2011年全国高考2卷理科数学试题及答案

2011年全国高考2卷理科数学试题及答案2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷II)数学本试卷共4页，共三大题21小题，满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1.考生答题前，务必在试题卷和答题卡上填写姓名和准考证号，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。2.选择题应用2B铅笔将答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后再涂其他答案标号。答在试题卷上无效。3.填空题和解答题应用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内。答在试题卷上无效。4.考试结束时，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数z=1+i，z为z的共轭复数，则zz-z-1=？(A)-2i(B)-i(C)i(D)2i2.函数y=2x(x≥0)的反函数为？(A)y=(x∈R)(B)y=(x≥0)(C)y=4x2(x∈R)(D)y=4x2(x≥0)3.下列哪个条件是使得a>b成立的充分必要条件？(A)a>b+1(B)a>b-1(C)a>b(D)以上都是4.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，公差d=2，Sk+2-Sk=24，则k=？(A)8(B)7(C)6(D)55.设函数f(x)=cosωx(ω>0)，将y=f(x)的图像向右平移π/3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于？(A)π/3(B)3(C)6(D)96.已知直二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于？(A)3√6(B)1/3(C)3/√3(D)2/37.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有？(A)4种(B)10种(C)18种(D)20种8.曲线y=e2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=-x和y=x围成的三角形的面积为？(A)1/12(B)1/2(C)1/3(D)2/39.设f(x)是周期为2的奇函数，当-1≤x≤1时，f(x)=2x(1-x)，则f(-3/2)=？(A)-1/2(B)-1(C)1/2(D)1210.已知抛物线C：y=4x的焦点为F，直线y=2x-4与C交于A、B两点，则cos∠AFB=(A)解析：由题意可知，直线y=2x-4与抛物线C的交点为A、B两点，因此可以列出方程组：y=4xy=2x-4解得交点为A(2,-4)和B(1,4)。由焦点的定义可知，焦点F的坐标为(0,1)。根据余弦定理，可以求得∠AFB的余弦值为：cos∠AFB=AB/AF·FB=√(13/10)·√(17/10)=√221/10，选项(A)正确。11.已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成60二面角的平面β截该球面得圆N，若该球面的半径为4.圆M的面积为4π，则圆N的面积为(A)7π(B)9π(C)11π(D)13π解析：根据题意，可以画出如下图形：[插入图片]设圆M的半径为r，则根据圆的面积公式可得：πr^2=4π解得r=2。由于圆M和圆N都是球面的截面，因此它们的半径相等。设圆N的半径也为2，则根据余弦定理，可以求得∠MNP的余弦值为：cos∠MNP=(2^2+2^2-4^2)/(2·2·2)=-3/4因为∠MNP是锐角，所以cos∠MNP<0。根据圆的面积公式，可以求得圆N的面积为：π·2^2·|cos∠MNP|=3π，选项(C)正确。12.设向量a,b,c满足a=b=1,ab=-1/2,c⋅(a-c)=c⋅(b-c)=60，则c的最大值等于(A)2(B)1(C)2/3(D)1/2解析：根据题意，可以列出以下方程组：a=b=1ab=-1/2c⋅(a-c)=60c⋅(b-c)=60将a=b=1代入ab=-1/2，可得a^2=-1/2，这是不可能的。因此ab=-1/2不成立，即向量a和b不存在。因此，可以将方程组化简为：c⋅(c-1)=60c⋅(c+1)=60解得c=±√61/2。因为c⋅a>c⋅b，所以c的最大值为√61/2，选项(A)正确。13.1-(x/20)的二项展开式中，x的系数与x的系数之差为9。解析：根据二项式定理，可以将1-(x/20)的二项展开式表示为：1-(x/20)=(1-1/20x)^20=∑(k=0,20)C(20,k)(-1/20x)^k其中，C(20,k)表示从20个元素中选取k个元素的组合数。展开式中x的系数为-1/20^9·C(20,9)，x的系数之差为-1/20^9·(C(20,8)-C(20,10))。根据组合数的性质，C(20,8)=C(20,12)，C(20,9)=C(20,11)，因此C(20,8)-C(20,10)=0。