山西省长治市石河沐中学高三数学理下学期摸底试题含解析

山西省长治市石河沐中学高三数学理下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.三个数，，之间的大小关系是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B2.设满足约束条件，若目标函数的取值范围恰好是的一个单调递增区间，则的一个值为（

）A． B．

C.

D．参考答案：D3.下列命题中为真命题的是

A．若

B．直线为异面直线的充要条件是直线不相交C．“”是“直线与直线互相垂直”

的充要条件

D．若命题，则命题的否定为：“”参考答案：D4.在等差数列{an}中，已知a1+a4+a7=9，a3+a6+a9=21，则数列{an}的前9项和S9=(

)A．﹣11 B．13 C．45 D．117参考答案：C【考点】等差数列的前n项和；等差数列的性质．【专题】方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a1+a4+a7=9，a3+a6+a9=21，∴，解得d=2，a1=﹣3．∴S9=9×（﹣3）+=45．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.由直线所围成的封闭图形的面积为(

)

A．

B．1

C．

D．参考答案：C略6.执行如图的程序框图，则输出的值P=（）A．12 B．10 C．8 D．6参考答案：B【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=208时，不满足条件S＜100，退出循环，输出P的值为10．【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=1，S=0满足条件S＜100，S=4，k=2满足条件S＜100，S=16，k=3满足条件S＜100，S=48，k=4满足条件S＜100，S=208，k=5不满足条件S＜100，退出循环，得P=10，输出P的值为10．故选：B．7.

将函数y=sin(2x+)的图象向左平移个单位，再向上平移2个单位，则所得图象的函数解析式是(

)

A．y=2cos2(x+)

B．y=2sin2(x+)C．y=2-sin(2x-)

D．y=cos2x参考答案：C8.将函数的图像向右平移个单位后得到的图像关于原点对称，则的最小值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B将函数的图像向右平移个单位后得到,因为其图象关于原点对称，所以该函数为奇函数，故，解得，即，则正数的最小值为，故选B.

9.设集合,则A∩B=（

）A.(－∞,0]∪[3,+∞) B.[－1,0]∪[3,+∞) C.[－1,0] D.[3,+∞)参考答案：B【分析】先解出集合中的不等式，得出集合，然后计算即可。【详解】解不等式，得或，所以，集合，集合，因此，，故选：B。【点睛】本题考查一元二次不等式的解法以及集合的交集运算，在求解有关无限集合之间的基本运算时，可充分利用数轴来求解，考查计算能力，属于基础题。10.已知集合A=,则B中所含元素的个数为(

)

A.

3

B.

6

C.

8

D.

10参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则=．参考答案：【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】计算题；函数思想；方程思想；三角函数的求值．【分析】求出角的余弦函数值，然后利用两角和的正弦函数化简求解即可．【解答】解：，可得sinα=，cosα=﹣，=sinαcos+cosαsin==．故答案为：．【点评】本题考查两角和的正弦函数以及同角三角函数的基本关系式诱导公式的应用，考查计算能力．12.已知两条直线和互相垂直，则等于

；参考答案：略13.如图，已知圆，四边形为圆的内接正方形，分别为边的中点，当正方形绕圆心转动时，的最大值是_____。参考答案：614.已知平面向量，，不共线，且两两之间的夹角都为，若||＝2，||＝2，||＝1，则++与的夹角是___________．参考答案：60°15.在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=1，点E是AB的中点，点D满足，则=．参考答案：

【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算法则，求得要求式子的值．【解答】解：Rt△ABC中，∵∠A=90°，AB=AC=1，点E是AB的中点，点D满足，∴=?（﹣）=?[+]=?（+）===，故答案为：．16.已知有限集(n≥2).如果A中元素满足

，就称A为“复活集”，给出下列结论：

①集合是“复活集”；

②若，且是“复活集”，则；

③若，则不可能是“复活集”；

④若，则“复合集”A有且只有一个，且n=.

