0时y的最大值为f(0)=1-ay的最小值为f(1)=4+a(2)当0＜

a＜1时y的最大值为f(a)=a2-a+11）当0＜

a＜时，y的最小值为f(1)=4+a2）当1

＞

a≥时，y的最小值为f(0)=1-a(3)当a≥1时y的最大值为f(1)=4+ay的最小值为f(0)=1-a2121yOx10X=aOxy10X=axy10X=ayOx10X=aOxy10X=axy10X=a变题1求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,120求二次函数f(x)=ax2+bx+c在[m，n]上的最值的方法：一看开口方向；二看对称轴与区间的关系.

（2）当x0∈[m，n]时，f(m)、f(n)、f(x0）中的较大者是最大值,较小者是最小值；

（1）检查x0=

是否属于[m，n]；（3）当x0[m，n]时，f(m)、f(n)中的较大者是最大值，较小者是最小值.课堂小结求二次函数f(x)=ax2+bx+c在[m，n]上的最值的方21二次函数在闭区间上的最值2二次函数在闭区间上的最值222O-2xy2-11.分别在下列各范围上求函数y=x2+2x－3的最值.(2)(3)(1)R(4)31ymin=-4，无最大值ymax=5ymin=-4ymax=12ymin=0预习检测O-2xy2-11.分别在下列各范围上求函数y=x2+23O-2xy2-1(2)(3)(1)R(3)(4)①当-2≤a<-1时aymax=-3,ymin=a2+2a-31.分别在下列各范围上求函数y=x2+2x－3的最值.O-2xy2-1(2)(3)(1)R(3)(4)①当-224O-2xy2-1(2)(3)(1)R(4)②当-1≤a≤0时a①当-2≤a<-1时ymax=-3,ymin=a2+2a-3ymax=-3,ymin=-4ymax=-3,ymin=a2+2a-31.分别在下列各范围上求函数y=x2+2x－3的最值.O-2xy2-1(2)(3)(1)R(4)②当-1≤a≤25O-2xy2-1(2)(1)R(4)③当a>0时a②当-1≤a≤0时①当-2≤a<-1时(3)ymax=a2+2a-3，ymin=-4ymax=-3,ymin=a2+2a-3ymax=-3,ymin=-41.分别在下列各范围上求函数y=x2+2x－3的最值.O-2xy2-1(2)(1)R(4)③当a>0时a②当-126学习目标：能利用数形结合、分类讨论思想求闭区间上二次函数最值重点：二次函数在闭区间上最值（4）定函数动区间（5）动轴动区间难点：

数形结合、分类讨论思想学习目标：27例1、已知函数f(x)=x2–2x–3.（1）若x∈[–2，0],求函数f(x)的最值；10xy–23问题引导下的再学习例1、已知函数f(x)=x2–2x–3.10xy–2328例1、已知函数f(x)=x2–2x–3.（1）若x∈[–2，0]，求函数f(x)的最值；10xy234–1（2）若x∈[2，4]，求函数f(x)的最值；问题引导下的再学习例1、已知函数f(x)=x2–2x–3.10xy229例1、已知函数f(x)=x2–2x–3.（1）若x∈[–2，0]，求函数f(x)的最值；（2）若x∈[2，4]，求函数f(x)的最值；y10x234–1

（3）若x∈[],求函数f(x)的最值；例1、已知函数f(x)=x2–2x–3.y10x230例1、已知函数f(x)=x2–2x–3（1）若x∈[–2，0]，求函数f(x)的最值；（2）若x∈[2，4]，求函数f(x)的最值；（3）若x∈[]，求函数f(x)的最值；

10xy234–1

（4）若x∈[]，求函数f(x)的最值；

例1、已知函数f(x)=x2–2x–310xy233110xy234–1（5）若x∈[t，t+2]时，求函数f(x)的最值.tt+2例1、已知函数f(x)=x2–2x–3.（1）若x∈[–2，0],求函数f(x)的最值；（2）若x∈[2，4]，求函数f(x)的最值；（3）若x∈[]，求函数f(x)的最值；（4）若x∈[]，求函数f(x)的最值；

10xy234–1（5）若x∈[t，t+2]时，t3210xy234–1tt+2例1、已知函数f(x)=x2–2x–3.（1）若x∈[–2，0],求函数f(x)的最值；（2）若x∈[2，4]，求函数f(x)的最值；（3）若x∈[]，求函数f(x)的最值；（4）若x∈[]，求函数f(x)的最值；（5）若x∈[t，t+2]时，求函数f(x)的最值.

10xy234–1tt+2例1、已知函数f(x)=3310xy234–1tt+2例1、已知函数f(x)=x2–2x–3.（1）若x∈[–2，0],求函数f(x)的最值；（2）若x∈[2，4]，求函数f(x)的最值；（3）若x∈[]，求函数f(x)的最值；（4）若x∈[]，求函数f(x)的最值；（5）若x∈[t，t+2]时，求函数f(x)的最值.

10xy234–1tt+2例1、已知函数f(x)=3410xy234–1tt+2例1、已知函数f(x)=x2–2x–3.（1）若x∈[–2，0],求函数f(x)的最值；（2）若x∈[2，4]，求函数f(x)的最值；（3）若x∈[]，求函数f(x)的最值；（4）若x∈[]，求函数f(x)的最值；（5）若x∈[t，t+2]时，求函数f(x)的最值.

