2021届高三第一次(4月)模拟考试数学考试题(带答案)详解+解析点睛

2021届高三第一次（4月）模拟考试数学考试题（带答案）详解+解析点睛

姓名:年级:学号：

题型选择题填空题简答题XX题XX题XX题总分

得分

评卷入得分

第1题

设集合/=卜"“2r"闾,4=｛工皿40,则ACB=（）

A.B.C.D.

【答案解析】

C

【分析】

j<=^xO<x<—>j?=fx|O<x<l)

计算2J,I।再计算交集得到答案

〃=｛中42*4闾=

Hx0x

--2'7J=(r|lnr<O)=(x|O<r<l}

［详解］L”,9J

故如八阊

故选：C

【点睛】本题考查了交集计算，意在考查学生的计算能力.

第2题

已知复数z满足2（1+之）=4+3/（i为虚数单位），则复数W在复平面内对应的点在第（）象限.

A.一B.二C.三D.四

【答案解析】

A

【分析】

化简得到z=2-i,故z=2+i,得到答案.

74.3i（4+支）。一石）_10一517—

【详解】，则2=下石=0+第0-20=丁=一〔故,

对应的点在第一象限.

故选：人

【点睛】本题考查了复数的化简，共聊复数，复数对应象限，意在考查学生的计算能力.

第3题

设命题P：任意常数数列都是等比数歹|J.则子是（）

A.所有常数数列都不是等比数列B.有的常数数列不是等比数列

C.有的等比数列不是常数数列D.不是常数数列的数列不是等比数列

【答案解析】

B

【分析】

直接根据命题的否定的定义得到答案.

【详解】全称命题的否定是特称命题，

命题：任意常数数列都是等比数列，则：有的常数数列不是等比数列.

故选：B.

【点睛】本题考查了命题的否定，意在考查学生的推断能力.

第4题

AP=AD^xAB^yAA则实数x+y的值

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是C1D1的中点，且l

为（）

3113

A.2B,2c,2D,2

【答案解析】

D

【分析】

布=万土石万x=-1

化简得到2,得到2,y=i,得到答案.

+函+审=近+%*」方=而+斯+y％

【详解】

3

x+y=2

故，，

故选：D

【点睛】本题考查了空间向量的运算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

第5题

3c

〃%）=产I

函数村在区间［一3,。）“。,3］上大致图象为（）

【答案解析】

C

【分析】

判断函数为奇函数排除血，计算，（3）＞0排除，得到答案.

—snx

〃一）=x

ln|2^-2x|=-/（）

【详解】，,故函数为奇函数，排除;

〃力号＞。

排除.

故选：.

【点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数为奇函数是解题的关键.

第6题

某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分用茎叶图表示，茎叶图中甲得分的部分数据丢失（如图），

但甲得分的折线图完好，则下列结论正确的是（）

B.乙得分的中位数是18.5

C.甲运动员得分有一半在区间［20,30］上

D.甲运动员得分的平均值比乙运动员得分的平均值高

【答案解析】

D

【分析】

根据茎叶图和折线图依次判断每个选项得到答案.

【详解】A.甲得分的极差是28-9=19,错误；

=^-^=16J5

B.乙得分的中位数是2,错误；

C.甲运动员得分在区间I"1?。］上有3个，错误；

9+12+13+13*15+20+26+28口

D.甲运动员得分的平均值为：81

9+14+15+16+17+18+19+20«

-------------------------------------------=16

乙运动员得分的平均值为：8,故正确.

故选：.

【点睛】本题考查了茎叶图和折线图，意在考查学生的计算能力和理解能力.

第7题

已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球。的球面上，£4J■平面ABC,£1=2,AB=1,AC=2

ZBAC=-

3,则球0的体积为（）

16昌献%

A.3B,3c.4点atD.3

【答案解析】

B

【分析】

*=/+隹［=2

计算=根据正弦定理得到r=l,121,得到答案.

222

【详解】根据余弦定理：BC=AC+AB-2ABACcos/LRAC=3t故，

根据正弦定理：snZBAC,故，r为三角形Z8C外接圆半径,

设A为三棱锥S-0纶外接球的半径

,故於二也,,故

故选：.

【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

第8题

普田。)

x-1

Inx,

x>0

—(),若关于的方程一厢）（）丽二°有且只有两个不同实

已知函数Xx/“—

数根，则府的取值范围是（）

（川,0）噂2）

A.

(川,-1)U(T0)UG，2|D(-⑼UG」［U(L2)

C.

【答案解析】

C

【分析】

确定工>0函数的单调区间，画出函数图像，变换（f㈤F）（〃X）+1）=°,得到〃x）=T和

根据函数图像得到答案.

