第三章简单优化模型课件

第三章简单的优化模型3.1存贮模型3.2生猪的出售时机3.3森林救火3.4最优价格3.5血管分支3.6消费者均衡3.7冰山运输

现实世界中普遍存在着优化问题

静态优化问题指最优解是数(不是函数)

建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的目标函数

求解静态优化模型一般用微分法静态优化模型3.1存贮模型问题配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出，不允许缺货。已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。要求不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系。不允许缺货的存贮模型思考问题1——生产周期性

10天生产一次，每次1000件，贮存费900+800+…+100=4500元，准备费5000元。总计19000元。日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元。考虑20天的生产。

先9天生产一次，这次生产900件，贮存费800+700+…+100=3600元，准备费5000元，小计8600元。再11天生产一次，这次生产1100件，贮存费1000+900+…+100=5500元，准备费5000元，小计10500元。总计19100元。平均每天费用955元周期性地生产会使平均每天费用减少。每天费用950元思考问题2——生产等量性

10天生产一次，每次1000件，贮存费900+800+…+100=4500元，准备费5000元。总计19000元。日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元。考虑20天的生产。

先10天生产一次，这次生产1100件，贮存费1000+900+…+200=5400元，准备费5000元，小计10400元。再10天生产一次，这次生产900件，贮存费900+800+…+100=4500元，准备费5000元，小计9500元。总计19900元。平均每天费用995元等量地生产会使平均每天费用减少。由此可见，必须周期地等量生产！每天费用950元请你们课后进一步研究讨论，写出小论文。问题分析与思考

每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费5000元。日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元。

10天生产一次，每次1000件，贮存费900+800+…+100=4500元，准备费5000元，总计9500元。

50天生产一次，每次5000件，贮存费4900+4800+…+100=122500元，准备费5000元，总计127500元。平均每天费用950元平均每天费用2550元10天生产一次平均每天费用最小吗?每天费用5000元这是一个优化问题，关键在建立目标函数。显然不能用一个周期的总费用作为目标函数目标函数——每天总费用的平均值周期短，产量小周期长，产量大问题分析与思考贮存费少，准备费多准备费少，贮存费多存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小模型假设1.产品每天的需求量为常数r；2.每次生产准备费为c1,每天每件产品贮存费为c2；3.T天生产一次（周期）,每次生产Q件，当贮存量为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；建模目的设r,c1,c2已知，求T,Q

使每天总费用的平均值最小。4.为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。模型建立0tq贮存量表示为时间的函数q(t)TQrt=0生产Q件，q(0)=Q,q(t)以需求速率r递减，q(T)=0.一周期总费用每天总费用平均值（目标函数）离散问题连续化一周期贮存费为A=QT/2模型求解求T使模型分析模型应用c1=5000,c2=1，r=100T=10(天),Q=1000(件),C=1000(元)