10xy234–1tt+2例1、已知函数f(x)=3510xy234–1tt+2例1、已知函数f(x)=x2–2x–3.（1）若x∈[–2，0],求函数f(x)的最值；（2）若x∈[2，4]，求函数f(x)的最值；（3）若x∈[]，求函数f(x)的最值；（4）若x∈[]，求函数f(x)的最值；（5）若x∈[t，t+2]时，求函数f(x)的最值.

10xy234–1tt+2例1、已知函数f(x)=36评注：例1属于“轴定区间变”的问题，看作动区间沿x轴移动的过程中，函数最值的变化，即动区间在定轴的左、右两侧及包含定轴的变化，要注意开口方向及端点情况。10xy234–1tt+2评注：例1属于“轴定区间变”的问题，看作动区间沿x轴移动的过37例2、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间[–1，2]上的最值.10xy2–1问题引导下的再学习例2、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间138例2、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间[–1，2]上的最值.10xy2–1例2、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间139例2、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间[–1，2]上的最值.10xy2–1例2、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间140例2、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间[–1，2]上的最值.10xy2–1例2、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间14110xy2–110xy2–1例2、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间[–1，2]上的最值.10xy2–110xy2–1例2、求函数f(x)4210xy2–110xy2–1例2、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间[–1，2]上的最值.10xy2–110xy2–1例2、求函数f(x)43评注：例2属于“动轴定区间”的问题，看作对称轴沿x轴移动的过程中,函数最值的变化,即对称轴在定区间的左、右两侧及对称轴在定区间上变化情况,要注意开口方向及端点情况。10xy2–110xy2–1评注：例2属于“动轴定区间”的问题，看作对称轴沿x轴移动的过44例3、已知函数f(x)=x2+ax+b，x∈[0,1]，试确定a、b,使f(x)的值域是[0,1].10xy2–1例3、已知函数f(x)=x2+ax+b，x∈[0,1]，1045例3、已知函数f(x)=x2+ax+b，x∈[0,1]，试确定a、b,使f(x)的值域是[0,1].10xy2–1例3、已知函数f(x)=x2+ax+b，x∈[0,1]，1046例3、已知函数f(x)=x2+ax+b，x∈[0,1]，试确定a、b,使f(x)的值域是[0,1].10xy2–1例3、已知函数f(x)=x2+ax+b，x∈[0,1]，1047例3、已知函数f(x)=x2+ax+b，x∈[0,1]，试确定a、b,使f(x)的值域是[0,1].10xy2–1例3、已知函数f(x)=x2+ax+b，x∈[0,1]，1048例3、已知函数f(x)=x2+ax+b，x∈[0,1]，试确定a、b,使f(x)的值域是[0,1].10xy2–1例3、已知函数f(x)=x2+ax+b，x∈[0,1]，1049函数f(x)=x2-2x-3在闭区间[t,t+1](t∈R)上的最小值记为g(t),试写出g(t)的函数表达式，并求出g(t)的最小值。解：f(x)=(x-1)2-41)当t＞

1时，g(t)=f(t)=t2-2t-32)当t≤

1≤

t+1时，g(t)=f(1)=-43)当1＞

t+1时，g(t)=f(t+1)=t2-4∴g(t)=t2-2t-3t＞

1-40≤

t

≤

1

t2-4

t＜

0∴g(t)min=-4四、定函数动区间函数f(x)=x2-2x-3在闭区间[t,t+1](t∈R)501.求函数y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值解:函数图象的对称轴方程为x=,又x∈[-1,a]故a>-1,>-,∴对称轴在x=-的右边.∴(1)当-1<≤a时,即a≥0时,由二次函数图象可知:ymax=f()=

xyo-1a(2)当a<时,即-1<a<0时,

五、动轴动区间1.求函数y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值解:51综上所述:当-1<a<0时,ymax=0当a≥0时,ymax=

求函数y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值解:函数图象的对称轴方程为x=,又x∈[-1,a]故a>-1,>-,∴对称轴在x=-的右边.∴(1)当-1<≤a时,即a≥0时,由二次函数图象可知:ymax=f()=

(2)当a<时,即-1<a<0时,

axyo-1由二次函数的图象可知:ymax=f(a)=0综上所述:当-1<a<0时,ymax=0求函数y=-x(52课堂检测课堂检测53∵f(x)

在区间[0,2]上的最小值为

3,∴可分情况讨论如下:2.已知函数

f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2

在区间[0,2]上有最小值

3,

求实数

a

的值.解:由已知

f(x)=4(x

-)2-

2a+2.a2a2(1)当≤0,即

a≤0

时,函数

f(x)

在[0,2]上是增函数.∴

f(x)min=f(0)=a2-2a+2.a2(2)当

0<<2,即

0<a<4

时,a2f(x)min=f()=-2a+2.由

-2a+2=3

得:a=-

12

(0,4),舍去.a2(3)当≥2,即

a≥4

时,函数

f(x)

在[0,2]上是减函数.∴

f(x)min=f(2)=a