_Inx,1-lnx,、1

Z(zx)x=--f9(/x)v=--2-/(^)=-

【详解】当时，'‘"，则''J,一。

函数在（0，。）上单调递增，在【电也）上单调递减，画出函数图像，如图所示:

,即，

当时，根据图像知有1个解,

故有1个解，根据图像知1=>

故选：.

【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像，变换是解题的关键.

第9题

（多选题）某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身

高都处在A、B、C、D、E五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是（）

男生身高情况扇形图

女生身离情况良方图

A.样本中女生人数多于男生人数

B.样本中B层人数最多

C.样本中E层次男生人数为6人

D.样本中D层次男生人数多于女生人数

【答案解析】

ABC

【分析】

根据直方图和饼图依次判断每个选项的正误得到答案.

【详解】样本中女生人数为：9+24+15+9+3=60,男生数为100—60=40,正确;

样本中层人数为：9+40x10%=13.样本中层人数为：24+40x30%=36；

样本中层人数为：15+40x25%=25.样本中层人数为：9*40x20%=17；

样本中底层人数为：3+40x15%=9.故正确；

样本中层次男生人数为：40x15%=6,正确;

样本中层次男生人数为：40x20%=8,女生人数为9,错误.

故选：.

【点睛】本题考查了统计图表，意在考查学生的计算能力和应用能力.

第10题

（多选题）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号"，从此我国开始

了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道

上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连

线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2c,下列结论正确的是（）

A.卫星向径的取值范围是［”一小“十目

B.卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间

C.卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁

D.卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小

【答案解析】

ABD

【分析】

根据椭圆的定义和性质和面积守恒规律，依次判断每个选项得到答案.

【详解】根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是，正确；

当卫星在左半椭圆弧的运行时，对应的面积更大，面积守恒规律，速度更慢，正确;

a+c1+w1+e,当比值越大，则。越小，椭圆轨道越圆，错误.

根据面积守恒规律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，正

确.

故选：ABD

【点睛】本题考查了椭圆的定义和性质，意在考查学生的理解能力和应用能力.

第11题

（多选题）已知函数00sxI,下列命题正确的为（）

A.该函数为偶函数B.该函数最小正周期为加

C.该函数图象关于对称D.该函数值域为［一L点］

【答案解析】

BCD

【分析】

XH

化简函数，得到函数图像，计算〃x+2A)=〃x),/(?r-x)=/(x)j讨论巴2^2

XG

计算得到答案.

n

x+—

【详解】当COSK'O时,

=smx—cosx=-^sin|x——I

当cos"<0时，【4),

画出函数图像，如图所示：

根据图像知：函数不是偶函数，错误；

〃日2")=皿日2可+皿任+叫卜一叫皿中〃耳，该函数最小正周期为，正确;

〃用-力皿”-小皿伊-到=■叫8sxi寸㈤，故该函数图象关于对称，正确;

f在）=逝sin卜+彳[e[-L

根据周期性，不妨取,

〃jc）=后dn（无-；＞[-L/]

,故值域为.

故选：BCD-

【点睛】本题考查了三角函数的奇偶性，周期，对称性，值域，意在考查学生对于三角函数知识的综

合应用能力.

第12题

（多选题）如图，已知点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，口1/为边BC上的一列点，连

接题交应）于Ga,点Ga（“eN）满足=--44-2（2，+3〉。后，其中数列由｝是首项为1

的正项数列，Sn是数列｛an｝的前n项和，则下列结论正确的是（）

A“3=13B.数列｛,+3｝是等比数列

Pa=4n—3耳=2川—森―2

u.®un.n

【答案解析】

AB

【分析】

化简得到砂=（。一么一3卜G5-（况+31G/,根据共线得到01Hl-况-3=0,即

,H1

。+3=2（/+3）,HS^,=2-3I依次判断每个选项得到答案.

丽=~甲-2（"+3）一；用+同

k1丰用牛J，,

故，G〃G/共线，故，

即，/T,故％*3=4x2：故

.=24—3=13,正确；数列是等比数列，正确；

[—2HL

5^=4—--3H=2,W2-3H-4

,错误；1-2,故错误.

故选：

【点睛】本题考查了向量运算，数列的通项公式，数列求和，意在考查学生的计算能力，转化能力和

综合应用能力.

第13题

某校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名学生只参加一个小组，单位：人）.

篮球组

书画组

乐器组

高一

45

30

局二

15

10

20

学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，用分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中

抽取30人，结果篮球组被抽出12人，求a的值.

【答案解析】

a=30

【分析】

根据三个小组抽取的总人数为30人表示出抽样比，该抽样比就等于篮球组被抽取的人数除以篮球组总

人数，由此计算出a的值.

