福建省南安一中2022-2023学年数学高二第二学期期末学业质量监测模拟试题含解析

2022-2023高二下数学模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．曲线在点处的切线斜率为（）A． B． C． D．2．设集合，则（）A． B． C． D．3．设随机变量X的分布列如下：则方差D(X)＝（）．A． B． C． D．4．双曲线x2A．23 B．2 C．3 D．5．若双曲线x2a2-yA．52 B．5 C．626．被称为宋元数学四大家的南宋数学家秦九韶在《数书九章》一书中记载了求解三角形面积的公式，如图是利用该公式设计的程序框图，则输出的的值为（）A．4 B．5 C．6 D．77．有下列数据：下列四个函数中，模拟效果最好的为()A． B． C． D．8．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个大于，反证假设正确的是()A．假设三内角都大于 B．假设三内角都不大于C．假设三内角至多有一个大于 D．假设三内角至多有两个大于9．将一枚质地均匀且各面分别有狗，猪，羊，马图案的正四面体玩具抛掷两次，设事件{两次掷的玩具底面图案不相同}，{两次掷的玩具底面图案至少出现一次小狗}，则（）A． B． C． D．10．已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．11．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为.则在下雨条件下吹东风的概率为（）A． B． C． D．12．过点作曲线的切线，则切线方程为（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．现要求：如果男生甲入选，则女生乙必须入选．那么不同的组队形式有_________种．14．已知，则实数_______.15．若复数满足，则__________．16．已知函数，则____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，四核锥中，，是以为底的等腰直角三角形，，为中点，且．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．18．（12分）如图，是正方形，是该正方体的中心，是平面外一点，平面，是的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面.19．（12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点也为抛物线：的焦点．（1）若，为椭圆上两点，且线段的中点为，求直线的斜率；（2）若过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，和，，设线段，的长分别为，，证明是定值．20．（12分）已知函数f(x)=ln(ax)+bx在点（1，f(1)）处的切线是y=0；(I)求函数f(x)的极值；(II)当恒成立时,求实数m的取值范围(e为自然对数的底数)21．（12分）2018年6月14日，国际足联世界杯足球赛在俄罗斯举行了第21届赛事.虽然中国队一如既往地成为了看客，但中国球迷和参赛的32支队伍所在国球迷一样，对本届球赛热情似火，在6月14日开幕式的第二天，我校足球社团从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：收看没收看男生6020女生2020（1）根据上表说明，能否有99%的把握认为，是否收看开幕式与性别有关?（2）现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取12人参加志愿者宣传活动.（i）问男、女学生各选取了多少人？（ⅱ）若从这12人中随机选取3人到校广播站开展足球项目的宣传介绍，设选取的3人中女生人数为X，写出X的分布列，并求.附：，其中.0.100.050.0250.010.0052.7063.8415.0246.6357.87922．（10分）如图，梯形所在的平面与等腰梯形所在的平面互相垂直，，．，．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）线段上是否存在点，使得平面？不需说明理由．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】分析：先求函数的导数，因为函数图象在点处的切线的斜率为函数在处的导数，就可求出切线的斜率．详解：∴函数图象在点处的切线的斜率为1．

故选：C．点睛：本题考查了导数的运算及导数的几何意义，以及直线的倾斜角与斜率的关系，属基础题．2、C【解析】

先求，再求【详解】,故选C.【点睛】本题考查了集合的并集和补集，属于简单题型.3、B【解析】分析：先求出的值，然后求出，利用公式求出详解：故选点睛：本题考查了随机变量的分布列的相关计算，解答本题的关键是熟练掌握随机变量的期望与方差的计算方法4、A【解析】试题分析：双曲线焦点到渐近线的距离为b，所以距离为b=23考点：双曲线与渐近线．5、A【解析】

由垂直关系得出渐近线的斜率，再转化为离心率e的方程即可．【详解】∵双曲线的一条渐近线与直线y=2x垂直，∴-bb2a2=c2故选A．【点睛】本题考查双曲线的渐近线，掌握两直线垂直的充要条件是解题基础．6、B【解析】

模拟程序运行，依次计算可得所求结果【详解】当，，时，，；当，，时，，；当，，时，，；当，，时，，；故选B【点睛】本题考查程序运算的结果，考查运算能力，需注意所在位置7、A【解析】分析：将，，代入四个选项，可得结论.详解：将，，代入四个选项，可得A模拟效果最好.故选：A.点睛：本题考查选择合适的模拟来拟合一组数据，考查四种函数的性质，本题是一个比较简单的综合题目.8、B【解析】

反证法的第一步是假设命题的结论不成立，根据这个原则，选出正确的答案.【详解】假设命题的结论不成立，即假设三角形的内角中至少有一个大于不成立，即假设三内角都不大于，故本题选B.【点睛】本题考查了反证法的第一步的假设过程，理解至少有一个大于的否定是都不大于是解题的关键.9、C【解析】

利用条件概率公式得到答案.【详解】故答案选C【点睛】本题考查了条件概率的计算，意在考查学生的计算能力.10、A【解析】分析：由f（x）的导函数形式可以看出ex﹣kx=0在（0，+∞）无变号零点，令g（x）=ex﹣kx，g′（x）=ex﹣k，需要对k进行分类讨论来确定导函数为0时的根．详解：∵函数的定义域是（0，+∞），∴f′（x）=．x=1是函数f（x）的唯一一个极值点∴x=1是导函数f′（x）=0的唯一根．∴ex﹣kx=0在（0，+∞）无变号零点，令g（x）=ex﹣kxg′（x）=ex﹣k①k≤0时，g′（x）＞0恒成立．g（x）在（0，+∞）时单调递增的g（x）的最小值为g（0）=1，g（x）=0无解②k＞0时，g′（x）=0有解为：x=lnk0＜x＜lnk时，g′（x）＜0，g（x）单调递减lnk＜x时，g′（x）＞0，g（x）单调递增∴g（x）的最小值为g（lnk）=k﹣klnk∴k﹣klnk＞0∴k＜e，由y=ex和y=ex图象，它们切于（1，e），综上所述，k≤e．故答案为：A．点睛：（1）本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查利用导数研究函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是分析转化ex﹣kx=0在（0，+∞）无变号零点.11、C【解析】

