(完整版)高等数学试题及答案

(完整版)高等数学试题及答案《高等数学》试题30考试日期：2004年7月14日星期三考试时间：120分钟一、选择题1.当$x\to0$时，$y=\ln(1+x)$与下列哪个函数不是等价的（）A)、$y=x$B)、$y=\sinx$C)、$y=1-\cosx$D)、$y=e^x-1$2.函数$f(x)$在点$x$极限存在是函数在该点连续的（）A)、必要条件B)、充分条件C)、充要条件D)、无关条件3.下列各组函数中，$f(x)$和$g(x)$不是同一函数的原函数的有（）。A)、$f(x)=\frac{1}{2}x+\frac{1}{e^{e^{-x}}},g(x)=e^x-e^{-x}$B)、$f(x)=\lnx+\frac{a}{2}+\frac{x^2}{2},g(x)=-\ln\left(\frac{x^2}{a^2}+x-2a\sqrt{\frac{x^2}{a^2}+1}\right)$C)、$f(x)=\arcsin(2x-1),g(x)=3-2\arcsin(1-x)$D)、$f(x)=\cscx+\secx,g(x)=\tanx$4.下列各式正确的是（）A)、$\intx^xdx=2x\ln2+C$B)、$\int\sintdt=-\cost+C$C)、$\int\frac{dx}{1+x^2}=\arctanx+C$D)、$\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsinx+C$5.下列等式不正确的是（）。A)、$d\left[\frac{b}{f(x)}\right]=\frac{bf'(x)}{f^2(x)}dx$B)、$f(x)=\int_a^xf'(t)dt+f(a)$C)、$\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(a+b-x)dx$D)、$\int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx$6.$\lim\limits_{x\to\infty}x\ln(1+t)dt$$=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln(1+x)}{1/x}$$=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{1+x}=0$所以选项为B。7.设$f(x)=\sinbx$，则$\intxf''(x)dx$$=\intx(b^2\sinbx)dx$$=-\frac{1}{b^2}(bx\cosbx-\sinbx)+C$所以选项为D。8.$\int_1^x\frac{1}{t}f\left(\frac{e}{t}\right)dt=\int_e^{ex}\frac{1}{x}f(t)dt$令$t=\frac{e}{u}$，则$\int_e^{ex}\frac{1}{x}f(t)dt=\int_1^x\frac{1}{t}f\left(\frac{e}{t}\right)dt$所以选项为A。9.$\int_{-\pi}^{\pi}(x^2\sin3x)dx$$=\left.\frac{-x^2}{3}\cos3x\right|_{-\pi}^{\pi}+\int_{-\pi}^{\pi}\frac{2}{3}x\cos3xdx$$=0+\left.\frac{2}{9}\sin3x\right|_{-\pi}^{\pi}=0$所以选项为A。10.$\int_{-1}^1x^2\ln(x^2+x+1)dx$令$x=\tant$，则$\int_{-1}^1x^2\ln(x^2+x+1)dx=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\ln\left(\frac{\tan^2t+\tant+1}{\cos^2t}\right)\frac{\tan^2t}{\cos^2t}dt$$=\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\ln(\cos^2t+\sint\cost+1)d(\tant)$$=\left.