2012-2022十年高考数学真题分类汇编专题07函数的综合应用(解析版)

专题07函数的综合应用十年大数据*全景展示I年份题号考点考查内容2011理12函数综合应用本考查函数的图像与性质反比例函数图像、三角函数图像、图像平移、对称性、数形结合思想等文12函数综合应用考查对周期函数的理解、含绝对值的对数函数图像及数形结合思想2013卷1理11文12函数综合应用考查函数不等式恒成立求参数范围问题的解法及转化与化归思想卷2文12函数综合应用考查利用不等式成立求参数范围问题的解法与化归与转化思想2015卷2文12函数综合应用考查函数奇偶性与单调性的判断及利用函数性质解函数不等式.卷2理11函数实际应用考查函数的实际应用问题，考查函数的图像识别.2016卷2理12函数综合应用主要考查函数的对称性、利用函数的图像与性质及利用这些性质解两个函数交点的坐标之和问题，考查转化与化归思想卷2文12函数综合应用主要考查函数的对称性、二次函数图像、利用这些性质求函数交点的横坐标之和问题函数综合问题2017卷3理12文12函数与方程主要考查利用导数研究已知函数有一个零点问题，考查化归与转化等数学思想.2018卷1理9函数与方程指数函数图像、对数函数图像、函数方程卷3理15函数与方程简单三角方程、函数零点2019卷2理11函数综合应用卷3文5函数与方程二倍角公式、简单三角方程、函数零点大数据分析*预测高考考点出现频率2021年预测函数与方程4/152021年高考仍将方程解得个数、函数零点个数、不等式整数解函数实际应用1/15的结束、不等式恒成立与能成立为载体考查函数的综合问题，函数的综合应用10/15考查数形结合与转化与化归思想，难度为中档或难题.十年试题分类*探求规律考点23函数与方程(2020上海11)已知a∈R，若存在定义域为R的函数f(x)同时满足下列两个条件，①对任意X∈R,0f(x)的值为X或X2；②关于X的方程f(X)=a无实数解；则a的取值范围为0 0 0【答案】(-∞,0)∪(o,1)∪(1,+∞)【解析】由)=元2和y=x的图象和函数的定义可知，若满足/Q)的值为X或/G)=X2,只有O O OO/(o)=o=θ2,/(ι)=ι=i2.,结合②可知若方程/(X)=〃无实数解，则〃∈(—∞,o)u(o,ι)U(I，+8)，故答案为：(-∞,o)∪(o,ι)∪(ι,+∞).(2020天津9)已知函数f(x)=<：XX[(O若函数g(x)=f(x)—忖2-2xI(k∈R)恰有4个零点，则k的取值范围是( )/ 1\.一-∞,--U(2理,+∞)2JC.(-∞,0)∪(0,2√2)( 1∖∙L-∞,--U(0,2√2)2JD.(-∞,0)U(2√2,+∞)【答案】Df(X)【思路导引】由g(O)=0，结合已知,将问题转化为y=I区-2］与h(X)=廿有3个不同交点,分k=0，k<0，k>0三种情况，数形结合讨论即可得到答案.f(X)【解析】注意到g(0)=0，所以要使g(X)恰有4个零点，只需方程IkX-2I= 恰有3个实根IXIf(X) f(X)即可,令k(X)=B'即>=IkX-21与h(X)=二的图象有3个不同交点.因为h(X)=型=]x2,X〔1,X>0X<0］/、f(X)当k=0时，此时y=2，如图1,y=2与h(X)= 有2个不同交点，不满足题意;IXIf(X)当k<0时，如图2,此时y=ik—2|与h(X)= 恒有3个不同交点，满足题意；IXI当k>0时，如图3,当y=k—2与J=X2相切时，联立方程得X2-kX+2=0令A=0得k2-8=0，解得k=2√2(负值舍去)，所以k>2√2综上，k的取值范围为(-∞,0)∪(2√2,+∞)，故选D.3.(2019全国ΠI文5)函数f(X)=2sinX-sin2X在［0,2π］的零点个数为A.2B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】解法一：函数f(X)=2sinX-sin2X在［。,2兀］的零点个数，即2sinX-sin2X=0在区间［0,2π］的根个数，即2sinX=sin2X令h(X)=2sinX和g(X)=sin2X,作出两函数在区间[°，2]的图像如图所示，由图可知,∕z(x)=2sinX和g(x)=sin2x在区间[θ,2]的图像的交点个数为3个.故选艮解法二：因为fɑ)-2sinX-sin2x=2sinx(1-cosx),x∈[θ,2],令f(x)=0,得2sinx(l-cosx)=0,即SinX=O或1—cosx=0,解得了=0,,2所以/(%)-2sinX-sin2x在[°，2]的零点个数为3个.故选B.“、Ieχ,x≤0,(2018全国卷I,理9)已知函数f(x)=〈 Cg(X)=f(X)+X+a,若g(X)存在2个零点，则aIlnx,X>0,的取值范围是A.[-1,0) B.[0,+∞) C.[-1,+∞) D.[1,+∞)【答案】C【解析】函数g(X)=f(X)+X+a存在2个零点，即关于X的方程f(X)=-X-a有2个不同的实根，即函数f(X)的图象与直线y=-X-a有2个交点，作出直线y=-X-a与函数f(X)的图象，如图所示，由图可知，一a≤1,解得a≥1，故选C.(2017新课标0)已知函数f(X)=X2-2X+a(eX-1+e-X+1)有唯一零点，则a=1211C.