2017年高考真题-数学理(全国Ⅰ卷)Word版含答解析

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.31}，则1．已知集合A={x|x<1}，B={x|xA．AB{x|x0}B．ABRD．ABC．AB{x|x1}【答案】A【解析】x0，即31试题分析：由可得，则33x0B{x|x0}，所以AB{x|x1}{x|x0}x{x|x0}，AB{x|x1}{x|x0}{x|x1}，故选A.【考点】集合的运算，指数运算性质【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.2．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是1A．4πB．81C．2πD．4【答案】B【解析】πaa圆的半径为，正方形的面积为a2.由图形的对称试题分析：设正方形边长为a，则2，圆的面积为24性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑11πa2色部分的概率是π24，选B.a82秒杀解析：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概1率p满足p1，故选B.42【考点】几何概型【名师点睛】对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体P(A).积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算3．设有下面四个命题1p：若复数z满足，则RzzR；1p：若复数z满足z2R，则zR；2p：若复数z,z满足zzR，则zz；3121212p：若复数zR4，则zR.其中的真命题为A．p,pB．p,pC．p,pD．p,p24131423【答案】B【考点】复数的运算与性质zabi(a,bR)的形式【名师点睛】分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.4．记S为等差数列{a}的前n项和．若aa24S48{a}的差公为n，，则nn456A．1B．2C．4D．8【答案】C【解析】2【考点】等差数列的基本量求解{a}【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，若nmnpq，则aaaa.qmnp5．函数f(x)在(,)单调递减，且为奇函数．若f(1)1，则满足1f(x2)1的x的取值范围是[2,2]A．[1,1]B．[0,4]C．[1,3]D．【答案】D【解析】f(x)为奇函数且在(,)单调递减，要使1f(x)1成立，则x满足1x1，试题分析：因为从而由1x211x31f(x2)1[1,3]成立的的取值范围为，选D.x得，即满足【考点】函数的奇偶性、单调性【名师点睛】奇偶性与单调性的综合问题，要充分利用奇、偶函数的性质与单调性解决不等式和比较大f(x)f(x)0，则上为单调递增的奇函数，且1xx0，反之亦成立.12f(x)在小问题，若R21(1)(1x)6展开式中2的系数为x6．x2A．15B．20C．30D．35【答案】C【解析】(11)(1x)61(1x)61(1x)6试题分析：因为，则x(1)6展开式中含x2的项为x2x21(1x)6展开式中含x2的项为1，故Cx415xx2的系数为151530，选1C2x215x，46226x2x2C.【考点】二项式定理3【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析含x2的项共有几项，进行相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项展开式中的.r不同7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为A．10B．12C．14D．16【答案】B【解析】试题分析：由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为2(24)2112，故选B.2【考点】简单几何体的三视图【名师点睛】三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图.8．下面程序框图是为了求出满足3n−2n>1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入A．A>1000和n=n+1B．A>1000和n=n+2C．A1000和n=n+1D．A1000和n=n+24【答案】D【考点】程序框图【名师点睛】解决此类问题的关键是读懂程序框图，明确顺序结构、条件结构、循环结构的真正含义.本题巧妙地设置了两个空格需要填写，所以需要抓住循环的重点，偶数该如何增量，判断框内如何进行判断可以根据选项排除.9．已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+3)，则下面结2π论正确的是π曲线向右平移个单位长度，A．把C1上各点的2倍，横坐标伸长到原来的纵坐标不变，再把得到的得6到曲线C2π曲线向左平移个单位长度，B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的得12到曲线C21横坐标缩短到原来的π曲线向右平移个单位长度，C．把C1上各点的倍，纵坐标不变，再把得到的得26到曲线C21横坐标缩短到原来的π纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，12D．把C1上各点的倍，2得到曲线C2【答案】D【解析】5C,C函数名不同，所以先将C利用诱导公式转化成与C相同的函数名，则21试题分析：因为12C:ysin(2x)cos(2x)cos(2xπ)，则由2π2ππ1C上各点的横坐标缩短到原来的倍变2133262πycos2x，再将曲线向左平移个单位长度得到为C，故选D.212【考点】三角函数图象变换【名师点睛】对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要sincos(π),cossin(π)；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先重点记住22伸缩后平移在考试中也经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量.x而言10．