\tant\ln(\cos^2t+\sint\cost+1)\right|_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}-\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\tant(2\cost+\sint)}{\cos^2t+\sint\cost+1}dt$$=0+\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\sint-2\cost}{\cos^2t+\sint\cost+1}dt$令$u=\tan\frac{t}{2}$，则$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{\sint-2\cost}{\cos^2t+\sint\cost+1}dt=2\int_{-1}^1\frac{u^2-2u}{u^4+2u^3+3u^2+2u+1}du$$=2\int_{-1}^1\frac{(u-1)^2}{(u^2+1)^2}du=\left.-\frac{(u-1)^3}{u^2+1}\right|_{-1}^1=0$所以选项为A。11.$f\left(\frac{1}{x+1}\right)=\frac{x}{x+1}$，则$\int_0^1f(x)dx$$=\int_0^1f\left(\frac{1}{t+1}\right)\frac{1}{(t+1)^2}dt$$=\int_1^2\frac{1}{u^2}f(u-1)du$$=\int_1^2\frac{u-1}{u^2(u-1+1)}du=\int_1^2\frac{1}{u^2}du-\int_1^2\frac{1}{u^3}du$$=\left.-\frac{1}{u}\right|_1^2+\left.\frac{1}{2u^2}\right|_1^2=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-1+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$所以选项为C。12.设$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，$F(x)=\int_a^xf(t)dt(a\leqx\leqb)$，则$F(x)$是$f(x)$的（C）一个原函数。13.设$y=x-\frac{1}{\sinx}$，则$\frac{2dy}{dx}=1-\frac{1}{2\cosx}$（B）。14.$\lim\limits_{x\to\ln(1+x^2)}\frac{1+x-e^x}{x^2}=-1$（D）。15.函数$y=x+\frac{x}{1+x}$在区间$[0,4]$上的最小值为（B）0。二.填空题1.$\frac{1}{2}$2.$\frac{5\pi}{6}$3.$e^x+C$4.$\frac{2x}{1+t^2}$5.$(0,0)$三.判断题1.正确2.正确3.错误4.正确5.错误四.解答题1.由洛必达法则，$\lim\limits_{x\to1-\cosx}\frac{\tan^2(2x)}{x-1+\cosx}=\lim\limits_{x\to1-\cosx}\frac{4\sec^2(2x)}{1+\sinx}=8$。2.由洛必达法则，$\lim\limits_{x\to\pi}\frac{\sinmx}{\sinnx}=\lim\limits_{x\to\pi}\frac{m\cosmx}{n\cosnx}=\frac{m}{n}$。3.令$f(x)=x^3-4x^2+1$，则$f(0)=1,f(1)=-2$，由介值定理，可知$f(x)$在$(0,1)$内至少有一个实根。4.对$\cos(2-3x)$求导得$3\sin(2-3x)$，则$\int\cos(2-3x)dx=-\frac{1}{3}\cos(2-3x)+C$，所以$\int\cos(2-3x)dx=-\frac{1}{3}\cos(2-3x)+C$。5.将$\frac{1}{x+3x^2}$拆分为$\frac{1}{3}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+3}\right)$，则$\int\frac{1}{x+3x^2}dx=\frac{1}{3}\ln\left|\frac{x}{x+3}\right|+C$。6.当$x<0$时，$f(x)=\frac{1}{x}$，$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$；当$x\geq0$时，$f(x)=x+\sin(x^2)$，$f'(x)=1+2x\cos(x^2)$。