一2A.B.D.13【答案】C【解析】令/(X)=O，则方程ɑ(eɪ+e-χ+1)=-心+2x有唯一解,设h(x)=-χ2+2x,g(x)=eɪ-i+e-.χ+ι, ,、 1、一 <h(x) g(x)有唯一交点，又g(X)=e-1+eT+1=ex-1+——≥2，当且仅当X=1时取得最小值2.而ex-11h(x)=-(x-1)2+1≤1,此时x=1时取得最大值1,ag(x)=h(x)有唯一的交点，则a=-.选Cx,X<0(2019浙江9)已知a,b∈R,函数f(x)=\1 1八 、八，若函数丫=f(x)-ax-b恰-x3--(a+1)x2+ax,X≥0 >f(x)axU13 2有3个零点，则A.a<-1,b<0C.a>-1,b<0【答案】CB.a<-1,b>0D.a>-1,b>0［解析］当X<0时，y=f(x)aax-b=xaax-b=(1-a)x-b,最多一个零点;八 ”、 ,1 1/八 ,1 1/八，当x≥0时，y=f(x)-ax-b=3X3-—(a+1)X2+ax-ax-b=3X3-—(a+1)X2-by'=x2-(a+1)x当a+1≤0，即a≤-1时，y'>0,y=f(x)-ax-b在二—二上递增，y=f(X)-ax-b最多一个零点不合题意；当a+1>0,即a>-1时，令y'>0得X∈(a+1,+∞),函数递增，令y'<0得X∈(0,a+1)，函数递减;函数最多有2个零点;根据题意函数y=f(x)-ax-b恰有3个零点二函数y=f(x)-ax-b在(-∞,0)上有一个零点，在［0,+∞)上有2个零点，如下图:b-A>0 i<O且\1 1 ,解得b<0,1-a>0,b>--(a+1)3.故选C-(a+1)3--(a+1)(a+1)2-b<0 613 27．(2015安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是A.y=CoSXB.y=sinX C.y=lnXd.y=X2+1【答案】A【解析】y=cosX是偶函数且有无数多个零点，y=sinX为奇函数，y=lnX既不是奇函数又不是偶函数，y=X2+1是偶函数但没有零点.故选A.8.(2015福建)若a,b是函数f(X)=x2-PX+q(P>0,q>0)的两个不同的零点，且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则P+q的值等于A.6 B.7 C.8 D.9【答案】D【解析】由韦达定理得a+b=p,a∙b=q，则a>0,b>0，当a,b,-2适当排序后成等比数列时，-2必4为等比中项，故a∙b=q=4,b=.当适当排序后成等差数列时，-2必不是等差中项，当a是等差中a4 48项时，2a=--2，解得a=1,b=4；当—是等差中项时，—=a-2，解得a=4,b=1，综上所述，a aaa+b=p=5，所以p+q=9，选d.9.(2015天津)已知函数f(X)=<2-∣x∣,X≤2(X-2)2,X>2函数g(X)=b-f(2-X)其中b∈R，若函数y=f(X)-g(X)恰有4个零点，则b的取值范围是7 ， 7、 小7A.(4,+∞)B.(-æ,4) C.(0,-D∙J2)【答案】D【解析】由f(X)=<2-斗X≤2,(得 得f(2-X)=(X-2)2,X>2,'2-12-x∣,X≥0IX2, X<02-∣x∣+X2, X<0所以y=f(X)+f(2-X)=‹4-∣X∣-12-X∣, 0≤X≤2,2-12-x∣+(X-2)2,X>2X2+X+2,X<0即y=f(X)+f(2-X)=〈2, 0≤X≤2,X2-5X+8,X>2y=f(X)-g(X)=f(X)+f(2-X)-b,所以y=f(X)-g(x)恰有4个零点等价于方程f(X)+f(2-X)-b=0有4个不同的解，即函数y=b与函数y=f(X)+f(2-X)的图象的4个公共点，7由图象可知<b<24(2015陕西)对二次函数f(X)=QX2+bx+C(a为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是A.-1是f(X)的零点 B.1是f(X)的极值点C.3是f(X)的极值 D.点(2,8)在曲线y=f(X)上【答案】A【解析】由A知a-b+C=0；由B知f(x)=2ax+b,2a+b=0；由C知. 一. b b- 4ac-b2.f(X)=2ax+b，令f(X)=0可得X=--，则Uf(--)=3，则 =32a 2a 4aa-b+c≠02a+b=0由D知4a+2b+C=8,假设A选项错误，则｛4ac—b2