回答问题经济批量订货公式（EOQ公式）每天需求量r，每次订货费c1,每天每件贮存费c2，用于订货、供应、存贮情形

问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？T天订货一次(周期),每次订货Q件，当贮存量降到零时，Q件立即到货。允许缺货的存贮模型AB0qQrT1t当贮存量降到零时仍有需求r,出现缺货，造成损失原模型假设：贮存量降到零时Q件立即生产出来(或立即到货)现假设：允许缺货,每天每件缺货损失费c3,缺货需补足T一周期贮存费一周期缺货费周期T,t=T1贮存量降到零一周期总费用每天总费用平均值（目标函数）一周期总费用求T,Q使为与不允许缺货的存贮模型相比，T记作T’,Q记作Q’不允许缺货模型记允许缺货模型不允许缺货允许缺货模型0qQrT1tT注意：缺货需补足Q~每周期初的存贮量R每周期的生产量R（或订货量）Q~不允许缺货时的产量(或订货量)3.2生猪的出售时机饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设备，估计可使80公斤重的生猪体重增加2公斤。问题市场价格目前为每公斤8元，但是预测每天会降低0.1元，问生猪应何时出售。如果估计和预测有误差，对结果有何影响。分析投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间减少，故存在最佳出售时机，使利润最大求t使Q(t)最大10天后出售，可多得利润20元建模及求解生猪体重w=80+rt出售价格p=8-gt销售收入R=pw资金投入C=4t利润Q=R-C=pw-C估计r=2，若当前出售，利润为80×8=640（元）t天出售=10Q(10)=660>640g=0.1敏感性分析研究r,g变化时对模型结果的影响估计r=2，g=0.1设g=0.1不变t对r的（相对）敏感度生猪每天体重增加量r增加1%，出售时间推迟3%。rt敏感性分析估计r=2，g=0.1研究r,g变化时对模型结果的影响设r=2不变t对g的（相对）敏感度生猪价格每天的降低量g增加1%，出售时间提前3%。gt强健性分析保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售由S(t,r)=3建议过一周后(t=7)重新估计,再作计算。研究r,g不是常数时对模型结果的影响w=80+rtw=w(t)p=8-gtp=p(t)若(10%),则（30%）每天利润的增值每天投入的资金1、背景材料有“枫树王国”之称的加拿大森林覆盖率非常高，有95%左右为天然林。因为森林资源十分丰富，加拿大城市居民都非常喜欢在林区内建造别墅，长期定居，野外火源较多，加之雷击火发生频率非常高，因此每年都有大量的森林火灾发生，损失十分严重。如不列颠哥伦比亚省年均发生火灾2000次以上，有的年份达到4000多次，最严重的一周内就发生森林火灾1500次。每年的森林火灾损失7000万加元左右（1加元约合人民币5.4元）。安大略省每年发生火灾在4000次以上。加拿大的每年4~10月份为森林防火期，其中5~8月为火灾高发期，起火原因主要是人为因素和雷击，基本上各占一半。3.3森林救火如此频率的森林火灾，怪不得加拿大都非常重视森林防火工作，每年都投入巨资用于森林防火基础建设。如不列颠哥伦比亚省每年的森林防火经费为1亿加元，安大略省每年的防火经费为8500万加元。2、问题的提出尽管人们的预防措施做了很多，但有时火灾仍然无法避免，那一旦发生火灾时怎么办呢？消防站接到报警后派多少消防员前去救火呢？派的队员越多森林损失越小，但是救援的开支会越大，所以需要综合考虑以总费用最小来决定派出队员的数目。3、问题分析记队员人数x,失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,时刻t森林烧毁面积B(t).

损失费f1(x)是x的减函数,由烧毁面积B(t2)决定。救援费f2(x)是x的增函数,由队员人数和救火时间决定。存在恰当的x，使f1(x),f2(x)之和最小

关键是对B(t)作出合理的简化假设.3、问题分析失火时刻t=0,开始救火时刻t1,灭火时刻t2,画出时刻t森林烧毁面积B(t)的大致图形t1t20tBB(t2)分析B(t)比较困难,转而讨论森林烧毁速度dB/dt.4、模型假设3）f1(x)与B(t2)成正比，系数c1(烧毁单位面积损失费）1）0tt1,dB/dt

与t成正比，系数

(火势蔓延速度）2）t1tt2,降为-x

(为队员的平均灭火速度）4）每个队员的单位时间灭火费用c2,一次性费用c3假设1）的解释rB火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径r与t成正比面积B与t2成正比，dB/dt与t成正比.模型建立b0t1tt2假设1）目标函数——总费用假设3）4）假设2）其实我们求B(t2)不需要用积分法，只要知道其几何意义——正好等于上图三角形的面积5、模型建立目标函数——总费用6、模型求解求x使C(x)最小7、结果解释

/

是火势不继续蔓延的最少队员数b0t1t2t其中c1,c2,c3,t1,,为已知参数火势不继续蔓延的最少队员人数c1~烧毁单位面积损失费,c2~每个队员单位时间灭火费,c3~每个队员一次性费用,t1~开始救火时刻,~火势蔓延速度,~每个队员平均灭火速度.

c1,t1,

x

c3,x

c2x为什么?8、模型应用c1,c2,c3已知,t1可估计,

,可设置一系列数值由模型决定队员数量x9、进一步的问题

实际上森林救火的现场会有风，此时如何建模？此外，由于对参数估计形成的误差以及对现场情况估计缺乏而造成救援队员派出人数不足而需增援，此时又如何建模？3.4最优价格问题根据产品成本和市场需求，在产销平衡条件下确定商品价格，使利润最大假设1）产量等于销量，记作x2）收入与销量x成正比，系数p即价格3）支出与产量x成正比，系数q即成本4）销量x依赖于价格p,x(p)是减函数建模与求解收入支出利润进一步设求p使U(p)最大使利润U(p)最大的最优价格p*满足最大利润在边际收入等于边际支出时达到建模与求解边际收入边际支出结果解释

