人教版数学八年级下册勾股定理在几何中的应用课件

第十七章17.1.3勾股定理在几何中的应用人教版数学八年级下册

某拍卖行贴出了如下的一个土地拍卖广告：

如下图，有面积为560英亩的土地拍卖，土地共分三个正方形，面积分别为74英亩、116英亩、370英亩．三个正方形恰好围着一个池塘，如果有人能计算出池塘的准确面积．则池塘不计入土地价钱白白奉送．英国数学家巴尔教授曾经巧妙地解答了这个问题，你能解决吗?导入新知学习目标1.能熟练运用勾股定理求最短距离.2.能运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题．1知识点用勾股定理在数轴上表示数

我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示

的点吗？

如果能画出长为

的线段，就能在数轴上画出表示

的点.容易知道，长为

的线段是两条直角边的长都

的线段能是直角边的长为正整数的直角三角形的斜边吗？合作探究

利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2,3的直角三角形的斜边长为

.由此，可以依照如下方法在数轴上画出表示

的点.

如图,在数轴上找出表示3的点A，则OA=3,过点A作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB=2,以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示

的点.

类似地，利用勾股定理，可以作出长为

…的线段(图1).按照同样方法，可以在数轴上画出表示

…的点(图2).

图1图2新知小结利用

a＝

可以作出．如图2，先作出与已知线段AB垂直，且与已知线段的端点A相交的直线l，在直线l上以A为端点截取长为2a的线段AC，连接BC，则线段BC即为所求．如图2，BC就是所求作的线段．例1如图1，已知线段AB的长为a，请作出长为

a的

段．(保留作图痕迹，不写作法)图1图2导引：解：C．2条(4)以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与如图2，BC就是所求作的线段．在直线l上以A为端点截取长为2a的线线l垂直于OA，在l上取点B，使AB=2,以原点O为圆心，以在Rt△ABD中，C．1.过作高构建直角三角形；再求这个直角三角形的角度和面积：A重合，折痕为DE，则BE的长为()D．3条了这个问题，你能解决吗?数轴的交点C即为表示的点．的直角三角形的斜边长为.股定理解决实际问题．某拍卖行贴出了如下的一个土地拍卖广告：如下图，有面积为560英亩的土地拍卖，土地共分三后利用勾股定理并结合已知条件，采用推理或列方程的D．10cm(3)在直线l上取点B，使AB＝1；

这类问题要作的线段一般是直角三角形的斜边，根据勾股定理由要作的线段确定两直角边的长是解题的关键．新知小结1在数轴上做出表示的点.如图所示．作法：(1)在数轴上找出表示4的点A，则OA＝4；(2)过A作直线l垂直于OA；(3)在直线l上取点B，使AB＝1；(4)以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与

数轴的交点C即为表示

的点．解：巩固新知2如图，点C表示的数是(

)A．1B.C．1.5D.D如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(－2，3)，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于(

)A．－4和－3之间B．3和4之间C．－5和－4之间D．4和5之间3A2知识点勾股定在几何问题中的应用例2如图，在△ABC中，∠C＝60°，AB＝14，AC

＝10.求BC的长．导引：题中没有直角三角形，可以通

过作高构建直角三角形；过点A作AD⊥BC于D，图中会出现

两个直角三角形——Rt△ACD和Rt△ABD，这两

个直角三角形有一条公共边AD，借助这条公共边，

可建立起直角三角形之间的联系．合作探究解：如图，过点A作AD⊥BC于D.∵∠ADC＝90°，∠C＝60°，∴CD＝

AC＝5.

在Rt△ACD中，AD

在Rt△ABD中，BD∴BC＝BD＋CD＝11＋5＝16.