________30________

【详解】因为抽样比为：45+15+30+10+a+20,

________30________12

所以结合题意可得：45+15+30+10+a+2045+15,

解得.

【点睛】本题考查分层抽样的简单应用，难度较易.分层抽样的抽样比等于每一层抽取的比例.

第14题

如图，在棱长为1的正方体46中，点E、F是棱BC、CC1的中点，P是底面ABCD上（含边界）一动点,

满足4"匹，贝I］线段4P长度的最小值为.

【答案解析】

【分析】

如图所示：连接4。，皿，故"PJ■平面3cs1,故尸在线段CD上，计算得到答案.

【详解】如图所示:

连接，，易知研/皿，4g皿，故数

,故即J■平面4。尸，故即_LOP,y即,

故平面，故在线段上，故线段长度的最小值为4。=@.

故答案为：.

【点睛】本题考查了立体几何中线段的最值问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

第15题

/V2

C：F-4=l(a>0,b>0)

已知双曲线&b、的左、右焦点分别为F1、F2.

(1)若F2到渐近线的距离是3,则b为

(2)若P为双曲线C右支上一点，N"居=.且工酩4的角平分线与轴的交点为Q,满足

旌=20^,则双曲线C的离心率为

【答案解析】

3；B

【分析】

直接利用点到直线的距离公式计算得到答案；，则咫=27骂，故理=.，朋=3，再利用余

弦定理计算得到答案.

上X/一二一3

【详解】取渐近线方程为a",即加一郎=°,K（Q°）到直线的距离为—1,

故占=3；

,则，欧一9=巴故，，

根据余弦定理：4c2=4a2+16O2-2x4a2acos60°,整理得到：cJ=3a2,故。=道.

故答案为：3；.

【点睛】本题考查了双曲线的渐近线问题，离心率问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.

第16题

/(x)=sin

若函数存在唯一极值点，且在上单调，则。的取值范

围为.

【答案解析】

【分析】

K(X5KXY5JC6

—el—,——fi>+—IK—<——<———<e><

616186人故21862,根据周期得到5

得答案.

司碟)乙在

【详解】I18人则，故，解得55,

工〉冗―巴—三

2~^~2=2,故冗，®<2,即，

(xx(xnxx(23Jr7”]

xe—,xfi>x+—e—0+—,J8»+——o+—e-----,—I

【2J,则6U66),故26【306J

则，解得3；

综上所述：.

故答案为：.

【点睛】本题考查了根据三角函数的极值点和单调性求参数范围，意在考查学生的计算能力和综合应

用能力.

第17题

在条件①2c0szeca,(g)Can2~aan

③(smA-siiiC)=sin2d113shic中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.

已知aABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c,且。=行，b-c=2,.求BC边上的高

【答案解析】

3®

14

【分析】

依次计算选择①②③的情况，根据正弦定理和余弦定理，三角恒等变换计算得到可，，再利用等

面积法计算得到答案.

【详解】若选①因为，

由正弦定理得•2cos题由iBcosC+sinCcosB)=sind

即2cos'in(3+C)=sin',015"—2,因为0＜幺＜冗，所以

02-|-c2—be=7

由余弦定理得：,=b2+c2_2&C8sd,所以，一C=2,

化简得：，+&-3=0,所以c=-3(舍去)或者c=l,从而.

1,..1,,3万

—bcsmA=-ahh=-----

设BC边上的高是入，所以22,所以14.

=smisinC

若选②由题设及正弦定理，2,

B+C./

sn--------=smA

因为sin。#。，所以2,

B+CAAAA

sin--------=cos—cos—=Zan——cos——

由=可得22,故222,

cos——0sin-=—

因为2，故22,因此，下同选①；

若选③由已知得故由正弦定理得廿*'-公=加.

b'+c'-fl31

CDSA=------------=—

由余弦定理得次2.因为，所以，下同选①.

故答案为：.

【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和应用能力.

第18题

已知数列｛an｝的前n项和为名=W+C+W+…+或，数列｛bn｝满足，=1吗，，

（1）求数列｛an｝、｛bn｝的通项公式;

（2）求.=裙_曲*"_砂+―+（T）1Ml.

【答案解析】

2

学,就珊

2

【分析】

（1）Sa=2Q—1,,=s「Sc=B代入计算得到，得到答案.

（2）讨论”=21和”=21-1两种情况，计算得到答案.

4

【详解】（1）5B=C2+C*+C；+--+C*=2*-1

当”N2时，，

当”=1时，也满足，所以，

又数列｛"J满足，所以.