7.将$\frac{4}{1+x}=\frac{3+1}{1+x}$，则$\int\frac{4dx}{1+x}=\int\frac{3dx}{1+x}+\int\frac{dx}{1+x}=3\ln|1+x|+\ln|1+x|+C=4\ln|1+x|+C$。8.根据分部积分公式，$\intf(x)g''(x)dx=f(x)g'(x)-\intf'(x)g'(x)dx$，则$\int[f(x)+f''(x)]\sinxdx=f(x)\sinx+\intf'(x)\cosxdx$。由已知条件可得$f(\pi)=2$，则$f(x)\sinx+\intf'(x)\cosxdx=5$，两边对$x$求导得$f'(x)\sinx+f(x)\cosx=5\cosx$，再次求导得$f''(x)\sinx+f'(x)\cosx-5\sinx=-5\sinx$，代入$x=\pi$可得$f''(\pi)=-5$。因此，$f(x)-f(\pi)=\int_{\pi}^x[f''(t)+f(t)]\sintdt=\int_{\pi}^x[-5+f(t)]\sintdt$。由于$f(x)$在$[0,1]$上具有二阶连续导数，所以$f''(x)$在$[0,1]$上连续，由积分中值定理，存在$c\in(0,1)$使得$\int_{\pi}^x[-5+f(t)]\sintdt=f(c)(\cos\pi-\cosx)=-2f(c)$。因此，$f(x)-f(\pi)=-2f(c)$，代入已知条件可得$f(\pi)-f(c)=\frac{5}{2}$，所以$f(\pi)-f(x)=2f(c)+\frac{5}{2}$，代入$f(\pi)=2$可得$f(x)=-2f(c)-\frac{1}{2}$。9.旋转体体积为$\pi\int_0^1e^{2\piy}ydy=\frac{\pi}{2\pi}e^{2\piy}\bigg|_0^1=\frac{\pi}{2}(e^{2\pi}-1)$。4.删除明显有问题的段落后，文章如下：一.选择题1.当x0时，下列函数不是无穷小量的是（）C)、y=ln(x+1)2.设f(x)=2x-1，则当x0时,f(x)是x的（）。B)、低阶无穷小3.下列各组函数中，f(x)和g(x)不是同一函数的原函数的有（）.A)、f(x)=1/(x^2+2),g(x)=(1/2)(e^x-e^-x)C)、f(x)=arcsin(2x-1),g(x)=3-2arcsin(1-x)D)、f(x)=cscx+secx,g(x)=tan(x/2)二.填空题1.e2.2π3.+C4.2x+1/(x^4)5.(0,0)三.判断题1.T2.F3.F4.T5.T四.解答题1.82.令t=x-π,lim(x→π)sinmxsin(mt+mπ)/sinnx=lim(x→π)(−1)^(m−n)3.根据零点存在定理.4.∫cos(2−3x)dx=−(1/3)cos(2−3x)+C5.原式=6∫(t−1+t^4)/(t^3+t^4)dt，令x=t^6，则dx=6t^5dt∫(t−1+t^4)/(t^3+t^4)dt=6∫(x−1+x^(1/3))/(x^(1/2)+x^(1/3))dx=6(x^(1/2)−2x^(1/3)+6ln|x^(1/2)+x^(1/3)|)+C=3x^3−6x^(5/3)+36ln|x^(1/2)+x^(1/3)|+C=3t^18−6t^10+36ln|t^3+t^2|+C6.f(x)={sinx^2−x^2+2cosx,x<0;1,x>0}7.4−2ln38.解：∫f(x)sinxdx=∫f(x)d(−cosx)=f(π)−f(0)−∫f′′(x)sinxdx所以f(0)=39.V=π∫(e^(1/x))/xdx=π∫e^(2t)dt=πe^(2t)/2+C=πe^(2/x)/2+C1.改写：设函数$f(x)=\begin{cases}2x\sinx,&x\neq1\\1,&x=1\end{cases}$，则$f'(1)=2$2.改写：如果$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{2x^3-3x^2+11}{(x-1)(4xn+7)^2}=\dfrac{2}{7}$，则$n=2$3.改写：设$\intf(x)\mathrm{d}x=\cos^2x+C$，则$f(x)=-\sin2x$4.改写：如果$\intxf(x)\mathrm{d}x=\ln(1+x^2)+C$，则$\int\dfrac{1}{1+\cos^2x}\mathrm{d}x$5.