因此，x的系数与x的系数之差为-1/20^9·0=0-9=-9，选项正确。14.已知α∈(5π/2,π)，sinα=5/13，则tan2α=12/5。解析：根据sinα=5/13，可以得到cosα=-12/13。因为α∈(5π/2,π)，所以sinα<0，cosα<0。因此，可以得到tanα=-5/12。根据双角公式，可以得到：tan2α=2tanα/(1-tan^2α)=2(-5/12)/(1-(-5/12)^2)=12/5，选项正确。15.已知F1、F2分别为双曲线C:y^2/9-x^2/4=1的焦点，点A∈C，点M的坐标为(2,0)，且∠F1AF2的角平分线，则AF2=6。解析：根据双曲线的定义，可以得到F1、F2的坐标分别为(-c,0)和(c,0)，其中c=√(9+2^2)=√13。因为双曲线的焦点到曲线的距离等于曲线的半轴长，所以双曲线的半轴长为3。因此，曲线的方程可以表示为：y^2/9-x^2/4=1将M的坐标代入方程，可得y=√3。因为M在曲线上，所以可以得到：(2/c)^2-(√3/3)^2=1解得c=√13/2。因为∠F1AF2的角平分线经过C的中心点O，所以可以得到：AF2=AO+OF2=c+c/2=3c/2=6，选项正确。19.如图，四棱锥S-ABCD中，AB//CD,BC⊥CD,侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1.（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB;（Ⅱ）求AB与平面SBC所成的角的大小。[插入图片]解析：（Ⅰ）因为BC⊥CD，所以BC是平面SCD的法向量。又因为AB//CD，所以AB也在平面SCD内。因此，SD与平面SCD垂直，即SD⊥平面SAB。（Ⅱ）设AB与平面SBC所成的角为θ，则可以得到：cosθ=(AB·BC)/(|AB|·|BC|)=1/2因此，θ=π/3，即AB与平面SBC所成的角的大小为60°。20.设数列{an}满足a1=0,11-a(n+1)=1-a(n)，求{an}的通项公式。解析：将an+1的式子代入an的式子，可得：11-a(n+1)=1-a(n)11-a(n+1)=1-a(n)11-a(n+2)=1-a(n+1)将前两个式子相减，可得：a(n+1)-a(n)=a(n)-a(n-1)将a(1)=0代入，可得：a(n+1)-a(n)=(-1)^n-1因此，可以得到：an=a(n-1)+(-1)^n-1将a1=0代入，可得：a2=a1+(-1)^1-1=1a3=a2+(-1)^2-1=0a4=a3+(-1)^3-1=-1a5=a4+(-1)^4-1=-2...可以猜测an的通项公式为：an=(-1)^(n-1)·[n/2]其中，[n/2]表示n/2的整数部分。可以用归纳法证明这个公式成立。当n=1时，公式成立。假设当n=k时公式成立，即ak=(-1)^(k-1)·[k/2]。当n=k+1时，根据前面的推导，可以得到：ak+1=ak+(-1)^k当k为偶数时，有：ak+1=(-1)^k·[(k+1)/2]+(-1)^k=(-1)^(k+1)·[(k+1)/2]=(-1)^k+1·[(k+1)/2]当k为奇数时，有：ak+1=(-1)^k·[(k+1)/2]-(-1)^k=(-1)^k·[(k+1)/2+1]=(-1)^(k+1)·[(k+1)/2]因此，对于任意正整数n，都有an=(-1)^(n-1)·[n/2]，即{an}的通项公式为an=(-1)^(n-1)·[n/2]。21.（本小题满分12分）已知椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，则焦点坐标为$(0,\sqrt{3})$和$(0,-\sqrt{3})$。过焦点$F(0,\sqrt{3})$且斜率为$-2$的直线方程为$y=-2\sqrt{3}x+\sqrt{3}$。设点$A(x_1,y_1)$和点$B(x_2,y_2)$分别为直线$l$与椭圆$C$的交点，则$OA+OB+OP=0$，其中点$P(x,y)$为椭圆$C$上的任意一点。（Ⅰ）由题意得：$$\begin{cases}\frac{x_1^2}{4}+\frac{y_1^2}{3}=1\\-2\sqrt{3}x_1+y_1=\sqrt{3}\end{cases}\qquad\begin{cases}\frac{x_2^2}{4}+\frac{y_2^2}{3}=1\\-2\sqrt{3}x_2+y_2=\sqrt{3}\end{cases}$$解得：$$A\left(-\frac{2}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right),\qquadB\left(\frac{2}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$$故点$P$的坐标为$(x,y)$，其中$x\in\left[-\frac{2}{\sqrt{3}},\frac{2}{\sqrt{3}}\right]$，$y=\pm\sqrt{3}\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}$。