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文档简介
2011年11月09日南京航空航天大学理学院数学系1第2章一元函数微分学及其应用第1节 导数的概念第2节 求导基本法则第3节 微分第4节 微分中值定理及其应用第5节
Taylor定理及其应用第6节 函数性态的研究第2节
求导基本法则21
函数的求导法则、
初等函数的求导问题高阶导数隐函数求导法由参数方程所确定的函数的求导法则相关变化率问题已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?dt3y之间存在某种关系,
从而它们的变化率设x
=
x(t
)及y
=
y(t
)都是可导函数,
而变量
x与dx
与dy
之间也存在一定关系
,
这样两个相互依赖的dt变化率称为相关变化率.相关变化率问题:相关变化率问题1.先建立x
,y
之间的函数关系F
(x
,y)=0,的关系式.dt2.方程F
(x
,y)=0两边对t求导,得到dx
与dt4dy解决这类问题的一般途径是:例4
旗杆高为100米，一人以3米/秒的速度向旗杆前进，当此人距杆脚50米时，人与杆顶的距离的变化率为解多少？设时刻t,人与杆脚为x(t
)米,人与杆顶为l(t
)米,
则l
2
(t
)
=
x2
(t
)
+
1002
(1)dt
dt(1)式两边对t求导得
2l
dl
=
2
x
dx
（2）dxdl
dtx
dxx
dxdtl
dtdtx
=50x
=50x
=50\=
=1002
+
x2又已知
=
-3米/
秒,（负号表示距离缩短！）5=
-150
=
-
31002
+
5025
(米/秒)x米100米l米t
时刻的仰角为a,则例4一汽球从离开观察员500米处离地面铅直上升,其速率为140米/分.当气球高度为500米时,观察员视线的仰角增加率是多少?解设气球上升t分钟后,其高度为h,观察员视线500htana
=da
=
1
dhdt
500
dt上式两边对t求导得sec2
adtdh=
140米/
分,
当
h
=
500米时, sec2
a
=
2dt\da
=0.14(弧度/分)仰角增加率a6500米500米隐藏例5解河水以8米3
/
秒的体流量流入水库中,
水库形状是长为4000米,
顶角为1200的水槽(见图）,问水深20米时,
水面每小时上升几米?
设时刻t水深为h(t
),水库内水量为V
(t
),则V
(t
)
=
4000
3h2上式两边对t求导得dt
dt3h
dhdV
=
8000dtdt
»0.104米/小时dh水面上升之速率
dV
=28800米3
/小时,\当
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