改写：$\int\dfrac{1}{1+e^x}\mathrm{d}x$剔除下面文章的格式错误，删除明显有问题的段落,然后再小幅度的改写每段话。1.$\int\frac{1}{1+\cos^22x}dx=\frac{1}{2}\int\frac{1}{\cos^2x}dx$2.判断题1.函数$f(x)=\frac{ax+1}{x(a-1)}$(a>0,a≠1)是非奇非偶函数。(错误)2.若$\lim_{x\tox_0}f(x)$不存在，则$\lim_{x\tox_0}f^2(x)$也一定不存在。(错误)3.若函数$f(x)$在$x$处极限存在，则$f(x)$在$x$处连续。(正确)4.方程$x=\cosx$在$(0,\frac{\pi}{2})$内至少有一实根。(正确)5.$f''(x)$的对应点不一定是曲线的拐点。(正确)3.解答题1.求$\lim_{x\to0}\frac{e^{ax}-e^{bx}}{\sinax-\sinbx}$($a\neqb$)解：$\lim_{x\to0}\frac{e^{ax}-e^{bx}}{\sinax-\sinbx}=\lim_{x\to0}\frac{e^{ax}-1}{\frac{\sinax}{ax}}\cdot\frac{ax}{e^{ax}-1}-\frac{e^{bx}-1}{\frac{\sinbx}{bx}}\cdot\frac{bx}{e^{bx}-1}$$=a\cdotb-b\cdota=0$2.已知函数$f(x)=\begin{cases}x^2+1&x<2\\2x+b&x\geq2\end{cases}$在$x=2$处连续，求$b$的值。解：$\lim_{x\to2^-}f(x)=5$，$\lim_{x\to2^+}f(x)=2b+4$，由连续性可得$5=2b+4$，解得$b=\frac{1}{2}$。3.设$f(x)=\begin{cases}\frac{x}{e^x-1}&x\geq0\\k&x<0\end{cases}$，试确定$k$的值使$f(x)$在$x=0$处连续。解：$\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}\frac{x}{e^x-1}=1$，$\lim_{x\to0^-}f(x)=k$，由连续性可得$k=1$。4.计算$\int\tan(3x+2)dx$。解：$\int\tan(3x+2)dx=-\frac{1}{3}\ln|\cos(3x+2)|+C$5.比较大小$\int_1^2xdx$，$\int_1^2x^2dx$。解：$\int_1^2xdx=\frac{3}{2}$，$\int_1^2x^2dx=\frac{7}{3}$，所以$\int_1^2xdx<\int_1^2x^2dx$。6.在抛物线$y=x^2$上取横坐标为$x_1=1$，$x_2=3$的两点，作过这两点的割线，问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？解：抛物线$y=x^2$在$x=x_1$处的切线斜率为$2x_1=2$，在$x=x_2$处的切线斜率为$2x_2=6$，所以过两点的割线斜率为$\frac{3}{2}$。设该抛物线上某点横坐标为$x$，则该点处的切线斜率为$2x$，要使该切线平行于割线，有$2x=\frac{3}{2}$，解得$x=\frac{3}{4}$。7.设函数$f(x)=\begin{cases}xe^{-x}&x\geq0\\1&x<0\end{cases}$，计算$\int_{-4}^1f(x-2)dx$。解：当$x\geq2$时，$f(x-2)=(x-2)e^{2-x}$，所以$\int_{-4}^1f(x-2)dx=\int_0^1(x-2)e^{2-x}dx+\int_{-4}^01dx=1-e^{-2}+4=5-e^{-2}$。8.若$f(x)=x\lnx$的一个原函数为$F(x)$，求$\intxf(x)dx$。解：$\intxf(x)dx=\intx^2\lnxdx=\frac{1}{3}x^3\lnx-\frac{1}{9}x^3+C$9.求由直线$y=0$和曲线$y=x^2-1$所围成的平面图形绕$y$轴一周旋转而成的旋转体体积。解：该平面图形在$y$轴左侧为对称图形，所以旋转体体积为$2\pi$倍该平面图形绕$y$轴正向旋转一周所得的体积。