=34a4a+2b+c=8得I二；0,满足题意，故A结论错误,C=8,同理易知当B或C或D选项错误时不符合题意，故选A.(2014北京)已知函数f(X)=6-logX，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是X2A.(0,1) B,(1,2) C.(2,4) D,(4,+8)【答案】C【解析】•・•f(1)=6-log1=6>0,f(2)=3-log2=2>0,f(4)=3-log4=-1<0,Λf(X)零2 2 2 2 2点的区间是(2,4)I1——-3,X∈(-1,0](2014重庆)已知函数f(X)=JX+1 ,且g(X)=f(X)-mX-m在(-1,1]内有且仅有X,X∈(0,1]两个不同的零点，则实数m的取值范围是91r 11 1A.(--,-2]U(0,-] B.(-二,-2]U(0,-]4 2 4 292r 11 2C.(--,-2]U(0,-] D.(-二,-2]U(0,-]4 3 4 3【答案】A【解析】g(X)=f(X)-mX-m在(-1,1]内有且仅有两个不同的零点就是函数y=f(X)的图象与函数y=m(X+1)的图象有两个交点，在同一直角坐标系内作出函数I1——-3,X∈(-1,0]f(X)=JX+1 ，和函数y=m(X+1)的图象，如图，X,X∈(0,1]1当直线y=m(x+D与y=--ɪ-3,X∈(-1,0]和y=X,X∈(0,1]都相交时C ， ，八 1 - ,一0<m≤大；当直线y=m(X+1)与y=---3,X∈(-1,0］有两个交点时，2 X+1-y=m(X+1) I由\ 1 ，消元得 3=m(X+1)，即m(x+1)2+3(x+1)-1=0,y= -3 X+1〔X+19化简得mX2+(2m+3)X+m+2=0，当A=9+4m=0，即m=——时直线41y=m(X+1)与y=——--3,X∈(-1,0］相切，当直线y=m(X+1)过点(0,-2)X+1C ‘9一 .9一一L时，m=-2，所以m∈(--,-2］，综上实数m的取值范围是(--,-2］u(0,-］4 4 2(2014湖北)已知/(%)是定义在R上的奇函数，当X≥0时，f(X)=X2-3X.则函数g(x)=f(x)-X+3的零点的集合为A.{1,3}B.{-3,-1,1,3}C.{2-“7,1,3} D.{-2-√7,1,3)【答案】Q【解析】当X≥0时，函数g(X)的零点即方程f(X)=X-3的根，由X2-3X=X-3，解得X=1或3；当X<0时，由f(X)是奇函数得-f(X)=f(-X)=X2-3(-X)，即f(X)=-X2-3X，由f(X)=X-3得X=-2-√7(正根舍去).(2013重庆)若Q<b<J则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(X-C)+(x-C)(X-a)的两个零点分别位于区间A.(a,b)和(b,c)内C.(b,c)和(c,+8)内B.D.(-*a)和(a,b)内(fa)和(c,+s)内【答案】A【解析】由“<8<c,可得/(α)=(α-8)(α-c)>0,f(b)=(b-c∖b-a)<Qr,f(C)=(C-a)(C-b)>0.显然f(a)∙f(b)<0,f(b)∙f(C)<0,所以该函数在(a,b)和(b,C)上均有零点，故选A.(2013天津)函数f(X)=2XIlogXI-1的零点个数为0.5A.1 B.2 C.3D.4【答案】B【解析】令f(X)=0，可得∣log05x∣=2x,由图象法可知f(X)有两个零点.ι116.(2012北京)函数f(x)=X2-(-)χ的零点个数为A.0B.1 C.2 D.3【答案】B1【解析】因为f(X)在Q+∞)内单调递增，又f(0)=-1<0,f(1)=->0所以f(X)在［0,+∞)内存在唯一的零点.17.(2012湖北)函数f(X)=XcosX2在区间［0,4］上的零点个数为A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】f(X)=0，则X=0或cosX2=0兀，rX2=k兀+—,k∈Z2又X∈∣0,4]k=0,1,2,3,4所以共有6个解.选C.(2012辽宁)设函数f(X)(X∈R)满足f(-X)=f(X),f(X)=f(2-X),且当X∈［0,1］时，f(X)=X3.又函数g(X)=IXcos(兀X)|,则函数h(X)=g(X)-f(X)在［-1,3］上的零点个数为A.5 B.6 C.7D.8【答案】B【解析】由题意f(-X)=f(X)知，所以函数f(X)为偶函数，所以f(X)=f(2-X)=f(X-2),所以函数f(X)为周期为2的周期函数，且f(0)=0,f(1)=1,而g(X)=∣Xcos(兀X)1为偶函数，且3,2］内图13像共有6个公共点，则函数h(X)=g(X)-f(X)在［--,-］上的零点个数为6,故选B.1 1 3 13 1g(0)=g(2)=g(-2)=g(2)=0,在同一坐标系下作出两函数在［-2,2］上的图像，发现在［--Ia,a-b≤1,.(2011天津)对实数a与b，定义新运算“区”：a⑤b=9 71设函数Ib,a-b>1.f(X)=(X2-2)0(X-X2),X∈R.若函数y=f(X)-C的图像与X轴恰有两个公共点，则实数C的取值范围是A.C.(T,-2］u-K-∞,4U-,+∞B.(T,-2LD.V-1，-41D4,+∞r1、√\4∖√、(、(T-4∖√ʌ√√√【答案】B3【解析】由题意知，右X2-2-(x-X2)≤1,即-1≤X≤—时，f(x)=X2-2；当X2-2-(x-X2)>123即X<-1或x>一时，f(x)=x-x2，要使函数y=f(x)-c的图像与x轴恰有两个公共点，只须2方程f(x)-C=0有两个不相等的实数根即可，即函数y=f(x)的图像与直线y=C有两个不同的交点即可，画出函数y=f(x)的图像与直线y=C，不难得出答案B.π.