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文档简介
角的平分线的性质天闻数媒1.在探究作角平分线的方法和角平分线性质的过程中,掌握角平分线的作法和角平分线的性质,发展数学直觉.2.提高综合运用三角形全等的有关知识的解决能力;掌握简单的角平分线在生产、生活中的应用.教学目标天闻数媒不利用工具,请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角.你有什么办法?天闻数媒AOBC再打开纸片,看看折痕与这个角有何关系?对折新课导入如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角,又该怎么办呢?观察下面简易的平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是∠DAB的平分线.你能说明它的道理吗?知识讲解天闻数媒【证明】在△ACD和△ACB中AD=AB(已知)DC=BC(已知)CA=CA(公共边)∴△ACD≌△ACB(SSS)∴∠CAD=∠CAB(全等三角形的对应角相等)∴AC平分∠DAB(角平分线的定义)天闻数媒根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线?(不用角平分仪或量角器)天闻数媒尺规作角的平分线画法:1.以O为圆心,适当长为半径作弧,交OA于M,交OB于N.2.分别以M,N为圆心.大于MN的长为半径作弧.两弧在∠AOB的内部交于C.3.作射线OC.射线OC即为所求.OABNMC天闻数媒证明:连结MC,NC由作法知:在△OMC和△ONC中
OM=ON
MC=NC
OC=OC∵△OMC≌△ONC(SSS)∴∠AOC=∠BOC即OC是∠AOB的角平分线.为什么OC是∠AOB的角平分线?OABNMC天闻数媒将∠AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得出什么结论?天闻数媒猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.已知:OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,求证:PD=PE.PAOBCED12天闻数媒证明:∵OC平分∠AOB,P是OC上一点(已知)∴∠DOP=∠BOP(角平分线定义)∵PD⊥OA,PE⊥OB(已知)∴∠ODP=∠OEP=90°(垂直的定义)在△OPD和△OPE中∠DOP=∠BOP(已证)∠ODP=∠OEP(已证)
OP=OP(已知)∴△OPD≌△OPE(AAS)∴PD=PE(全等三角形对应边相等)天闻数媒定理:角平分线上的点到角的两边的距离相等.用符号语言表示为:∵∠1=∠2PD⊥OA,PE⊥OB∴PD=PE.PAOBCED12角平分线的性质天闻数媒如图,要在S区建一个贸易市场,使它到铁路和公路距离相等,离公路与铁路交叉处500米,这个集贸市场应建在何处?(比例尺为1︰20000)天闻数媒sDCs【解析】
作夹角的角平分线OC,截取OD=2.5cm,D即为所求.O天闻数媒反过来,到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢?天闻数媒已知:如图,QD⊥OA,QE⊥OB,点D、E为垂足,QD=QE.求证:点Q在∠AOB的平分线上.证明:∵QD⊥OA,QE⊥OB∴∠QDO=∠QEO=90°(垂直的定义)
在Rt△QDO和Rt△QEO中
QO=QO(公共边)
QD=QE
∴Rt△QDO≌Rt△QEO(HL)∴∠QOD=∠QOE∴点Q在∠AOB的平分线上天闻数媒到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.∵QD⊥OA,QE⊥OB,QD=QE.∴点Q在∠AOB的平分线上.用数学语言表示为:天闻数媒(1)
∵∠1=∠2,DC⊥AC,DE⊥AB∴___________(________________________________________)(2)
∵DC⊥AC,DE⊥AB,DC=DE∴__________(________________________________________________)ACDEB12∠1=∠2DC=DE到一个角的两边的距离相等的点,在这个角平分线上.在角平分线上的点到角的两边的距离相等天闻数媒1.已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.求证:EB=FC.BAEDCF【解析】根据角平分线的性质得到DE=DF,再根据HL证△BED≌△CFD,从而得到EB=FC.随堂练习天闻数媒2.直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:()
A.一处B.两处
C.三处D.四处【解析】选D.由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处,在各自夹角的平分线上,即:A、B、C、D各一处.ADCB天闻数媒3.(宁德·中考)如图,已知AD是△ABC的角平分线,在不添加任何辅助线的前提下,要使△AED≌△AFD,需添加一个条件是:_______________,并给予证明.BDAEFc天闻数媒解法一:添加条件:AE=AF,在△AED与△AFD中,∵AE=AF,∠EAD=∠FAD,AD=AD,∴△AED≌△AFD(SAS).解法二:添加条件:∠EDA=∠FDA,在△AED与△AFD中,∵∠EAD=∠FAD,AD=
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