设该平面图形绕$y$轴正向旋转一周所得的体积为$V$，则$V=\int_{-1}^0\pi[(x^2-1)^2-0^2]dx+\int_0^2\pi[(x^2-1)^2-x^2]dx$$=\pi\int_{-1}^0(x^4-2x^2+1)dx+\pi\int_0^2(x^4-2x^2+1-x^2)dx$$=\frac{32}{15}\pi$。注：由于原文章中有很多数学符号无法在文本编辑器中正确显示，因此在重新排版时可能会出现一些不同的排版方式。8.解：已知$f(x)=(x\lnx)'=\lnx+1$，则$xf(x)dx=\int\limits_{1/2}^{1}x(\lnx+1)dx=x\lnx+\frac{1}{2}x^2\bigg|_{1/2}^1=\frac{1}{2}+\frac{3}{4}\ln2$。29.$V=\int\limits_{-1}^{\pi}xdy=\int\limits_{-1}^{\pi}(y+1)dy=\pi+\frac{1}{2}$。考试日期：2004年7月14日星期三考试时间：120分钟一.选择题1.设函数$f(x)=\log_a(x+x^2+1)$，其中$a>0,a\neq1$，则该函数是（C）。2.下列极限等于1的是（A）。3.若$\intf(x)dx=e^{-6x}+C$，则$f(x)=(-6e^{-6x})$。4.$\int2x^2\cosxdx=\frac{1}{2}(x^2-2)\cosx+2x\sinx+C$。5.设$f(x)=\sinbx$，则$\intxf''(x)dx=(xb\cosbx-\sinbx)+C$。6.设$\intf(t)dt=e^{2x}$，则$f(x)=2e^{2x}$。7.$\int_{-1}^0\frac{x^2\ln(x^2+x+1)}{x^2+1}dx=\pi\ln\frac{2}{\sqrt{3}}$。8.$\int_{1/2}^{1}\frac{\arcsinx}{\sqrt{1-x^2}}dx=\frac{\pi^3}{48}$。9.设$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，$F(x)=\int_a^xf(t)dt(a\leqx\leqb)$，则$F(x)$是$f(x)$的（B）。10.设$f(x)=\int_0^x\ln(1+u)du$，则$f''(1)=1$。11.设$y=x\lnx$，则$y(10)=100\ln10$。12.曲线$y=\lnx$在点$(e,1)$处的切线平行于直线$y=2x-3$。2.ln2可以化简为ln(2^1)，即ln2=ln(2)-ln(1)=ln2-ln1，因此可以写成(2,ln2)和(2,-ln2)。在第一个点处，x=2，y=ln2；在第二个点处，x=2，y=-ln2。13.根据拉格朗日定理，ξ应该在区间[1,4]内，且f'(ξ)=(f(4)-f(1))/(4-1)。因此，f(x)=x-1，f'(x)=1，f(4)-f(1)=3，所以ξ=(f(4)-f(1))/f'(ξ)=3/1=3。答案为D。14.分子和分母在x=0处都等于0，因此可以使用洛必达法则。对分子和分母同时求导，得到lim(x->0)(a-bx)/(tanx-2x/(1-x^2))，代入x=0，得到(a-0)/(0-0)=undefined。答案为无解。15.y=ln(1+x^2)的导数为2x/(1+x^2)，令其等于0，得到x=0。在区间[-1,2]上，y=ln(1+x^2)的最大值出现在x=2处，为ln5。答案为D。1.当x>2时，f(x)=ekx；当x<=2时，f(x)=x+1。因为f(x)在x=2处连续，所以ek2=2+1，即k=(3-e2)/2。答案为(3-e2)/2。2.对f'(lnx)=1+x两边积分，得到f(lnx)=x+x^2/2+C，其中C为常数。将x=e^t代入，得到f(t)=e^t+e^(2t)/2+C。因此，f(x)=x+x^2/2+lnC。答案为x+x^2/2+lnC。3.对等式两边求导，得到f(x)=1/(1+x^2)。因此，∫1/f(x)dx=∫(1+x^2)dx=x+x^3/3+C。答案为x+x^3/3+C。4.用三角恒等式将分母化简为2cos^2(x/2)，得到∫(1+cos^2(x/2))/(2cos^2(x/2))dx。令u=cos(x/2)，则dx=-2sin(x/2)du，原式变为-∫(u^2+1)/(u^2)du。化简得到-∫(1/u^2+1/u^2+1/u^2-1/u^2-1)du，即-2tan(x/2)-ln|cos(x/2)|+C。答案为-2tan(x/2)-ln|cos(x/2)|+C。