(2018全国卷In)函数f(x)=cos(3X+-)在［0,π］的零点个数为6.【答案】3π ππ πkπ【解析】由题意知，cos(3x+-)=0,所以3x+-=-+kπ,k∈Z,所以X=+—,k∈Z,当k=06 6 2 9 3时，π 4π 7πx=—；当k=1时，x=-9-；当k=2时，x=-9-，均满足题意，所以函数f(X)在［0,π］的零点个数为3..(2019江苏14)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为4,g(x)的'k(x+2),0<x≤11-2,1<x≤2周期为2,且f(x)是奇函数.当x∈(0,2］时，f(x)=JI-(X-1)2,g(x)=<,其中k>0.若在区间(0,9］上，关于X的方程f(x)=g(X)有8个不同的实数根，则k的取值范围是.【答案】［3,【解析】作出函数f(x)与g(x)的图像如图所示，由图可知，函数f(x)与g(x)=-1(1<x≤2,3<x≤4,5<x≤6,7<x≤8)仅有2个实数根；要使关于X的方程f(x)=g(x)有乙8个不同的实数根，则f(x)=YI-(X-1)2,X∈(0,2］与g(x)=k(X+2),X∈(0,1］的图象有2个不同交13kI I, 1,点，由(Lo)到直线k-y+2k=0的距离为1,得k2+1=1,解得k=2~2(k>0),因为两点(-2,0)13(1,1)连线的斜率k=【答案】-3【解析】f(X)=6X2-2ax=2x(3x-a)(a∈R),当a≤0时f(x)>0在(0,+∞)上恒成立，则f(x)在(0,+∞)上单调递增，又f(0)=1，所以此时f(X)在(0,+∞)内无零点，不满足题意.当a>0时，由f(x)>0a a a a 一得X>-,由f(x)<0得0<X<3,则f(X)在(0,3)上单调递减，在(-,+∞)上单调递增，又f(X)在一 一a a3(0,+∞)内有且只有一个零点，所以f(-)=-57+1=0，得a=3,所以f(x)=2x3-3x2+1,则f(X)=6X(X-1)，当X∈(-1,0)时，f(x)>0,f(X)单调递增，当X∈(0,1)时，f(x)<0,f(X)单调递减，则f(X)=f(0)=1,f(-1)=-4,f(1)=0，则f(X)=-4，所以f(X)在[-1,1]上的最大值max min与最小值的和为-3. 「X—4.X>λ 一. ...23.(2018浙江)己知λ∈R,函数/(X)= C,当λ=2时，不等式/(x)<0的解[χ2—4x+3,X<λ集是.若函「数/(x)恰有2个零点，则λ的取口值范围是.【答案】(1,4)；(1,3]U(4,+∞)【解析】若λ=2,则当x22时，令x—4<0,得2Wx<4；当x<2时，令4x+3<0,得l<x<2.综上可知l<x<4,所以不等式/(x)<0的解集为(1,4).令x—4=0,解得x=4；令心―4x+3=0,解得χ=l或χ=3.因为函数/(x)恰有2个零点，结合.函数的图象(图略)可l<λ≤3或λ>4+年高考中大教据频¾a一一 ，一一一、Ii一、一、“ 无 ，，一一人、”、，24.(2015湖北)函数f(X)=4cos2-cos(--X)-2sιnx-1ln(X+1)I的零点个数为2< 21【答案】2„,. x.兀【解析】因为f(x)=4cos2—cos(—-x)-2sιnX-1ln(X+1)I21 ^2=2(1+cosX)∙sinX-2sinX-1ln(X+1)I=sin2X-1ln(X+1)I1#25.(2011辽宁)已知函数f(X)=eX-2X+a有零点，则a的取值范围是16.(2011辽宁)已知函数f(X)=eX-2X+a有零点，则a的取值范围是【答案】(0,1)【解析】当X<2时，f(X)=3(X-1)2≥0，说明函数在(-∞,2)上单调递增，函数的值域是(-∞,1)又函数在[2,+∞)上单调递减，函数的值域是(0,1]，因此要使方程f(X)=k有两个不同实根，则0<k<126.GOll辽宁)已知函数/(%)=外-2%+〃有零点，则〃的取值范围是【答案】(-∞,2ln2-2]【解析】由原函数有零点，可将问题转化为方程eX-2X+a=0有解问题，即方程a=2X-e有解.令函数g(X)=2X-e，贝Ugr(X)=2-e,令gr(X)=0,得X=ln2，所以g(X)在(-∞,ln2)上是增函数，在(ln2,+∞)上是减函数，所以g(X)的最大值为g(ln2)=2ln2-2,所以a∈(-∞,2ln2-2]27.(2015北京)设函数f(X)=<2X-a,X<1,4(X-a)G-2a),X≥1.①若a=1,则f(X)的最小值为②若f(X)恰有2个零点，则实数a的取值范围是，1一一、【答案】-1[5,1)U[2,+∞)【解析】①若a=1,则f(x)=fx—a，X<1, 、，作出函数f(X)的图象如图所示，由图可知f(X)的[4(X—a)(X—2a),x≥1.最小值为—1．②当a≥1时，要使f(X)恰好有3个零点，需满足2ι—a≤0，即a≥2.所以a≥2(a<1≤2a 1当a<1时，要使f(X)恰好有2个零点，需满足I ，解得χ≤a<1[21—a>0 228.