其中正确的结论是_____________.（填上你认为所有正确的结论序号）参考答案：①③④易判断①是正确的；②不妨设a1+a2=a1a2=t，则由韦达定理知a1，a2是一元二次方程x2-tx+t=0的两个根，由Δ>0，可得t<0，或t>4，故②错；③不妨设A中a1<a2<a3<…<an，由a1a2…an=a1+a2+…+an<nan，得<n，当n=2时，即有a1<2，∴a1=1，于是1+a2=a2，a2无解，即不存在满足条件的“复活集”A，故③正确．当n=3时，a1a2<3，故只能a1=1，a2=2，求得a3=3，于是“复活集”A只有一个，为{1，2，3}．当n≥4时，由≥1×2×3×…×(n-1)，即有n>(n-1)!，也就是说“复活集”A存在的必要条件是n>(n-1)!，事实上，(n-1)!≥(n-1)(n-2)=n2-3n+2=(n-2)2-2+n>2，矛盾，∴当n≥4时不存在复活集A，故④正确．17.设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为正整数d．若S32+a32=1，则d的值为

．参考答案：1考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得关于a1的一元二次方程，由△≥0和d为正整数可得．解答： 解：∵S32+a32=1，∴，整理可得10+22a1d+13d2﹣1=0，由关于a1的一元二次方程有实根可得△=（22d）2﹣40（13d2﹣1）≥0，化简可得d2≤，由d为正整数可得d=1故答案为：1点评：本考查等差数列的通项公式和求和公式，涉及一元二次方程根的存在性，属基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分12分）设数列是等差数列,且成等比数列。(1).求数列的通项公式(2).设，求前n项和Sn参考答案：（1）设等差数列的公差为，又则，，，又，,成等比数列.∴，即,解得或，

………4分又时，，与，，成等比数列矛盾，∴，∴，即.

………6分（2）因为，∴………8分∴.

………12分19.在等差数列{an}中，d＞0，若a1+a4+a7=12，a1a4a7=28，数列{bn}是等比数列，b1=16，a2b2=4．（1）求{an}和{bn}的通项公式；（2）令cn=an·bn(n∈N*)，求{cn}的前n项和Tn．参考答案：【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（2），利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）设{an}公差为d，{bn}公比为q．由a1+a7=2a4，得3a4=12，即a4=4．再结合题意，得，解得或（舍）．由a1=1，a7=7，得．故an=a1+（n﹣1）d=n．在数列{bn}中，，解得q=2．所以．（2）因为，所以．又．以上两式作差，得，所以．20.近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数（AirQualityIndex，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．环保部门记录了2017年某月哈尔滨市10天的AQI的茎叶图如下：（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI≤100）的天数；（按这个月总共30天计算）（2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究，求抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率；（3）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．参考答案：【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；BA：茎叶图；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，由此能估计该月空气质量优良的天数．（2）利用对立事件概率计算公式能求出抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率．（3）由（1）估计某天空气质量优良的概率为，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ～B（3，），由此能求出ξ的概率分布列和数学期望．【解答】解：（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，故该样本中空气质量优良的频率为，从而估计该月空气质量优良的天数为30×=18（2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究，基本事件总数n==15，抽取的2天中至少有一天空气质量是优的对立事件是抽取的2天中至少有一天空气质量都不是优，∴抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率：p=1﹣=．（3）由（1）估计某天空气质量优良的概率为，∴ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ～B（3，），，P（ξ=1）=C31，，，故ξ的分布列为：ξ0123P∵，Eξ=3×=1.8．【点评】本题考查概率、频率、二项分布、离散型随机变量的分布列及数学期望等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．21.如图：在平面直角坐标系xOy中，已知分别是椭圆E:的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且．（1）求椭圆E的离心率；（2）已知点D（1,0）为线段的中点，M为椭圆E上的动点（异于点A、B），连接并延长交椭圆E于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连接PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为、，试问是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

参考答案：（1），.，化简得，故椭圆E的离心率为.（2）存在满足条件的常数，.点为线段的中点，，从而，，左焦点，