已知F为抛物线C：y=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l，l，直线l与C交于A、B两点，2121直线l与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为C．122A．16B．14D．10【答案】A【考点】抛物线的简单几何性质弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用【名师点睛】对于抛物线能弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则2p2p2p2p2p4(1|AB||DE|，则cos2，所以|AB||DE|cos2sin2πsin2cos2sin2(+)2)4(22)16.111sin2cos2cos2sin2)4()(cos2sin2)4(2sin2cos2sin223y5z，则11．设x、y、z为正数，且x6A．2x<3y<5zB．5z<2x<3yC．3y<5z<2xD．3y<2x<5z【答案】D【考点】指、对数运算性质【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的x,y,z，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.12．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.的激活码是A．440B．330C．220D．110【答案】A【解】析试题分析：由题意得，数列如下：1,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k1k(k1)则该数列的前12k项和为2k(k1)1(12)(122k1)2k1k2，S27k(k1)100k14，此时k22，有，所以是第kk21组等比数列1,2,,2k的部分要使k12和，设k21222t1，t1t5，此时k2314，则k2329，所以t529305440，故选A.N所以对应满足条件的最小整数2【考点】等差数列、等比数列【名师点睛】本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则|a+2b|=.23【答案】【解析】试题分析：|a2b|2|a|24ab4|b|24421cos60412|a2b|1223.，所以秒杀解析：利用如下图形，一夹角为60°的菱形的对角线的长可以判断出a2b的模是长以2为边长，23度，则为.【考点】平面向量的运算【名师点平面向量中涉及有的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，这类问题时形结合的思想，会加快解题速度.睛】关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做可以使用数x2y1，则zxy的最小值为2xy1，32.14．设x，y满足约束条件xy0，85【答案】【解析】试题分析：不等式组表示的可行域如图所示，111133A(1,1),B(,),C(,)，易求得33由z3x2y得y3x在y轴上的截距越大，22zz就越小，所以，当直线z3x2y过点A时，z取得最小值，所以z的最小值为3(1)215.【考点】线性规划【名师点睛】本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意z前面的系数为负时，截距越大，z值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.xyC：21（a>0，b>0）的右顶点为2A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线ab.若∠MAN=60°，则C的离心率为.15．已知双曲线22C的一条渐近线交于M，N两点23【答案】3【解析】试题分析：如图所示，作APMN，因为圆MNA与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则为双曲线的渐9b近线yx上的点，且A(a,0)，|AM||AN|b，a而APMN，所以PAN30，|b|A(a,0)到直线ybx的距离|AP|点，a1b2a2cosPAN|PA|a3b2，即，a3b，代入计算得2在Rt△PAN中，|NA|由cab2得c2b，22c2b23.3所以e3ba【考点】双曲线的简单几何性质【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题备受出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距abb；③双曲线的顶点到渐近线的距离是.c离是16．如图，等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长cm）的最大值为圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的上的点，变化时，所得三棱锥体积（单位：.3415【答案】【解析】10试题分析：如下图，连接DO交BC于点G，设D，E，F重合于S点，正三角形的边长为x(x>0)，则OG13x3x.6323x，FGSG563x，3232SOhSG2GO25xx55663三棱锥的体积V1Sh13x2553x1535x5.x43343123△ABC设5nx353nx20x3x5，x>0，则x4，3x43x4令0，即nx40，得，易知在处取得最大值nxx43x43.x33154854415.