(2015湖南)已知函数f(X)=/3,X≤Q，若存在实数b，使函数g(X)=f(X)—b有两个零[X2,X>a点，则a的取值范围是 ^【答案】(一∞,0)U(1,+∞)【解析】分析题意可知，问题等价于方程X3=b(X≤a)与方程X2=b(X>a)的根的个数和为2，若两个方程各有一个根：则可知关于b的不等式组1b3≤a<Jb>a有解，从而a>1；若方程X3=b(X≤a)无解，方程X2=b(X>a)有2个根：则可知关于b的—，厉≤ab∙L不等式组∣b3>a有解，从而a<0；综上，实数a的取值范围是—bb>a(-∞,0)U(1,+∞).(2014江苏)已知/(%)是定义在R上且周期为3的函数，当X∈[0,3)时，f(x)=IX2-2X+1∣.若函数y=f(x)-a在区间［-3,4］上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是.1【答案】(0,万)【解析】函数y=f(X)-a在区间［-3,4］上有互不相同的10个零点，即函数y=f(X)与y=a的图象有110个不同的交点，在坐标系中作出函数y=f(X)在一个周期内的图象，可知0<a<-乙.(2014福建)函数fQ)=f2-2, X≤0的零点个数是 12X—6+InX,X>0【答案】21一【解析】当X≤0时，令X2—2=0，解得X=—%2；当X>0时，f(X)=2X—6+lnX,Vf(X)=2+>0X・・・f(X)在(0,+∞)上单调递增，因为f(1)=—4<0,f⑶=ln3>0，所以函数f(X)=2X—6+lnX在(0,+∞)有且只有一个零点，所以f(X)的零点个数为2.考点24函数的实际应用1.(2020北京15)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用—f(b)-f(a)

b—a的大小评价在la,b］这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在∖t,t］这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；12②在t时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；2③在t时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标；3④甲企业在to,t］，∖t,t］，∖t,t］这三段时间中，在［θ,t］的污水治理能力最强.1 12 23 1其中所有正确结论的序号是 .【答案】①②③…f(b)—f(a) f(b)—f(a) r.【解析】T狡=f(t)用 7 来评价治污能力，而I 是图像上两点连线的斜率，在［t,t］b—a b—a 12上，甲的治污能力比乙强，故①对，t时刻甲比乙强，t时刻都低于达标排放量，・•・都达标，甲企业在［0,t］23 1时刻治污能力不是最强.(2020山东6)基本再生数凡与世代间隔是新冠肺炎的航行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔是指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：/⑺=e〃描述累计感染病例数/(%)随时间/(单位：天)的变化规律，指数增长率「与H,T近似O满足H=l+rT.有学者基于已有数据估计出H=3.28,7=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计O O感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) ()A.1.2天 B.1.8天 C2.5天 D.3.5天【答案】B【思路导引】根据题意可得IQ)=e=e038t,设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天，根据e0.38(t+tι)=2e0.381，解得(即可得结果.3.28-1【解析】因为R=3.28,T=6,R=1+rT，所以r=--一=0.38，所以Iit)=ert=e0.38100 6设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天，则e0.38(t+tp=2e0.381，所以ln20.69e0.3811=2，所以0∙38t=ln2，所以t= ≈ ≈1.8天，故选：B.10.380.38(2015全国卷2,理11)如图，长方形M边4S=2,BC=I,。是的中点，点尸沿着边BC,CD与N运动，记/BOP=x,将动点尸到4,B两点距离之和表示为X的函数f(x)，则的图像大致为()A.C.B.D.【答案】B【解析】当x∈[θ,π]时，fx）=tanx+y∣4÷tan2x，图象不会是直线段，从而排除A、C.当X∈4，3T时，f4)=f34π)=1÷m，购=242.丁2巾＜1÷V5,∙∙∙fπX4^l=f(3π',)，从而排除D，故选B.