高中必修一函数全章知识点整理

高中必修一函数全章知识点整理函数复习主要知识点一、函数的概念与表示1.映射映射是指集合A中的任意一个元素，都有唯一的元素和它在集合B中对应。这样的对应关系（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）称为集合A到集合B的映射，记作f：A→B。需要注意的是，一对多不是映射，多对一是映射。2.函数函数由三个要素构成：定义域、对应法则和值域。当两个函数的三要素相同时，它们是同一个函数。二、函数的解析式与定义域1.求函数定义域的主要依据：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；（3）指数函数的底数必须大于零且不等于1。2.求函数定义域的两个难点问题：（1）已知f(x)的定义域是[-2,5]，求f(2x+3)的定义域。（2）已知f(2x-1/x)的定义域是[-1,3]，求f(x)的定义域。变式练习：已知f(2-x)=4-x^2，求f(x)的定义域。三、函数的奇偶性1.定义：设y=f(x)，x∈A，如果对于任意x∈A，都有f(-x)=f(x)，则称y=f(x)为偶函数。如果对于任意x∈A，都有f(-x)=-f(x)，则称y=f(x)为奇函数。2.性质：（1）y=f(x)是偶函数，当且仅当y=f(x)的图像关于y轴对称；y=f(x)是奇函数，当且仅当y=f(x)的图像关于原点对称。（2）若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0。（3）奇±奇=偶，偶±偶=偶，奇×奇=奇，偶×偶=偶，奇×偶=奇（两函数的定义域D1，D2，D1∩D2要关于原点对称）。（4）奇偶性的判断。1、已知函数$f(x)$是定义在$(-\infty,+\infty)$上的偶函数。当$x\in(-\infty,0)$时，$f(x)=x-x^4$，则当$x\in(0,+\infty)$时，$f(x)=-2x+b$。2、已知定义域为$\mathbb{R}$的函数$f(x)=\dfrac{x+1}{2+a}$是奇函数。（Ⅰ）求$a,b$的值；（Ⅱ）若对任意的$t\in\mathbb{R}$，不等式$f(t-2t)+f(2t-k)<$恒成立，求$k$的取值范围。3、若奇函数$f(x)(x\in\mathbb{R})$满足$f(2)=1$，$f(x+2)=f(x)+f(2)$，则$f(5)=\dfrac{22}{3}$。四、函数的单调性1、函数单调性的定义：设$y=f[g(x)]$是定义在$M$上的函数，若$f(x)$与$g(x)$的单调性相反，则$y=f[g(x)]$在$M$上是减函数；若$f(x)$与$g(x)$的单调性相同，则$y=f[g(x)]$在$M$上是增函数。1、判断函数$f(x)=-x(x\in\mathbb{R})$的单调性。2、函数$y=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{2}-x^2\right)(6+x-2x^2)$的单调增区间是$\left(-\dfrac{1}{2},0\right)\cup\left(0,\dfrac{3}{2}\right)$。3（高考真题）。已知$f(x)=\begin{cases}(3a-1)x+4a,&x<1\\ax,&x\geq1\end{cases}$是$(-\infty,+\infty)$上的减函数，那么$a$的取值范围是$(0,1)$。五、二次函数（涉及二次函数问题必画图分析）21.二次函数$f(x)=ax^2+bx+c(a\neq0)$的图象是一条抛物线，对称轴$x=-\dfrac{b}{2a}$，顶点坐标$\left(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a}\right)$。2.一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\neq0)$的根为二次函数$f(x)=ax^2+bx+c(a\neq0)$的$x$的取值。3.一元二次不等式$ax^2+bx+c>(<)0(a>0)$的解集。二次函数$y=ax^2+bx+c(a>0)$的$\Delta$情况与一元二次不等式解集的对应关系如下表：$\Delta=b^2-4ac$图象解$\Delta>0$$\{x|x<x_1$或$x>x_2\}$$\{x|x_1<x<x_2\}$$\Delta=0$$\{x|x\neqx_0\}$$\{x=x_0\}$$\Delta<0$$\mathbb{R}$$\varnothing$1、已知函数$f(x)=4x^2-mx+5$在区间$[-2,+\infty)$上是增函数，则$f(1)$的范围是$f(1)\geq25$。方程mx^2+2mx+1=0有两个实根，其中一个大于1，另一个小于1。则实根m的取值范围是什么？1.幂的有关概念(1)零指数幂a^0=1(a≠0)(2)负整数指数幂a^(-n)=1/(a^n)(a≠0,n∈N*)(3)正分数指数幂a^n=a*a*...