（2）当，“N•时，＜=（片-用）*阂-靖+…

=一（4地+.•+%）=-［（1+2+-+（2i-l））］=一/+k

当时产=付一用）*（及一彳）+…+（心一*Lz）+曝T

=-［（1+2+…+（2t-=2ta_致+1

n—n2

，朗瞰

2

-2*2+t(H=2i；)q=

H2-n

，就奇数

q=242-3t+l,(n=2*-l)即

所以2

【点睛】本题考查了等差数列，等比数列通项公式，意在考查学生对于数列I(1)证明3,

£4/27”得到答案

(2)以与垂直的直线为轴，所在直线为丁轴，〃所在直线为z轴建立空间直角坐标系，面pm的

"*一[“，工),面幺6的法向量为(°，」)，根据夹角得到入=2,平面PCE的法向量

法向量记为

”=(221),计算得到答案.

BC=-AD

【详解】(1)因为点为的中点，2,ADIIBC,

所以四边形神CE为平行四边形，即.

因为、M分别为棱、ED的中点，.

EM[\EC^E^所以平面平面

(2)如图所示

因为卫4_1_疑，PAX.CD,与为相交直线，所以"JL平面期CD,不妨设加=2,则

BC=CD=-AD=1

2

以与垂直的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设〃=力，4(0,0,0),

O(QZO)C(—LZ0)P(0,0,fc)

，，，

从而而=(0,2叫丽=(L0.0)

Jm-PD=Oj2j^-Jtel=0

面的法向量记为吁国M，4),贝/崩-CD=。，可得h=0

2

令M=l,则。=%，，

又面的法向量为，二面角尸—CD一幺的大小为45°.

h_3

2,解得，所以/O,"),司010),,

所以由=(—LLO)诙=(O,L—2)万=(0,0,2)

方诙=0［必-24=0

设平面的法向量为”=(巧仍乃)，则I才-初=°,可得：1一巧+及=°

令的=2,则/="Z2=l所以

P^~"|_2_1

sm^=|cos{>lP;,nj=

回«「岳2F

设直线与平面所成角为8,则

【点睛】本题考查了面面平行，二面角，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

第20题

已知抛物线B："=2即(p>o)的焦点为F,圆M的方程为：Y+,一卫y=O,若直线无=4与X轴

例=*侬I

交于点R,与抛物线交于点Q,且41

(1)求出抛物线E和圆M的方程.

(2)过焦点F的直线F与抛物线E交于A、B两点，与圆M交于C、D两点(A,C在y轴同侧)，求证:

囤卜网是定值.

【答案解析】

(1)抛物线氏圆—(2)证明见解析

【分析】

(1)设),则产。=2p,代入方程计算得到答案.

⑵设直线的方程是：尸=机+1,'（&，乂），典巧必），联立方程得到区4■巧=4*,不-巧=—,

㈤1fLi婀=%+1,计算得到答案.

p5

Jb+7T=jJb

【详解】（1）设，由得24,所以，

将点（4*）代入抛物线方程得P=2,所以抛物线，圆.

（2）抛物线的焦点尸（RD,

7=4产

设直线的方程是：，，，l/=h+l

有3*4=。,则-1限*1）>0且

由条件可知圆Y+TT'T的圆心为M°J）,半径为1,圆心就是焦点，

由抛物线的定义有，，

则图卜⑷1-1=也网=网-1=匕

233

卜阳）|=乂>^=（ta14-l）（ta2+l）=tj^x24-i（jq+x^）4-l=-4t+4Jt+l=l

即国H砌为定值，定值为1.

【点睛】本题考查了抛物线方程，圆方程，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

第21题

医院为筛查某种疾病，需要血检，现有"（“'N）份血液样本，有以下两种检验方式：

方式一：逐份检验，需要检验n次；

方式二：混合检验，把每个人的血样分成两份，取*（**2）个人的血样各一份混在一起进行检验，如

果结果是阴性，那么对这人个人只作一次检验就够了；如果结果是阳性，那么再对这个人的另一份血样逐

份检验，此时这份血液的检验次数总共为上+1次.

（1）假设有6份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过3次检验

就能把阳性样本全部检验出来的概率；

（2）假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样

本是阳性结果的概率为P（°<P<1）.现取其中（上WN•且土之2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样

本需要检验的总次数为4,采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为名.

①运用概率统计的知识，若％=%,试求P关于的函数关系式P=/（*）;

②若P=1-«5,且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数

期望值更少，求的最大值.

参考数据：hll«23978,tal2«Z4S49,tal3«25649

【答案解析】

I

2P=l-f-Y（ieN\t>2）

（1）15⑵①W②的最大值为12.

【分析】

（1）记恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为事件，计算概率得到答案.

⑵①计算即=±以=*+