（2015北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是t燃汕效率（kιn∕LJ 1 1 A口 40 80速度(km∕rh)A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【解析】“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，A中乙车消耗1升汽油，最多行驶的路程为乙车图象最高点的纵坐标值，A错误；B中以相同速度行驶相同路程，甲燃油效率最高，所以甲最省油，B错误，C中甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，甲车每消耗1升汽油行驶的里程10km，行驶80km，消耗8升汽油，C错误，D中某城市机动车最高限速80千米/小时.由于丙比乙的燃油效率高，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，选D.（2014北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率夕与加工时间方（单位：分钟）满足函数关系P=R2+4+C（。、b、C是常数），下图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟【答案】B【解析】由题意可知P=at2+bt+C过点(3,0.7),(4,0.8)(5,0.5),代入p=at2+bt+c中可解得a=-0.2,b=1.5,c=-2,/.P=-0.212+1.51一2=-0.2(t—3.75)2+0.8125,,当t=3.75分钟时，可食用率最大.（2014湖南）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为P,，第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为p+qA.—— B.2【答案】D(p+1)(q+1)-1c.ppq d.√'(p+1)(q+1)-12【解析】设年平均增长率为X,原生产总值为a,则（1+p）（1+q）a=a（1+X）2，解得X=J(I+p)(1+q)-1,故选D.（2017山东）若函数eXf（X）（e=2.71828…，是自然对数的底数）在f（X）的定义域上单调递增，则称函数f(X)具有M性质，下列函数中具有M性质的是.①f(X)=2T ②f(X)=X2 ③f(X)=3-X ④f(X)=cosX【答案】①④一 一e【解析】①eχf(X)=eX-2-X=(-)X在R上单调递增，故f(x)=2-x具有M性质；e②eχf(X)=eχ-3-X=(3)X在R上单调递减，故f(X)=3-χ不具有M性质；③exf(X)=ex∙X3，令g(X)=ex∙X3，贝Ug'(X)=ex∙X3+ex-3X2=X2-x(X+2).∙.当X>一2时，gf(X)>0，当X<一2时，g'(x)<0「.eχf(X)=eχ∙X3在(一∞,-2)上单调递减，在(-2,+∞)上单调递增，故f(X)=X3不具有M性质；④-Xf(X)=-X(X2+2),令g(X)=-X(X2+2)则g'(X)=-X(X2+2)+-X-2X=-X[(X+1)2+1]>0∙∙∙-χf(X)=-X(X2+2)在R上单调递增，故f(X)=X2+2具有M性质.G ”、 X2,X∈D(2017江苏)设f(X)是定义在R且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f(X)=| 其中集合X,X右Dn—1D={XIX= ,n∈N*}，则方程f(X)-lgX=0的解的个数是.n【答案】8【解析】由于f(X)∈[0,I)，则需考虑1≤X<10的情况，在此范围内，X∈Q且X∈D时，设X=q,p,q∈N*,p≥2，且P,q互质，Pn若lgX∈Q，则由lgX∈(0,1)，可设lgX=—,m,n∈N*,m≥2，且m,n互质，m因此10:=q，则10n=(q)m，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，P P因此lgXeQ因此lgX不可能与每个周期内X∈D对应的部分相等，只需考虑lgX与每个周期XeD的部分的交点，画出函数图象，图中交点除外(LO)其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期X史D的部分，11且X=1处(lgX)'= = <1，则在X=1附近仅有一个交点，Xln10ln10因此方程f(X)-lgX=0的解的个数为8.、 IX3一3X,X≤a(2016年北京)设函数f(X)=∖ ^[—2X,X>a①若a=0，则f(X)的最大值为；②若f(X)无最大值，则实数a的取值范围是.【答案】2，(一叫T)IX3—3X,X≤0【解析】①若a=0,则f(X)=< ，当X>0时，—2X<0[—2X,X>0当XG0时，f(X)=3X2—3=3(X+1)(X—1),所以函数f(X)在(-∞,—1)上单调递增，在(—1,0]上单调递减，所以函数f(X)在(—∞,0]上的最大值为f(—1)=2综上函数f(X)的最大值为2.②函数y=X3—3X与y=-2X的大致图象如图所示若f(X)无最大值，由图象可知—2a>2，即a<—1(2015四川)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度X(单位：。C)满足函数关系y=ekX+b(e=2.718…为自然对数的底数，k、b为常数).若该食品在0。