5.y=ex+5的导数为ex，因此水平渐近线的斜率为0。水平渐近线的方程为y=5。答案为y=5。1.当x趋近于0时，sinx和tanx都趋近于x，因此阶数相同，都是x。x^2的阶数比x高，因此(x)的阶数高于(x)。2.设f(x)=ex-3x，则f(0)=-1，f(1)=e-3<0。因此，方程ex=3x至少有一个小于1的正根。3.用部分分式分解，得到∫1/(x(1+x))dx=∫(1/x-1/(x+1))dx=ln|x|-ln|x+1|+C。答案为ln|x|-ln|x+1|+C。4.当x>=1时，x^2>=x，因此∫1/xdx>∫1/x^2dx。两边同时求积分，得到lnx>-1/x+C。因此，∫1/xdx>ln2，∫x^2dx>1/2。答案为∫1/xdx>ln2，∫x^2dx>1/2。5.将方程ln(x^2+y)=x^3y+sinx变形为y=(ln(x^2+y)-sinx)/x^3，对y求导得到dy/dx=(2y-x^3cosx)/(x^2+y)。因为x^2+y>0，所以dy/dx=0等价于2y=x^3cosx，即y=x^3cosx/2。将y带入原方程得到ln(x^2+x^3cosx/2)=x^4cosx/2+sinx。答案为ln(x^2+x^3cosx/2)=x^4cosx/2+sinx。6.y'=3/(xln2)。答案为y'=3/(xln2)。7.对11/(3x+e)积分，得到11ln|3x+e|/3。对x(1+2lnx)积分，得到x^2/2+x^2lnx。因此，原式等于11ln|3x+e|/3-x^2/2-x^2lnx+C。答案为11ln|3x+e|/3-x^2/2-x^2lnx+C。8.对f(x)求导，得到f'(x)=1-2f(x)，因此f(x)=(1/2)-(C/2)e^-2x。因为f(x)满足f(x)=x-2∫f(x)dx，所以x-2∫f(x)dx=x-2[(1/2)x-(C/4)e^-2x]+C'，其中C'为常数。化简得到∫f(x)dx=(1/4)x+(C/8)e^-2x+C''，其中C''为常数。答案为(1/4)x+(C/8)e^-2x+C''。9.将y=x^2和y=x绕y轴旋转，得到两个旋转体。旋转体1的体积为∫(π/2)0πx^4dx=π/5，旋转体2的体积为∫0(π/2)πx^2dx=π^3/24。因此，所求旋转体的体积为2π(π/5+π^3/24)=7π^2/30。答案为7π^2/30。一.选择题1.如果$\intdf(x)=\intdg(x)$，则下述结论中不正确的是（C）。2.$\intxe^{2x}dx=$（B）$1/2x^2+xe^{2x}-4e^{2x}+C$3.设$f(x)=\sinbx$，则$\intxf''(x)dx=$（D）$bx\sinbx-b\cosbx+C$4.设$\intf(t)dt=e^{2x}$，则$f(x)=$（D）$2xe^{2x}-1$5.设$\intf(x)dx=F(x)+C$，则$\intf(ax+b)dx=$（C）$\frac{1}{|a|}F(ax+b)+C$6.已知$\int_0^1f(x)dx=1$，$\int_0^1x^2f(x)dx=2$，则$\int_0^1(x-1)^2f(x)dx=$（A）$2/3$7.设$f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$，则$\int_1^4f(x)dx=$（C）$3/4$8.设$f(x)$在$[0,1]$上单调递增，则$\int_0^1f(x)dx$与$\int_0^1xf(x)dx$的大小关系是（A）$\int_0^1f(x)dx<\int_0^1xf(x)dx$二.填空题1.$\ln5$2.$x+e^x+C$3.$x^2+x^3+C$4.$\tanx+\ln\cosx+C$5.$y=\frac{e^x}{1+e^x}$三.判断题1.错误2.错误3.正确4.正确5.错误四.解答题1.$\phi(x)$和$\psi(x)$的阶数相同，设为$n$，则$\lim_{x\to\infty}\frac{\phi(x)}{\psi(x)}=A\neq0$，则$\phi(x)-A\psi(x)$的阶数不超过$n-1$，而$\phi(x)-A\psi(x)$不为零，所以$\phi(x)$比$\psi(x)$的阶数高。2.设$f(x)$在$[a,b]$上连续，且有$n$个零点，则$f(x)$在$[a,b]$上至少有$n-1$个驻点，即$f'(x)$在$[a,b]$上至少有$n-1$个零点，而$f'(x)$的零点个数不超过$n-2$，所以$f''(x)$在$[a,b]$上至少有一个零点。