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文档简介
二次函数在闭区间上的最值1二次函数在闭区间上的最值11求下列函数的最大值和最小值。1.2.3.4.预习检测求下列函数的最大值和最小值。1.2.3.4.预习检测2二次函数在闭区间上的最值课件3二次函数在闭区间上的最值课件4学习目标:能利用数形结合、分类讨论思想求闭区间上二次函数最值重点:二次函数在闭区间上最值(1)轴定区间变(2)轴定区间定(3)轴变区间定难点:
数形结合、分类讨论思想学习目标:5例1.求函数y=-x2-2x+3在区间[-2,3]上的最值oxyX=-1-313-24-12解:∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4∴函数的对称轴为直线x=-1∴
-2≤-1≤3∴当x=-1时,y的最大值为f(-1)=4当x=3时,y的最小值为f(3)=-12一、定函数定区间问题引导下的再学习例1.求函数y=-x2-2x+3在区间[-2,3]上的最值o6例2、已知函数y=ax2+2ax+1-a在区间[0,1]上有最大值2,求实数a的值yx10-1a>0解:当a=0时,f(x)=1(不合题意)当a≠0时,f(x)=a(x+1)2+1-2a,x∈[0,1](1)当a>0时,f(x)max=f(1)=2a+1=2,∴a=
0.5
二、定区间定轴动函数例2、已知函数y=ax2+2ax+1-a在区间[0,1]上有7例2、已知函数y=ax2+2ax+1-a在区间[0,1]上有最大值2,求实数a的值yx10-1a<0(2)当a<0时,f(x)max=f(0)=1-a=2,
∴a=-1例2、已知函数y=ax2+2ax+1-a在区间[0,1]上有8例2、已知函数y=ax2+2ax+1-a在区间[0,1]上有最大值2,求实数a的值解:当a=0时,f(x)=1(不合题意)当a≠0时,f(x)=a(x+1)2+1-2a,x∈[0,1](1)当a>0时,f(x)max=f(1)=2a+1=2,∴a=0.5
(2)当a<0时,f(x)max=f(0)=1-a=2,
∴a=-1综上所述:a=0.5或a=-1yx10-1a>0yx10-1a<0例2、已知函数y=ax2+2ax+1-a在区间[0,1]上有9解:∵函数的对称轴为直线x=a⑴当a≤0时y的最大值为f(0)=1-a例3求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最大值.
yOx10X=a三、定区间动轴动函数解:∵函数的对称轴为直线x=a例3求函数y=-x2+10(2)当0<a<1时y的最大值为f(a)=a2-a+1
例3求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最大值.
Oxy10X=a(2)当0<a<1时例3求函数y=-x2+2a11(3)当a≥1时y的最大值为f(1)=4+a
例3求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最大值.
xy10X=a(3)当a≥1时例3求函数y=-x2+2ax+112例3求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最大值.
解:∵函数的对称轴为直线x=a⑴当a≤0时
y的最大值为f(0)=1-a(2)当0<a<1时
y的最大值为f(a)=a2-a+1(3)当a≥1时
y的最大值为f(1)=4+a
yOx10X=aOxy10X=axy10X=a例3求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]13思考1:函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最大值为2,求a的值.解:∵函数的对称轴为直线x=a⑴当a≤
0时当x=0时y的最大值为2∴a=-1(2)当0<
a<1时当x=a时y的最大值为2∴a=-1(舍去)(3)当a≥1时当x=1时y的最大值为2∴a=2综上所述:a=-1或a=2yOx10X=aOxy10X=axy10X=a课堂检测思考1:函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的14思考2:求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最小值.yOx10X=aOxy10X=axy10X=a思考2:求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上15思考2:求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最小值.1)当<时,y的最小值为f(1)=4+a2)当≥时,y的最小值为f(0)=1-a
2121Oxy10X=a解:∵函数的对称轴为直线x=a思考2:求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上16解:∵函数的对称轴为直线x=a⑴当a≤0时y的最小值为f(1)=4+ay的最大值为f(0)=1-a变题1求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最值.
yOx10X=a完全达标教学解:∵函数的对称轴为直线x=a变题1求函数y=-x217(2)当0<
a<1时y的最大值为f(a)=a2-a+11)当0<
a<时,y的最小值为f(1)=4+a2)当1>
a≥时,y的最小值为f(0)=1-a
2121变题1求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最值.
Oxy10X=a(2)当0<a<1时2121变题1求函数y=-18(3)当a≥1时y的最大值为f(1)=4+ay的最小值为f(0)=1-a
变题1求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最值.
xy10X=a(3)当a≥1时变题1求函数y=-x2+2ax+19变题1求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,1]上的最值.
解:∵函数的对称轴为直线x=a⑴当a≤
0时y的最大值为f(0)=1-ay的最小值为f(1)=4+a(2)当0<
a<1时y的最大值为f(a)=a2-a+11)当0<
a<时,y的最小值为f(1)=4+a2)当1
>
a≥时,y的最小值为f(0)=1-a(3)当a≥1时y的最大值为f(1)=4+ay的最小值为f(0)=1-a2121yOx10X=aOxy10X=axy10X=ayOx10X=aOxy10X=axy10X=a变题1求函数y=-x2+2ax+1-a在区间[0,120求二次函数f(x)=ax2+bx+c在[m,n]上的最值的方法:一看开口方向;二看对称轴与区间的关系.