C的保鲜时间设计192小时，在22。C的保鲜时间是48小时，则该食品在33°C的保鲜时间是小时.【答案】24eb=192【解析】由题意得:22k+b=48即, 1,所以该食品在33C的保鲜时间是eιιk=—I 2/ 、 /1、……y=e33k+b=(e11k)3-eb=(—)3X193=24^2(2014山东)已知函数y=f(X)(X∈R)，对函数y=g(X)Q∈I),定义g(Q关于fG)的“对称函数”为函数y=h(X)(x∈I),y=h(x)满足：对任意X∈I，两个点(X,h(x)),Q,g(X))关于点Q,f(X))对称，若h(x)是g(X)=<'4—X2关于f(X)=3X+b的“对称函数”，且h(x)>g(X)恒成立，则实数b的取值范围是【答案】(2√10,+∞)【解析】函数g(X)的定义域为[—1,2],根据已知得h(X)+g(X)=f(x)所以h(X)=2f(X)—g(X)=6X+2b—、.∙,4—x2,h(X)>g(X)恒成立，即6X+2b—J4—X2>G4—X2,令y=3X+b,y=√4—X2,则只要直线y=3X+b在半圆X2+y2=4(y≥0)上方即可，由IbI√10>2，解得b>2√10(舍去负值),故实数b的取值范围是(2√10,+∞)(2014福建)要制作一个容器为4m3，高为1m的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是(单位：元)【答案】160【解析】设该容器的总造价为y元，长方体的底面矩形的长Xm,因为无盖长方体的容积为4m3高为1m，所以长方体的底面矩形的宽为-m，依题意，得X2X4 4、 ；^^4y=20X4+10(2X+——)=80+20(X+-)≥80+20X2:X•=160X X ∖X(2014四川)以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(X),存在一个正数M，使得函数φ(X)的值域包含于区间［一M,M］.例如，当φ(X)=X3,φ(X)=SinX时，φ(X)∈A,φ(X)∈B.现有如下命题：12 12①设函数f(X)的定义域为D，则"f(X)∈A"的充要条件是"∀b∈R,3a∈D,f(a)=b"；②函数/(x)∈B的充要条件是/(x)有最大值和最小值；③若函数f(X)，g(X)的定义域相同，且f(X)∈A，g(X)∈B，则f(X)+g(X)&BXX X X X i X④若函数f(X)=aln(X+2)+ (X>-2，a∈R)有最大值，则f(X)∈BX2+1其中的真命题有.(写出所有真命题的序号)【答案】①③④【解析】对于①，根据题中定义，f(X)∈A0函数y=f(X),X∈D的值域为R,由函数值域的概念知，函数y=f(X),X∈D的值域为R=∀b∈R,3a∈D1f(a)=b，所以①正确；对于②，例如函数f(X)=(-)X1的值域(0,1］包含于区间［-1,1］，所以f(X)∈B但f(X)有最大值1,没有最小值，所以②错误；对于③，若f(X)+g(X)∈B，则存在一个正数M1,使得函数f(X)+g(X)∈B的值域包含于区间［-Mι,M1］,所以-M≤f(X)+g(X)≤M，由g(X)∈B知，存在一个正数M，使得函数g(X)的值域包含于区间11 2［-M,M］，所以-M≤g(X)≤M，亦有22 2 2-M≤g(X)≤M，两式相加得-(M+M)≤f(X)≤M+M，于是f(X)∈B，与已知”.f(X)∈A"2 2 12 12矛盾，故f(X)+g(X)也B，即③正确；对于④，如果a>0那么X→+∞,f(X)→+∞，如果a<0，那么X→-2,f(X)→+∞，所以f(X)有最大值，必须a=0X 11此时f(X)= 7在区间(-2,+∞)上，有-≤f(X)≤X2+1 2 2所以f(X)∈B，即④正确，故填①③④.14．(2018上海)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时,某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S中X%(0<X<100)的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为’30, 0<X≤30,f(X)=J 18002X+——-90,30<X<100(单位：分钟),X而公交群体的人均通勤时间不受X影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：(1)当X在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(X)的表达式；讨论g(X)的单调性，并说明其实际意义.【解析】(1)当0<X≤30时，f(X)=30<40恒成立，公交群体的人均通勤时间不可能少于自驾群体的人均通勤时间；当30<X<100时，若40<f(X),即2X+1800—90>40，解得X<20(舍)或X>45X・・・当45<X<100时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；(2)设该地上班族总人数为n，则自驾人数为n∙X%，乘公交人数为n•(1—X%)30∙n∙X%+40∙n-(1—X%)0<X≤30因此人均通勤时间g(X)=〈n(2X+1800—90)∙n∙X%+40∙n-(1—X%) X ,30<X<100，整理得：g(X)=<X40———,