3.$\int\frac{x+1}{x^2+x}dx=\int\frac{x}{x^2+x}dx+\int\frac{1}{x^2+x}dx=\int\frac{1}{x}dx-\int\frac{1}{x+1}dx=\ln|x|-\ln|x+1|+C=\ln\left|\frac{x}{x+1}\right|+C$4.$\int\frac{1}{x(x-2)}dx=\frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x-2}\right)dx=\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x}{x-2}\right|+C$5.$y'=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\ln(1+\ln^22x)\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{2\ln2}{1+\ln^22x}\cdot\frac{1}{2x}=\frac{\ln2}{x(1+\ln^22x)}$1.若f(x)=x/(x+1)，则∫f(x)dx为（）A)ln|x+1|B)1/xC)1-ln2D)ln22.设f(x)在区间[a,b]上连续，F(x)=∫f(t)dt(a≤x≤b)，则F(x)是f(x)的（）A)不定积分B)一个原函数C)全体原函数D)在[a,b]上的定积分3.下列各式正确的是（）A)∫cotxdx=ln|cosx|∫tanxdx=-ln|sinx|+CB)∫cotxdx=ln|sinx|∫tanxdx=ln|cosx|+CC)∫cotxdx=ln|cosx|∫tanxdx=ln|sinx|+CD)∫cotxdx=ln|sinx|∫tanxdx=-ln|cosx|+C4.若y=f(sinx)，则dy=（）．A)f'(sinx)cosxdxB)f'(sinx)sinxdxC)f'(sinx)dxD)f'(sinx)d(cosx)5.设函数f(x)=x2+1在x=1处可导，则有（）A)a=-1,b=2B)a=1,b=0C)a=-1,b=0D)a=-1,b=-26.在区间[-a,a]上应用罗尔定理，结论中的点ξ=()A)0B)2C)-2a/(2a+x)D)37.曲线的凹区间是()A)(-∞,1)B)(1,∞)C)(-∞,1)∪(3,∞)D)(1,3)8.函数y=3x2-x3在区间[1,3]上的最大值为（）A)4B)0C)1D)3二.填空题1.lim(x3-2x2+1)/[(x-1)(2x+1)2]=______.2.lim[(1+x2)-1]/x=______.3.若∫f(x)dx=e+C，则∫f(x)edx=______.4.∫1/(x+x3)dx=______.5.lim(1-cos2x)/xsinx=______.三.判断题1.y=ln[(1-x)/(1+x)]是奇函数。(错误)2.若函数f(x)在x处连续，则f(x)在x处极限存在。(正确)3.函数f(x)在[a,b]内连续，且f(a)和f(b)异号，则f(x)在(a,b)内至少有一个实数根。(正确)4.∫-a到af(x)dx是偶函数，则f(x)是奇函数。(错误)1.$\int_{a}^{x}2t\sqrt{a^2-t^2}dt=\frac{\pia^2}{2}$，其中$a>0$。2.$\lim_{x\to2}\frac{1-x}{2-x}=\frac{1}{-1}=-1$3.$\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\tanx-\sinx}{x^2}=\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\sinx}{\cosx\cdot2x}=\frac{1}{\frac{\pi}{2}\cdot0}=\text{不存在}$4.$\int_{0}^{1}xdx<\int_{0}^{1}x^2dx$，即$\frac{1}{2}<\frac{1}{3}$5.曲线$x+y=a$在点$(x_0,y_0)=\left(\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right)$处的切线方程为$y-y_0=\frac{dy}{dx}\bigg|_{(x_0,y_0)}(x-x_0)$，其中$\frac{dy}{dx}\bigg|_{(x_0,y_0)}=-1$，故切线方程为$y-a/2=-(x-a/2)$。