华师一2011届高三第二轮复习专题讲座(概率与统计)第四讲：概率与统计

PAGEPAGE4第四讲概率与统计课题：概率与统计一、教学内容与教学目标(1)概率与统计（14课时）离散型随机变量的分布列。离散型随机变量的期望值和方差。

抽样方法。总体分布的估计。正态分布。线性回归。(2)教学目标

（1）了解离散型随机变量的意义，会求出某些简单的离散型随机变量的分布列。

（2）了解离散型随机变量的期望值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。

（3）会用随机抽样、系统抽样、分层抽样等常用的抽样方法从总体中抽取样本。

（4）会用样本频率分布估计总体分布。

（5）了解正态分布的意义及主要性质。

（6）了解线性回归的方法和简单应用。二、典例解析例1在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数.（Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）；（Ⅱ）求数学期望Eξ；（Ⅲ）求概率P（ξ≥Eξ）.解：（Ⅰ）的分布列为：0123456（Ⅱ）数学期望为．（Ⅲ）所求的概率为．例2某电脑游戏开发公司设计了一种新的“横拟世界杯——足球大赛”游戏，该游戏中的“罚点球”确定的规则如下；玩家每一轮罚10个点球，每罚一个点球，玩家可选定球门已划定的9个区域中的某一个主罚，守门员则可守住9个区域中的3个区域.（Ⅰ）求玩家玩完一轮，10个点球罚中的个的概率的表示式（k=0，1，2，…，10）；解：（Ⅰ）玩家罚中一个点球的概率为，罚不中的概率为且每次罚球的结果是相互独立的，故∴的分布列为（Ⅱ）。例3把圆周分成四等份，A是其中一个分点，动点P在四个分点上按痵时针方向前进，现投掷一个质地均匀的正四面体，它的四个面上分别写着1、2、3、4四个数字，P从A点出发，按照正面体底面上数字前进几个分点，转一周之前继续投掷。（1）求点P恰好返回A点的概率。（文科只做第一问）（2）在点P转一周恰能返回的所有结果中，用随变量ξ表示点P返回A点时的投掷次，求ξ的分布列和期望。解：（1）记点P恰好返回A点为事件A1，记投掷1次、2次、3次、4次反回A点分别为事件B1、B2、B3、B4。投掷1次返回时，所得数为4，故P（B1）＝；投掷2次返回时，分为分别投出1，3；2，2：3，1三种情况，故P（B2）＝×＋××＝；投掷3次返回时，分为分别投出1，1，1，1故P（B4）＝×××＝；∴P（A1）＝P（B1）＋P（B2）＋P（B3）＋P（B4）＝＋＋。（2）在恰能返回A点的情况下，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝4）＝。故ξ的分布列为（略），∴Eξ＝1×＋2×＋3×＋4×＝。例4甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f（x）、g（x），当甲公司投入x万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f（x）万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g（x）万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险。（1）试解释的实际意义；（2）设，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司各应投入多少宣传费？解：（1）f（0）=10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风险，至少要投入10万元宣传费；g（0）=20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费。（2）设甲公司投入宣传费x万元，乙公司投入宣传费y万元，依题意，当且仅当成立，双方均无失败的风险，由（1）（2）得，，∴∴要使双方均无失败风险，甲公司至少要投入24万元，乙公司至少要投入16万元。三、备选例题1．某车间每日每位工人要完成2箱零件的装箱，每箱装入6个零件.质检员要通过抽样检验对工人装箱质量进行评分：从2箱中随机抽取1箱并从该箱中取出3件，若无次品混入计10分；发现一件次品混入计分；发现2件次品混入计分；发现3件次品混入计分.工人A所装第一箱无次品混入，但不慎将3件次品误装入第二箱.求工人A该日所得分的分布列和期望.解：设工人A该日装箱质量得分为，则；；。的概率分布为（略）.。2．某校的一个研究性学习小组进行一种验证性实验，已知该种实验每次实验成功的概率为．（1）求他们做了5次这种实验至少有2次成功的概率；（2）如果在若干次实验中累计有两次成功就停止实验，否则将继续进行下次实验，但实验的总次数最多不超过5次，求该小组做实验的次数的概率分布列和期望．解：（1）设5次实验中，只成功一次为事件A，一次都不成功为事件B，至少2次成功为事件C，则P(C)=1－P(A+B)=1－P(A)－P(B)=1-=，∴5次实验至少2次成功的概率为.(2)的可能取值为2,3,4,5.又∵；；；。∴的分布列为：（略）∴Eξ=×2+×3+×4+×5=。3．甲.乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响（1）求甲射击4次，至少1次未击中目标的概率；（2）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？（3）用ξ表示甲击中目标时射击的次数，求ξ的数学期望Eξ解：（1）记“甲连续射击4次，至少1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击4次，相当于4次独立重复试验，故P（A1）=1-P（）=1-=（2）记“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件A3，“乙第i次射击为击中”为事件Di，（i=1，2，3，4，5），则A3=D5D4，且P（Di）=，由于各事件相互独立，故P（A3）=P（D5）P（D4）P（）=×××（1-×）=，（3）根据题意ξ服从二项分布；Eξ=5×=.4.某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，．（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为，求随机变量的期望．解：分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件，，，（1）设表示第一次烧制后恰好有一件合格，则．（2）因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为，所以，故．解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件，则，，，，．于是，．5.栽培甲、乙两种果树，先要培育成苗，然后再进行移栽．已知甲、乙两种果树成苗的概率分别为，，移栽后成活的概率分别为，．（1）求甲、乙两种果树至少有一种果树成苗的概率；（2）求恰好有