(2)当x0∈[m,n]时,f(m)、f(n)、f(x0)中的较大者是最大值,较小者是最小值;
(1)检查x0=
是否属于[m,n];(3)当x0[m,n]时,f(m)、f(n)中的较大者是最大值,较小者是最小值.课堂小结求二次函数f(x)=ax2+bx+c在[m,n]上的最值的方21二次函数在闭区间上的最值2二次函数在闭区间上的最值222O-2xy2-11.分别在下列各范围上求函数y=x2+2x-3的最值.(2)(3)(1)R(4)31ymin=-4,无最大值ymax=5ymin=-4ymax=12ymin=0预习检测O-2xy2-11.分别在下列各范围上求函数y=x2+23O-2xy2-1(2)(3)(1)R(3)(4)①当-2≤a<-1时aymax=-3,ymin=a2+2a-31.分别在下列各范围上求函数y=x2+2x-3的最值.O-2xy2-1(2)(3)(1)R(3)(4)①当-224O-2xy2-1(2)(3)(1)R(4)②当-1≤a≤0时a①当-2≤a<-1时ymax=-3,ymin=a2+2a-3ymax=-3,ymin=-4ymax=-3,ymin=a2+2a-31.分别在下列各范围上求函数y=x2+2x-3的最值.O-2xy2-1(2)(3)(1)R(4)②当-1≤a≤25O-2xy2-1(2)(1)R(4)③当a>0时a②当-1≤a≤0时①当-2≤a<-1时(3)ymax=a2+2a-3,ymin=-4ymax=-3,ymin=a2+2a-3ymax=-3,ymin=-41.分别在下列各范围上求函数y=x2+2x-3的最值.O-2xy2-1(2)(1)R(4)③当a>0时a②当-126学习目标:能利用数形结合、分类讨论思想求闭区间上二次函数最值重点:二次函数在闭区间上最值(4)定函数动区间(5)动轴动区间难点:
数形结合、分类讨论思想学习目标:27例1、已知函数f(x)=x2–2x–3.(1)若x∈[–2,0],求函数f(x)的最值;10xy–23问题引导下的再学习例1、已知函数f(x)=x2–2x–3.10xy–2328例1、已知函数f(x)=x2–2x–3.(1)若x∈[–2,0],求函数f(x)的最值;10xy234–1(2)若x∈[2,4],求函数f(x)的最值;问题引导下的再学习例1、已知函数f(x)=x2–2x–3.10xy229例1、已知函数f(x)=x2–2x–3.(1)若x∈[–2,0],求函数f(x)的最值;(2)若x∈[2,4],求函数f(x)的最值;y10x234–1
(3)若x∈[],求函数f(x)的最值;例1、已知函数f(x)=x2–2x–3.y10x230例1、已知函数f(x)=x2–2x–3(1)若x∈[–2,0],求函数f(x)的最值;(2)若x∈[2,4],求函数f(x)的最值;(3)若x∈[],求函数f(x)的最值;
10xy234–1
(4)若x∈[],求函数f(x)的最值;
例1、已知函数f(x)=x2–2x–310xy233110xy234–1(5)若x∈[t,t+2]时,求函数f(x)的最值.tt+2例1、已知函数f(x)=x2–2x–3.(1)若x∈[–2,0],求函数f(x)的最值;(2)若x∈[2,4],求函数f(x)的最值;(3)若x∈[],求函数f(x)的最值;(4)若x∈[],求函数f(x)的最值;
10xy234–1(5)若x∈[t,t+2]时,t3210xy234–1tt+2例1、已知函数f(x)=x2–2x–3.(1)若x∈[–2,0],求函数f(x)的最值;(2)若x∈[2,4],求函数f(x)的最值;(3)若x∈[],求函数f(x)的最值;(4)若x∈[],求函数f(x)的最值;(5)若x∈[t,t+2]时,求函数f(x)的最值.
10xy234–1tt+2例1、已知函数f(x)=3310xy234–1tt+2例1、已知函数f(x)=x2–2x–3.(1)若x∈[–2,0],求函数f(x)的最值;(2)若x∈[2,4],求函数f(x)的最值;(3)若x∈[],求函数f(x)的最值;(4)若x∈[],求函数f(x)的最值;(5)若x∈[t,t+2]时,求函数f(x)的最值.
10xy234–1tt+2例1、已知函数f(x)=3410xy234–1tt+2例1、已知函数f(x)=x2–2x–3.(1)若x∈[–2,0],求函数f(x)的最值;(2)若x∈[2,4],求函数f(x)的最值;(3)若x∈[],求函数f(x)的最值;(4)若x∈[],求函数f(x)的最值;(5)若x∈[t,t+2]时,求函数f(x)的最值.