法线方程为$y-a/2=(x-a/2)$。6.$y=\arctan\frac{\pi}{2}$，代入可得$y=\frac{\pi}{4}$7.$\intx\sinxdx=-x\cosx+\sinx+C$8.$\int_{\pi/2}^{2}\frac{\sinx-\cosx}{\sinx+\cosx}dx=\int_{\pi/2}^{2}\frac{d(\sinx-\cosx)}{\sinx+\cosx}=\ln\frac{\sin2-\cos2}{\sin\pi/2-\cos\pi/2}=\ln(\sin2-\cos2)$9.令$t=\pi/2-x$，则$\intf(\sinx)dx=-\intf(\cost)dt=\intf(\cosx)dx$。A）、2ln2B）、ln2C）、2ln2-2D）、ln2-2改写：若$\intf(x)dx=xlnx+C$，则$\intxf(x)dx=$$x(-lnx)+C$2.$\intsint^2dt=$改写：$\intsin(t^2)dt=$3.下列定积分中，其值为零的是（）改写：哪个定积分的值为0？4.$\intsinxdx=$改写：$\intsin(x)dx=$5.$\int_{-\pi}^{\pi}xcosxdx=$改写：$\int_{-\pi}^{\pi}xcos(x)dx=$6.若$y=f(2x)$，则$dy=$改写：如果$y=f(2x)$，那么$dy=$7.曲线$y=2+lnx$在点$x=1$处的切线方程是$y=$改写：曲线$y=2+ln(x)$在$x=1$处的切线方程是$y=$8.半径为$R$的金属圆片，加热后伸长了$\DeltaR$，则面积$S$的微分$dS$是$=$改写：半径为$R$的金属圆片，加热后伸长了$\DeltaR$，那么面积$S$的微分$dS=$9.曲线$y=\frac{ln(1+sin3x)}{sinx}$的渐进线为$y=$改写：曲线$y=\frac{ln(1+sin(3x))}{sin(x)}$的渐近线为$y=$10.计算$\lim_{x\to0}\frac{sinx}{x}=$改写：求$\lim_{x\to0}\frac{sin(x)}{x}=$11.函数$y=(x^2-1)^3+3$的驻点个数为$=$改写：$y=(x^2-1)^3+3$的驻点个数为$=$12.曲线$y=1+xe^y$在点$(0,1)$处切线的斜率为$=$改写：曲线$y=1+xe^y$在点$(0,1)$处切线的斜率为$=$13.若$\intx^2dx=9$，则$a=$改写：如果$\intx^2dx=9$，那么$a=$14.若$\intf(x)dx=x^2+C$，则$\intxf(1-x^2)dx=$改写：如果$\intf(x)dx=x^2+C$，那么$\intxf(1-x^2)dx=$15.$\int(arccosx)^2dx=$改写：$\int(arccos(x))^2dx=$16.曲线$y=\frac{3+x}{3+x^2}$的凸区间为$=$改写：曲线$y=\frac{3+x}{3+x^2}$的凸区间为$=$1.D2.A3.A4.B5.C6.D7.A8.C9.B10.B11.D12.C13.A14.B15.A16.D二.填空题1.e^x2.33.x^2-x^4+C4.x(arccosx)^2-2/3(1-x^2)^(3/2)-x^2arccosx+C5.(-∞,-3)三.判断题1.False2.True3.False4.False四.解答题1.当a>0时，limf(x)=0；当a<0时，limf(x)不存在；当a=0时，limf(x)=1/7.2.将分子和分母同时除以x-2，得到lim(x^2+3x-10)/(x-2)=11.3.因为f(0)=1>0，f(1)=-2<0，所以方程在(0,1)内至少有一个实根.4.因为f(0)=-b<0，f(π/2)=a+b>0，所以方程至少有一个不大于b+a的正根.5.k=1/2.6.∫(2x)/(x^2+1)dx=ln(x^2+1)+C.7.∫x/(1+x^2)^2dx=-1/(2(1+x^2))+C.8.在点(-1,-1)，y(x)的切线方程为y=-x-1，法线方程为y=x-1.9.因为f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x)，所以∫(-a)^af(x)dx=∫0^a(f(x)+f(-x))dx=0.1.下列极限等于1的是（）B)、limsinxsin2xsinxsinxx改写：求极限li