q/2~成本的一半

b~价格上升1单位时销量的下降幅度（需求对价格的敏感度）

a~绝对需求(

p很小时的需求)b

p*

ap*思考：如何得到参数a,b?3.5血管分支背景机体提供能量维持血液在血管中的流动给血管壁以营养克服血液流动的阻力消耗能量取决于血管的几何形状在长期进化中动物血管的几何形状已经达到能量最小原则研究在能量最小原则下，血管分支处粗细血管半径比例和分岔角度问题模型假设一条粗血管和两条细血管在分支点对称地处于同一平面血液流动近似于粘性流体在刚性管道中的运动血液给血管壁的能量随管壁的内表面积和体积的增加而增加，管壁厚度近似与血管半径成正比qq1q1ABB´CHLll1rr1q=2q1r/r1,?考察血管AC与CB,CB´粘性流体在刚性管道中运动p~A,C压力差，~粘性系数克服阻力消耗能量提供营养消耗能量管壁内表面积2rl管壁体积(d2+2rd)l,管壁厚度d与r成正比模型假设qq1q1ABB´CHLll1rr1模型建立qq1q1ABB´CHLll1rr1克服阻力消耗能量提供营养消耗能量机体为血流提供能量模型求解qq1q1ABB´CHLll1rr1模型解释生物学家：结果与观察大致吻合大动脉半径rmax,毛细血管半径rmin大动脉到毛细血管有n次分岔观察：狗的血管血管总条数推论n=？q2U(q1,q2)=cq103.6消费者均衡问题消费者对甲乙两种商品的偏爱程度用无差别曲线族表示，问他如何分配一定数量的钱，购买这两种商品，以达到最大的满意度。设甲乙数量为q1,q2,消费者的无差别曲线族(单调减、下凸、不相交），记作U(q1,q2)=cU(q1,q2)~效用函数已知甲乙价格p1,p2,有钱s，试分配s,购买甲乙数量q1,q2,使U(q1,q2)最大.s/p2s/p1q2U(q1,q2)=cq10模型及求解已知价格p1,p2,钱s,求q1,q2,或p1q1/p2q2,使U(q1,q2)最大几何解释直线MN:最优解Q:MN与l2切点斜率·MQN··结果解释——边际效用消费者均衡状态在两种商品的边际效用之比恰等于它们价格之比时达到。效用函数U(q1,q2)应满足的条件A.U(q1,q2)=c

所确定的函数q2=q2(q1)单调减、下凸解释B的实际意义效用函数U(q1,q2)几种常用的形式消费者均衡状态下购买两种商品费用之比与二者价格之比的平方根成正比。

U(q1,q2)中参数,分别表示消费者对甲乙两种商品的偏爱程度。购买两种商品费用之比与二者价格无关。

U(q1,q2)中参数,

分别表示对甲乙的偏爱程度。思考：如何推广到m(>2)种商品的情况效用函数U(q1,q2)几种常用的形式3.7冰山运输背景

波斯湾地区水资源贫乏，淡化海水的成本为每立方米0.1英镑。

专家建议从9600千米远的南极用拖船运送冰山，取代淡化海水从经济角度研究冰山运输的可行性。建模准备1.日租金和最大运量船型小中大日租金（英镑）最大运量（米3）4.06.28.051051061072.燃料消耗（英镑/千米）3.融化速率（米/天）与南极距离(千米)船速(千米/小时)01000>400013500.10.300.150.4500.20.6冰山体积(米3)船速(千米/小时)1051061071358.410.512.610.813.516.213.216.519.8建模准备建模目的选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立米水的费用最低，并与淡化海水的费用比较模型假设航行过程中船速不变，总距离9600千米冰山呈球形(?)，球面各点融化速率相同到达目的地后，每立方米冰可融化0.85立方米水建模分析目的地水体积运输过程融化规律总费用目的地冰体积初始冰山体积燃料消耗租金船型,船速船型船型,船速船型模型建立1.冰山融化规律船速u(千米/小时)与南极距离d(千米)融化速率r(米/天）r是u的线性函数；d<4000时u与d成正比d>4000时u与d无关.航行t天第t天融化速率01000>400013500.10.300.150.4500.20.6urd1.冰山融化规律冰山初始半径R0，航行t天时半径冰山初始体积t天时体积总航行天数选定u,V0,航行t天时冰山体积到达目的地时冰山体积2.燃料消耗1051061071358.410.512.610.813.516.213.216.519.8Vu