10xy234–1tt+2例1、已知函数f(x)=3510xy234–1tt+2例1、已知函数f(x)=x2–2x–3.(1)若x∈[–2,0],求函数f(x)的最值;(2)若x∈[2,4],求函数f(x)的最值;(3)若x∈[],求函数f(x)的最值;(4)若x∈[],求函数f(x)的最值;(5)若x∈[t,t+2]时,求函数f(x)的最值.
10xy234–1tt+2例1、已知函数f(x)=36评注:例1属于“轴定区间变”的问题,看作动区间沿x轴移动的过程中,函数最值的变化,即动区间在定轴的左、右两侧及包含定轴的变化,要注意开口方向及端点情况。10xy234–1tt+2评注:例1属于“轴定区间变”的问题,看作动区间沿x轴移动的过37例2、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间[–1,2]上的最值.10xy2–1问题引导下的再学习例2、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间138例2、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间[–1,2]上的最值.10xy2–1例2、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间139例2、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间[–1,2]上的最值.10xy2–1例2、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间140例2、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间[–1,2]上的最值.10xy2–1例2、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间14110xy2–110xy2–1例2、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间[–1,2]上的最值.10xy2–110xy2–1例2、求函数f(x)4210xy2–110xy2–1例2、求函数f(x)=ax2–2a2x+1(a≠0)在区间[–1,2]上的最值.10xy2–110xy2–1例2、求函数f(x)43评注:例2属于“动轴定区间”的问题,看作对称轴沿x轴移动的过程中,函数最值的变化,即对称轴在定区间的左、右两侧及对称轴在定区间上变化情况,要注意开口方向及端点情况。10xy2–110xy2–1评注:例2属于“动轴定区间”的问题,看作对称轴沿x轴移动的过44例3、已知函数f(x)=x2+ax+b,x∈[0,1],试确定a、b,使f(x)的值域是[0,1].10xy2–1例3、已知函数f(x)=x2+ax+b,x∈[0,1],1045例3、已知函数f(x)=x2+ax+b,x∈[0,1],试确定a、b,使f(x)的值域是[0,1].10xy2–1例3、已知函数f(x)=x2+ax+b,x∈[0,1],1046例3、已知函数f(x)=x2+ax+b,x∈[0,1],试确定a、b,使f(x)的值域是[0,1].10xy2–1例3、已知函数f(x)=x2+ax+b,x∈[0,1],1047例3、已知函数f(x)=x2+ax+b,x∈[0,1],试确定a、b,使f(x)的值域是[0,1].10xy2–1例3、已知函数f(x)=x2+ax+b,x∈[0,1],1048例3、已知函数f(x)=x2+ax+b,x∈[0,1],试确定a、b,使f(x)的值域是[0,1].10xy2–1例3、已知函数f(x)=x2+ax+b,x∈[0,1],1049函数f(x)=x2-2x-3在闭区间[t,t+1](t∈R)上的最小值记为g(t),试写出g(t)的函数表达式,并求出g(t)的最小值。解:f(x)=(x-1)2-41)当t>
1时,g(t)=f(t)=t2-2t-32)当t≤
1≤
t+1时,g(t)=f(1)=-43)当1>
t+1时,g(t)=f(t+1)=t2-4∴g(t)=t2-2t-3t>
1-40≤
t
≤
1
t2-4
t<
0∴g(t)min=-4四、定函数动区间函数f(x)=x2-2x-3在闭区间[t,t+1](t∈R)501.求函数y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值解:函数图象的对称轴方程为x=,又x∈[-1,a]故a>-1,>-,∴对称轴在x=-的右边.∴(1)当-1<≤a时,即a≥0时,由二次函数图象可知:ymax=f()=
xyo-1a(2)当a<时,即-1<a<0时,
五、动轴动区间1.求函数y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值解:51综上所述:当-1<a<0时,ymax=0当a≥0时,ymax=
求函数y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上的最大值解:函数图象的对称轴方程为x=,又x∈[-1,a]故a>-1,>-,∴对称轴在x=-的右边.∴(1)当-1<≤a时,即a≥0时,由二次函数图象可知:ymax=f()=
(2)当a<时,即-1<a<0时,
axyo-1由二次函数的图象可知:ymax=f(a)=0综上所述:当-1<a<0时,ymax=0求函数y=-x(52课堂检测课堂检测53∵f(x)
在区间[0,2]上的最小值为
3,∴可分情况讨论如下:2.已知函数
f(x)=4x2-4ax+a2-2a+2
在区间[0,2]上有最小值
3,
求实数
a
的值.解:由已知
f(x)=4(x
-)2-
2a+2.a2a2(1)当≤0,即
a≤0
时,函数
f(x)
在[0,2]上是增函数.∴
f(x)min=f(0)=a2-2a+2.a2(2)当
0<<2,即
0<a<4
时,a2f(x)min=f()=-2a+2.由
-2a+2=3
得:a=-
12
(0,4),舍去.a2(3)当≥2,即
a≥4
时,函数
f(x)
在[0,2]上是减函数.∴
f(x)min=f(2)=a
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