∴Vmax12【考点】简单几何体的体积【名师点睛】对于三棱锥最值问题，需要用到函数思想进行解决，本题解决的关键是设好未知量，利用图形特征表示出三棱锥体积.当体积中的变量最高次是2次时可以利用二次函数的性质进行解决，当变量是高次时需要用到求导的方式进行解决.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）11a2△ABCabc△ABC的内角，，的对边分别为，，，已知的面积为.ABC3sinA（1）求sinBsinC;（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.【解析】1acsinB1）由三角形面积公式建立等式2a2试题分析：（，再利用正弦定理将边化成角，从而3sinAcoscos1和sinBsinC计算出cos(BC)12得出sinBsinC的值；（2）由BC，从而求出632角A，根据题设和余弦定理可以求出bc和bc的值，从而求出△ABC的周长为.333【考点】三角【名师点睛】在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将是“已知函数及其变换所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全yAsin(x)b，从而求出范围，或利用余弦定理以及部转化为角的关系，建立函数关系式，如基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.18．（12分）12如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且BAPCDP90.（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，APD90，求二面角A−PB−C的余弦值.【解析】试题解析：（1）由已知BAPCDP90，得AB⊥AP，CD⊥PD.由于AB//CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.PAD（2）在平面内作PFADF，垂足为，ABPADABPFPFABCD，可得平面.由（1）可知，平面，故建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.F以为坐标原点，FAx的方向为轴正方向，为单位长，|AB|13A(,0,0)，P(0,0,2)，B(2,1,0)，C(21）及已知可得22,1,0).由（222所以PC(2,1,2)，CB(2,0,0)，PA(2,0,2)，AB(0,1,0).2222设n(x,y,z)是平面PCB的法向量，则2xy22z0,nPC0,nCB0,即22x0,可取n(0,1,2).设m(x,y,z)是平面PAB的法向量，则x22z0,2mPA0,mAB0,即2y0.可取m(1,0,1).nm3，则cos<n,m>|n||m|33所以二面角APBC的余弦值为.3【考点】面面垂直的证明，二面角平面角的求解【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.19．（为了监控某种零件的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取并测量其16个零件，cm）．根据长期生产经验，可以12分）一条生产线的尺寸（单位：认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(,2)．(3,3)之外的零件数，（1）设假生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在求P(X1)及的数学期望；X(3,3)之外的零件，就认为这条生产线在这一（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在14天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ⅱ）下面是检16个零件的尺寸：验员在一天内抽取的9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得x1x9.97，s1(xx)21(x216x2)0.212，其中x为抽取的161616161616iiiii1i1i1第i个零件的尺寸，i1,2,,16．ˆˆs用样本平均数x作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当用剩下的数据估计和（精确到0.01）．天的生产过程进行检查？剔除(ˆ3ˆ,ˆ3ˆ)之外的数据，3)0.9974，ZP(3附：若随机变量Z服从正态分布N(,2)，则0.9974160.9592，0.0080.09．【解析】一个零件的尺寸在(3,3)之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在1）抽取的试题解析：（(3,3)之外的概率为0.0026，故X~B(16,0.0026).因此P(X1)1P(X0)10.9974160.0408.X的数学期望为EX160.00260.0416.(3,3)之外的概率只有0.0026，一天内抽取（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在的16个零件中，出现尺寸在(3,3)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小.因此一这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生见上述监控生产过程的旦发生产过程进行检查，可方法是合理的.ˆ0.212（ii）由x9.97,s0.212，得的估计值为9.97，的估计值为，由样本数据可ˆ以看出有一个零件的尺寸在(ˆ3ˆ,ˆ3ˆ)之外，因此需对当天的生产过程进行检查.151(ˆ3ˆ,ˆ3ˆ)(169.979.22)10.02，因此的剔除之外的数据9.22，剩下数据的平均数为15估计值为10.02.16(ˆ3ˆ,ˆ3ˆ)之外的数据9.22，剩下数据的样x2160.2122169.9721591.134，剔除ii11(1591.1349.2221510.022)0.008，本方差为150.0080.09.