*a(n个a)(a>0,m,n∈N*,n>1)(4)负分数指数幂a^(-m/n)=1/(a^(m/n))=1/(n√a^m)(a>0,m,n∈N*,n>1)(5)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。2.有理数指数幂的性质(1)a^r*a^s=a^(r+s)(a>0,r,s∈Q)(2)(a^r)^s=a^(r*s)(a>0,r,s∈Q)(3)(ab)^r=a^r*b^r(a>0,b>0,r∈Q)3.根式根式的性质：当n是奇数，则√a^n=a；当n是偶数，则√a^n=|a|。4.指数式5.比较大小比较两个幂值的大小，要分清底数相同还是指数相同。如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理）。记住下列特殊值为底数的函数图象：6.指数函数名称一般形式定义域值域过定点指数函数y=ax(a>1)(-∞,+∞)(0,+∞)(0,1)y=ax(0<a<1)(-∞,+∞)(0,+∞)(0,1)图象在(-∞,+∞)上为增函数，在(-∞,+∞)上为减函数单调性X<0时0<y<1,x>0时，y>1值分布X<0时y>1,x>0时，0<y<1,x=0,y=17.研究指数函数问题时，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制。指数函数中的绝大部分问题是指数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。8.对数的定义解题部分：1.方程mx^2+2mx+1=0有两个实根，其中一个大于1，另一个小于1。则实根m的取值范围为-1<m<0或m>1。2.(1)|1/2-1|-2≤x≤|1/4-1|+2，即-5/4≤x≤7/4。(2)要使函数y=1+2x+4xa在x∈(-∞,1]上y>恒成立，需满足a<0。3.对数的定义：设a>0且a≠1，b>0，则以a为底b的对数记作logab，即a^logab=b。其中，a称为底数，b称为真数，logab称为对数。若a为正数且不等于1，则以a为底N的对数记作x=logaN，其中a为底数，N为真数。负数和零没有对数。对数式与指数式可以互相转化，即x=logaN等价于a=N（a为正数且不等于1，N为正数）。对数有几个重要的恒等式，包括loga1=0，logaa=1以及logaab=logaa+logab。常用对数记作lgN，即以10为底N的对数；自然对数记作lnN，即以e为底N的对数（其中e≈2.71828）。对数有几个运算性质，包括加法、减法、数乘、指数运算以及换底公式。对数函数y=logax（a为正数且不等于1）的定义域为(0,+∞)，值域为R，图象在点(1,0)处过x轴，并在第一象限内是增函数，在第二象限内是减函数。反函数是指如果对于函数y=f(x)的值域C中的任何一个值，通过式子x=φ(y)，x在定义域A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x=φ(y)表示x是y的函数，函数x=φ(y)叫做函数y=f(x)的反函数，记作y=f^-1(x)。求反函数的方法包括确定反函数的定义域和从原函数式中反解出反函数。7.将$x=f^{-1}(y)$改写成$y=f^{-1}(x)$，并注明反函数的定义域。反函数的性质：1.原函数$y=f(x)$与反函数$y=f^{-1}(x)$的图像关于直线$y=x$对称。2.函数$y=f(x)$的定义域、值域分别是其反函数$y=f^{-1}(x)$的值域、定义域。3.若点$P(a,b)$在原函数$y=f(x)$的图像上，则点$P(b,a)$在反函数$y=f^{-1}(x)$的图像上。4.一般地，函数$y=f(x)$要有反函数则它必须为单调函数。2.3幂函数1.幂函数的定义：一般地，函数$y=x^\alpha$叫做幂函数，其中$x$为自变量，$\alpha$是常数。2.幂函数的图像。3.幂函数的性质：a.图像分布：幂函数图像分布在第一、二、三象限，第四象限无图像。幂函数是偶函数时，图像分布在第一、二象限（图像关于$y$轴对称）；是奇函数时，图像分布在第一、三象限（图像关于原点对称）；是非奇非偶函数时，图像只分布在第一象限。b.过定点：所有的幂函数在$(0,+\infty)$都有定义，并且图像都通过点$(1,1)$。c.单调性：如果$\alpha>0$，则幂函数的图像过原点，并且在$[0,+\infty)$上为增函数。如果$\alpha<0$，则幂函数的图像在$(0,+\infty)$上为减函数，在第一象限内，图像无限接近$x$轴与$y$轴。d.奇偶性：当$\alpha$为奇数时，幂函数为奇函数，当$\alpha$为偶数时，幂函数为偶函数。当$\alpha=\frac{p}{q}$（其中$p,q$互质，$p$和$q\inZ$），若$p$为奇数$q$为奇数时，则$y=x^\alpha$是奇函数，若$p$为奇数