（Ⅱ）易知点$Q$的坐标为$(-x,y)$。由于$A,B,Q$关于直线$x=0$对称，故$A,B,P,Q$共圆，证毕。22.（本小题满分12分）（Ⅰ）对于$x>0$，有$f(x)=\ln(1+x)-2x=\int_0^x\frac{1}{1+t}dt-2x<\int_0^x1-2tdt=1-x^2$，故$f(x)<1-x^2$。而当$x=0$时，$f(x)=0>-\frac{2}{19}$。故当$x>0$时，$f(x)>\frac{-2}{19}$。（Ⅱ）设事件$A_i$表示第$i$次抽到的数与前$i-1$次均不相同，则$p=P(\bigcap\limits_{i=1}^{20}A_i)$。易知$p=1\cdot\frac{99}{100}\cdot\frac{98}{100}\cdots\frac{81}{100}$。注意到$\frac{k}{100}<\frac{1}{2}$当且仅当$k<50$，故$p<\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdots\frac{1}{2}=\frac{1}{2^{19}}<\frac{1}{e^4}$。又因为$p>0$，故$p>\frac{-2}{19}$。综上所述，$p\in\left(\frac{-2}{19},\frac{1}{e^4}\right)$。1.四点共圆的证明设四边形$APBQ$的对角线$PQ$交于点$C$，则由题意可知，$AC$和$BC$分别是直线$l$的斜率为$-2$和$2$的两条直线。又因为$P$在直线$AC$上，$Q$在直线$BC$上，所以点$P$在点$C$的左侧，点$Q$在点$C$的右侧。因此，我们可以通过计算$k_{AP},k_{AQ},k_{BP},k_{BQ}$的值来确定四边形的形状。计算$k_{AP}$时，我们可以通过求出点$A$和点$P$的坐标，然后计算斜率$k_{AP}$。同理，我们可以计算出$k_{AQ},k_{BP},k_{BQ}$的值。计算结果如下：$$k_{AP}=2+\frac{6}{2}=5$$$$k_{AQ}=-2-\frac{6}{2}=-5$$$$k_{BP}=2-\frac{6}{2}=-1$$$$k_{BQ}=-2+\frac{6}{2}=1$$由于$k_{AP}\timesk_{BQ}=-5\times1=-k_{AQ}\timesk_{BP}$，所以四边形$APBQ$的对角线$PQ$互相垂直，即四点$A,P,B,Q$共圆。2.函数单调性的证明（Ⅰ）当$x>0$时，$f'(x)=\frac{12(x+2)-2x}{x^2+(x+2)^2}-\frac{2x}{(1+x)^2}=\frac{(x+1)(x+2)^2}{x^2+(x+2)^2}>0$，因此$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增。（Ⅱ）由题意可知：$$p=\frac{100\times99\times\cdots\times82\times81}{100\times99\times\cdots\times10\times9}$$$$=\frac{81\times99\times81\times98\times\cdots\times81\times91\times89}{10\times9\times\cdots\times2\times1}$$$$=\frac{(81\times98)^2\times(91\times89)}{10\times9\times\cdots\times2\times1}$$$$=\frac{(81\times98)^2}{10\times9\times\cdots\times2\times1}\times\frac{91\times89}{10\times9\times\cdots\times2\times1}$$$$=\frac{(81\times98)^2}{(10\times9\times\cdots\times2\times1)^2}\times\frac{91\times89}{10\times9\times\cdots\times2\times1}$$由于$81=9^2$，$98=10^2-2^2$，$91=10^2-9^2$，$89=10^2-11^2$，所以：$$p=\frac{(9\times(10^2-2^2))^2}{(10!)^2}\times\frac{(10^2-9^2)(10^2-11^2)}{(10!)^2}$$$$=\frac{4^2\times9^2\times81\times70}{(10!)^2}$$$$=\frac{2^{10}\times3^4\times5\times7}{10!}$$$$=\frac{2^{10}\times3^4\times5\times7}{2^8\times3^2\times5\times7\times2\times3\times2\times2\times2\times2}$$$$=\frac{2^2\times3^2\times7}{10\times9\times8}$$$$=\frac{126}{720}=\frac{7}{40}$$由（Ⅰ）可知，$f(x)$在$(-1,0)$上单调递增。因此，$f(-1)<f\