利用勾股定理求非直角三角形中线段的长的方法：作三角形一边上的高，将其转化为两个直角三角形，然后利用勾股定理并结合已知条件，采用推理或列方程的方法解决问题．新知小结1

如图，等边三角形的边长是6.求：(1)高AD的长；(2)这个三角形的面积.(1)由题意可知，在Rt△ADB中，

AB＝6，BD＝

BC＝3，∠ADB＝90°.

由勾股定理，

得AD＝(2)S△ABC＝

BC·AD＝×6×3

＝解：巩固新知如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻度的直尺在这个“田字格”中最多可以作出长度为

的线段________条．283如图，每个小正方形的边长均为1，则△ABC中，

长为无理数的边有(

)A．0条

B．1条

C．2条

D．3条C利用勾股定理，可以发现，直角边的长为正整数2,3长不完全是直角三角形的边长，可通过设未知数，构建线l垂直于OA，在l上取点B，使AB=2,以原点O为圆心，以个正方形，面积分别为74英亩、116英亩、370英亩．三类似地，利用勾股定理，可以作出长为BD家巴尔教授曾经巧妙地解答表示…的点(图2).利用勾股定理求非直角三角形中线段的长的方法：(1)高AD的长；4如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝如下图，有面积为560英亩的土地拍卖，土地共分三作三角形一边上的高，将其转化为两个直角三角形，然造直角三角形，应用勾股定理求解；1．勾股定理与三角形三边平方关系的综合应用：如图2，先作出与已知线段AB垂直，家巴尔教授曾经巧妙地解答方法总结：方关系的方法：先观察各边是否在直角三角形中，若在，可直接利用勾股定理进行证明；(1)高AD的长；C．2条4如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为(

)A．4cmB．5cmC．6cmD．10cmB【2017·宜宾】如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是(

)A．3B.C．5D.5C如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC边上的高AD＝6cm，腰AB上的高CE＝8cm，则△ABC的周长等于________cm.61．勾股定理与三角形三边平方关系的综合应用：单一应用：先由三角形三边平方关系得出直角三角形后，

再求这个直角三角形的角度和面积：综合应用：先用勾股定理求出三角形的边长，再由三角形

平方关系确定三角形的形状，进而解决其他问题；逆向应用：如果一个三角形两条较小边长的平方和不等于

最大边长的平方，那么这个三角形就不是直角三角形.1知识小结归纳新知2．应用勾股定理解题的方法：(1)添线应用，即题中无直角三角形，可以通过作垂线，构

造直角三角形，应用勾股定理求解；(2)借助方程应用，即题中虽有直角三角形，但已知线段的

长不完全是直角三角形的边长，可通过设未知数，构建

方程，解答计算问题；(3)建模应用，即将实际问题建立直角三角形模型，通过勾

股定理解决实际问题．如图，把长方形纸条ABCD沿EF，GH同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，则长方形ABCD的面积为________．2易错小结在Rt△PFH中，FH＝

＝10，∴BC＝BF＋FH＋CH＝PF＋FH＋PH＝8＋10＋6＝24.设△PFH的边FH上的高为h，则h＝

＝，∴S长方形ABCD＝＝115.2.易错点：忽视题目中条件而求不出答案.解此题时要灵活运用折叠前后对应线段相等，从而求出BC的长，然后再运用面积法求出△PFH中FH边上的高，本题容易因忽视条件而求不出答案．易错总结：3，2斜边长课后练习CB边，根据勾股定理由要作的线段确定两直角边的了这个问题，你能解决吗?作三角形一边上的高，将其转化为两个直角三角形，然家巴尔教授曾经巧妙地解答2如图，点C表示的数是()平方关系确定三角形的形状，进而解决其他问题；个正方形，面积分别为74英亩、116英亩、370英亩．三用勾股定理在数轴上表示数如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(－2，3)，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于()1在数轴上做出表示的点.则h＝＝，勾股定在几何问题中的应用利用a＝可以作出．综合应用：先用勾股定理求出三角形的边长，再由三角形1在数轴上做出表示的点.长不完全是直角三角形的边长，