在下雨条件下吹东风的概率=既吹东风又下雨的概率下雨的概率【详解】在下雨条件下吹东风的概率为，选C【点睛】本题考查条件概率的计算，属于简单题．12、C【解析】

设出切点坐标求出原函数的导函数，得到函数在时的导数值，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得切线方程，代入已知点的坐标后求出切点的坐标，则切线方程可求．【详解】由，得，

设切点为

则，

∴切线方程为，

∵切线过点，

∴−ex0＝ex0(1−x0)，

解得：．

∴切线方程为，整理得：.故选C.．【点睛】本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】分析：分三种情况讨论，分别求出甲乙都入选、甲不入选，乙入选、甲乙都不入选,，相应的情况不同的组队形式的种数，然后求和即可得出结论.详解：若甲乙都入选，则从其余人中选出人，有种，男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手，则有种，故共有种；若甲不入选，乙入选，则从其余人中选出人，有种，女生乙不适合担任四辩手，则有种，故共有种；若甲乙都不入选，则从其余6人中选出人，有种，再全排，有种，故共有种，综上所述，共有，故答案为.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.14、2或【解析】

先求得，解即可得解.【详解】=解得故答案为2或【点睛】本题考查了复数的模的计算，属于基础题.15、1【解析】

设，,代入方程利用复数相等即可求解，求模即可.【详解】设，,则，整理得：解得，所以，故答案为1【点睛】本题主要考查了复数的概念，复数的模，复数方程，属于中档题.16、【解析】

求导，代入数据得到答案.【详解】故答案为：【点睛】本题考查了导数的计算，意在考查学生的计算能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）过作垂线，垂足为，由得，．又，可得平面，即可证明．（Ⅱ）易得到平面距离等于到平面距离．过作垂线，垂足为，在中，过作垂线，垂足为，可证得：平面．求得：，从而，即可求解.【详解】(Ⅰ)过作垂线，垂足为，由得，．又，∴平面，∴平面平面；（Ⅱ）∵，∴到平面距离等于到平面距离．过作垂线，垂足为，在中，过作垂线，垂足为，可证得：平面．求得：，从而，即直线与平面所成角的正弦值为．【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的求解、是中档题．18、证明见解析．【解析】试题分析：（1）要证与平面平行，而过的平面与平面的交线为，因此只要证即可，这可由中位线定理得证；（2）要证垂直于平面，就是要证与平面内两条相交直线垂直，正方形中对角线与是垂直的，因此只要再证，这由线面垂直的性质或定义可得．试题解析：证明：（1）连接，∵四边形为正方形，∴为的中点，∵是的中点，∴是的中位线.∴，∵平面，平面，∴平面.（2）∵平面，平面，∴，∵四边形是正方形，∴，∵，平面，平面，∴平面.考点：线面平行与线面垂直的判断．19、（1）（2）解:因为抛物线的焦点为,所以,故.所以椭圆.(1)设,则两式相减得，又的中点为,所以.所以.显然,点在椭圆内部,所以直线的斜率为.(2)椭圆右焦点.当直线的斜率不存在或者为时,.当直线的斜率存在且不为时,设直线的方程为，设,联立方程得消去并化简得，因为，所以，.所以同理可得.所以为定值.【解析】分析：（1）先利用抛物线的焦点是椭圆的焦点求出，进而确定椭圆的标准方程，再利用点差法求直线的斜率；（2）设出直线的方程，联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解.详解：因为抛物线的焦点为，所以，故.所以椭圆.（1）设，，则两式相减得，又的中点为，所以，.所以.显然，点在椭圆内部，所以直线的斜率为.（2）椭圆右焦点.当直线的斜率不存在或者为时，.当直线的斜率存在且不为时，设直线的方程为，设，，联立方程得消去并化简得，因为，所以，.所以，同理可得.所以为定值.点睛：在处理直线与椭圆相交的中点弦问题，往往利用点差法进行求解，比联立方程的运算量小，另设直线方程时，要注意该直线的斜率不存在的特殊情况，以免漏解.20、(1)的极大值为，无极小值；(2).【解析】分析：（1）先根据导数几何意义得解得b,再根据得a，根据导函数零点确定单调区间，根据单调区间确定极值，（2）先化简不等式为，再分别求左右两个函数最值得左边最小值与右边最大值同时取到，则不等式转化为，解得实数m的取值范围.详解：（1）因为，所以因为点处的切线是，所以，且所以，即所以，所以在上递增，在上递减，所以的极大值为，无极小值（2）当恒成立时,由（1），即恒成立，设，则，，又因为，所以当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增，；在上单调递增，在上单调递减，.所以均在处取得最值，所以要使恒成立，只需，即解得，又，所以实数的取值范围是.点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.21、（1）有（2）（i）男生有9人，女生有3人.（ⅱ）见解析，【解析】

（1）套用公式，算出的值与6.635比较大小，即可得到本题答案；（2）（i）由男女的比例为3：1，即可得到本题答案；（ii）根据超几何分布以及离散型随机变量的均值公式，即可得到本题答案.【详解】（1）因为，所以有99%的把握认为，是否收看开幕式与性别有关.（2）（ⅰ）根据分层抽样方法得，男生人，女生人，