因此的估计值为【考点】正态分布，随机变量的期望和方差【名师点睛】数学期望是离散型随机变量中重要的数学概念，反映随机变量取值的平均水平.求解离散型随机变量的分布列、数学期望时，首先要分清事件的构成与性质，确定离散型随机变量的所有取值，然后根据概率类型选择公式，计算每个变量取每个值的概率，列出对应的分布列，最后求出数学期望.3正态分布是一种重要的分布，之前考过一次，尤其是正态分布的原则.20．（12分）33P（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有122xy22=1已知椭圆C：（a>b>0），四点a2b2三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.【解析】试题分析：（1）根据，两点关于y轴对称，由椭圆的对称性可知C经过P，两点.另外由P34P3P41113P,P,P在椭圆上，代入其标准方程，C不经过点P，所以点P2在C上.因此1知，234a2b2a24b2即可求出C的方程；（2）先设直线P2A与直线P2B的斜率分1别为k，k2，再设直线l的方程，当l与xx2y21，写出不满足题意，再设l：ykxm（m1），将ykxm通过计代入4轴垂直时，算，判别式，利用根与系数的关系表示出x1+x2，xx12，进而表示出，根据1列出等式表示出kkkk1212k和m的关系，从而判断出直线恒过定点.试题解析：（1）由于P，关于y轴对称，故由题设知C经过P，两点.两点P4P433又由111a2b23知，C不经过点P，所以点P2在C上.1a24b21611,a24,b2因此解得2131,b1.a24b2x2故C的方程为y21.4（2）设直线PA与直线PB的斜率分别为k，k2，2214t2l：x=t，由题设知0，且，可得||2A，B的坐标分别为（t，），（t，2如果l与x轴垂直，设tt4t2）.24t224t221，得2，不符合题设.t则kk12t2t2x2ykxmm（1）.将ykxm1得从而可设l：代入y24(4k21)x28kmx4m240.由题设可知k=16(42m21)0.28km4k214m=4k214.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，xx12y1y1而kk1212xx12kxm1kxm112x1x22kxx(m1)(xx).1212xx12由题设1，故(2k1)kk(m1)()0.xx12xx1212即(2k1)4m24(m1)8km4k10.24k12m1.k解得2m1m1当且仅当1时，，于是0l：xmy，即1(x2)，my22所以l过定点（2，1）.【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而17可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简.21．（12分）已知函数f(x)ae2x(a2)exx.（1）讨论f(x)的单调性；f(x)有两个零点，求的取值范围（2）若a.【解析】试题分析：（1）讨论a按f(x)单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对a0，a0进行讨论，写出单调区间；（a0，f(x)至多有一个零点.若2）根据第（1）问，若a0，当1xlna时，a1f(lna)1lna，根据f(x)取得最小值，求出最小值a(1,)，，aa(0,1)进行讨论，可知当a(0,1)时有f(x)在(,lna)有一个零点；设正整数2个零点.易知n0nln(31)，则f(n)en0(aen0a2)nen0n2n0n0.由于ln(31)lna，满足0a0000a因此f(x)在(lna,)有一个零点a的取值范围为(0,1)..从而可得f(x)2ae2x(a2)ex1(aex1)(2ex1)，f(x)的定义域为(,)，试题解析：（1）a0，则f(x)0，所以f(x)在(,)单调递减.（ⅰ）若a0，则由f(x)0得xlna.（ⅱ）若当x(,lna)时，f(x)0；当x(lna,)时，f(x)0，所以f(x)在(,lna)单调递减，在(lna,)单调递增.a0，由（f(x)至多有一个零点（2）（ⅰ）若1）知，.f(lna)11lna.a0，由（xlna时，f(x)取得最小值，最小值为（ⅱ）若1）知，当a当①a1时，由于f(lna)0，故f(x)只有一个零点；11lna0，即f(lna)0，故f(x)没有零点；a②当a(1,)时，由于11lna0，即f(lna)0.aa(0,1)时，③当又f(2)ae4(a2)e222e220，故f(x)在(,lna)有一个零点.18nln(31)，则n满足f(n)en0(aen0a2)nen0n2n0n0.0000设正整数00a3由于ln(1)lna()(ln,)有一个零点fx在a，因此.a(0,1)综上，a的取值范围为.【考点】含参函数的单调性，利用函数零点求参数取值范围f(x)有2个零点求【名师点睛】研究函数零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化.已知函数参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断ya与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单f(x)有2个零点，调性、极值、最值，注意点是若且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于.0的点10分.请考生在第22、23题中任选22．[选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）（二）选考题：共一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.x3cos,在直角坐标