最优控制线性二次型问题课件

最优控制线性二次型问题第6章线性二次型最优控制问题第6章线性二次型最优控制问题本章主要内容:口6.1线性二次型问题口6.2状态调节器口6.3输出调节器口6.4跟踪器第6章线性二次型最优控制问题6.1线性二次型问题线性二次性问题的提法(t)=A(t)x(t)+B(t)l()设线性时变系统的状态方程为y()=C()x(假设控制向量u(t)不受约束,用y,()表示期望输出,则误差向量为e()=y(1)-y()求最优控制u(1),使下列二次型性能指标最小。J(u)(t;)Fe(1)+CTeoeo)e()+u('R(ju(JdrF一半正定对称常数加权矩阵Q()一半正定对称时变加权知阵R(1)一正定对称时变加权矩阵0及t固定正定二次型x≠0xAx>0半正定二次型Vx≠0xAx≥0实对称阵A为正定(半正定)的充要条件是全部特征值>0(>=0)。加权矩阵总可化为对称形式。第6章线性二次型最优控制问题/()=(,)Fe)+te(QO(O+()R((性能指标的物理含义121e(t)Q(t)e(t)≥0一状态转移过程中衡量e(t)大小的代价函数L1=au()R(t)u(t)>0一状态转移过程中衡量(t)大小的代价函数p)=2e(t)Fe()20-终端代价函数(衡量终点误差)加权矩阵的意义:(1)F,Q,R是衡量误差分量和控制分量的加权矩阵,可根据各分量的重要性灵活选取(2)采用时变矩阵Q(t),R(t)更能适应各种特殊情况。例如:t=时刻e(t很大,但误差在系统开始前形成,并不反映系统性能的好环。Q(t)可开始取值小,而后取值直大第6章线性二次型最优控制问题线性二次型问题的本质用不大的控制,来保持较小的误差,以达到能量和误差综合最优的目的。线性二次型问题的特点:(1)最优解可写成统一的解析表达式,实现求解过程规范化(2)可以兼顾系统的性能指标〔快速性、准确性、稳定性、灵敏度线性二次型问题的三种重要情形r(t)=a(t)x(t)+b(t)u(t)y()=C(1)x(1)e()=y1(t)-y(Dc)=/y0)=0y0)=x0)=-6)状态调节器2)y()=0y(0)=-()输出调节器3)y,()≠0c()=y(1)-y()跟踪问题第6章线性二次型最优控制问题6.2状态调节器问题终端时间t≠∞,有限时间问题终端时间=∞,无限时间问题6.2.1有限时间状态调节器问题设线性时变系统的状态方程为r(t=a(t)x(t)+b(t)u(t)初始条件x(0)=x终端时间≠假设控制向量u()不受约束,求最优控制u"(t),使系统的二次型性能指标取极小值。()=x(r)Fxt)+-['xr(Q()x()+l(n)k(rm()t物理意义:以较小的控制能量为代价,使状态保持在零值附近第6章线性二次型最优控制问题1.应用最小值原理求解u(t)关系式H=L+f2=xOx+uRu+x'An+uBn因控制不受约束,故沿最优轨线有aHR+B2=0=()=R2(R)正定,逆阵存在)文=Ax-BRB7规范方程组:aHOx-A'1写成矩阵形式:/BRB下面思路确定x(t)与A()其解为:/6+(n的关系,形成状(0)态反馈第6章线性二次型最优控制问题x()a(r)p(t,to\xto于是:()=(,DA()L吗:x(1_「412x()x(1)=中()+中2(1)A(1)=1()+n2(m)横截条件给出了终端时刻二者的关系dx(fx(t)ax(t第6章线性二次型最优控制问题可得1(1)=(2-F的2)(F1-n1)x()令P()=(妈2-F2)(F1-2)n(r=P(ox(r)可见(t)与x(t)是线性关系,则有u(0)=-RB=-R'B'(x(t)〔t)可实现最优线性反馈控制[r(t)BCP(t第6章线性二次型最优控制问题2.应用其性质求解p(t)下面思路求解P(t),但直接A(r)=P()x(0)求解,涉及矩阵求逆,运算量大元=Ax-BRBCEQx-A元对时间求导2=Px+Pi=Px+PlAx-BrBPx=[P+Pa-PBR'BPlx可得P=-PA-AP+PBRBP-Q黎卡提方程(Riccati边界条件(t)=Fx(t)P(t,)=F(1)=P()x(t)第6章线性二次型最优控制问题黎卡提方程求解问题(1)可以证明,P(t)为对称矩阵,只需求解n(n+1)/2个一阶微分方程组(2)为非线性微分方程,大多数情况下只能通过计算机求出数值解。还可进一步证明,最优性能指标为:J[x(,1=x(yP)x()谢谢！21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根

22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈

23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思

24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会