100<X≤301，50(X—32.5)2+36.875,30<X<100则当X∈(0,30]U(30,32.5],即X∈(0,32.5]时，g(X)单调递减;当X∈(32.5,100)时，g(X)单调递增.实际意义：当有32.5%的上班族采用自驾方式时，上班族整体的人均通勤时间最短．适当的增加自驾比例，可以充分的利用道路交通，实现整体效率提升；但自驾人数过多，则容易导致交通n拥堵，使得整体效率下降．15.(2013重庆)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000兀元(兀为圆周率).(I)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域;(II)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.【解析】(I)因为蓄水池侧面积的总成本为100,2兀rh=200兀rh元，底面的总成本为160兀r2元，所以蓄水池的总成本为(200兀rh+160兀r2)元.1，…，、又题意据200兀rh+160兀r2=12000兀，所以h=一(300一4r2)5r从而V(r)=兀r2h=g∙(300r一4r3).因r>0，又由h>0可得r<5γ3故函数V(r)的定义域为(0,5√'3)兀 .兀 .(II)因V(r)=-(300r一4r3),故V'(r)=-(300-12r2).令V'(r)=0解得r=5,r=-5(因r=-5不在定义域内，舍去).1 2 2当r∈(0,5)时，V'(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r∈(5,5√3)时，V'(r)<0，故V(r)在(5,5√,3)上为减函数.由此可知，V(r)在r=5处取得最大值，此时h=8即当r=5,h=8时，该蓄水池的体积最大.考点25函数的综合应用1.(2019全国I理12)设函数f(X)的定义域为R,满足f(X+1)=2f(X)，且当X∈(0,1］时， 一 8f(X)=X(XT).若对任意X∈(-∞,m],都有f(X)≥-“则m的取值范围是A.(91J∞,4B.(71[一叫3C.(51[一叫2D.【答案】B(81[-∞,3当X∈(2,3]时，X-1∈(1,2],f(X)=2f(X-1)=4(X-2)(X-3)∈[-1,θ]当X∈(2,3]时，由4(X—2)(X—3)=—9解得x=3或x=387若对任意X∈(-8,m],都有f(X)≥-g,则m≤-，故选B.2.(2016全国II卷)已知函数f(X)(X∈R)满足f(X)=f(2一X),若函数y=IX2—2X-31与歹=f(X)图像的交点为(X,y),(X,y),…，(X,y),则E11 22mmX=

ii=1A.OB.mC.2mD.4m878【答案】B【解析】由f(X)=f(2-X)知f(X)的图像关于直线X=1对称，又函数y=IX2-2X-3I=I(X-1)2-4I的图像也关于直线X=1对称,所以这两个函数图像的交点也关于直线X=1对称,不妨设X1<X2<∙∙∙<X，

mX+X贝U→ m=1,即X+X=2,同理X+X=22 1m 2 m-1，由EX=X+XH HXi12 mi=1所以2&X=(X+X)+(X+X)H F(X+X)=2m,所以£i1m 2 m-1i=1m1X=m

i故选B.i=1，，. ..1_..… (2011全国新课标理12>函数y=--的图像与函数y=2sιn兀X(-2≤X≤4)的图像所有交点的横坐标X-1之和等于A.2B.4C.6D.8【答案】D1【解析】)=一7的对称中心是(1,0)也是y=2sin兀X(-2≤X≤4)的中心，-2≤X≤4他们的图像在X=1X-1的左侧有4个交点，则X=1右侧必有4个交点.不妨把他们的横坐标由小到大设为XX,X,X,X,X,X,X1,2 3 4 5 6 7 8一X2+2X,X≤0(2013全国课标卷1,理11)已知函数f(X)=〈/ ,、八，若|f(X)∣≥QX,则Q的取值范围是Jn(X+1),X>0A.(一∞,0] B.(一∞,1] C.[-2,1]D.[-2,0]【答案】D【解析】∙∙∙∣f(X)|=1X2一2X,X≤0ln(X+1),X>0・•・由∣f(X)∣≥QX得,X≤0 XX>0―且1 X2一2X≥aX ln(X+1)≥aX,X≤0由1 可得a≥X-2,则a≥-2,排除A,B，当a=1时，易证ln(X+1)<X对X>0恒成立，故X2一2X≥aXa=1不适合，排除C,故选D.(2013全国课标卷2,文12)若存在正数X使2x(X-a)<1成立，则a的取值范围是( )(A)(-∞,+∞) (B)(-2,+∞) (C)(0,+∞) (D)(-1,+∞)【答案】D【解析】因为“存在正数X,使2X(X-a)<1成立”，即存在正数X,使a>X-(；)X成立，设f(x)=X-(；)X

X>0),显然f(X)在区(0,+∞)是单调递增函数，.・.f(X)>f(0)=-1，所以a>一1,故选D.(2017山东)已知当X∈［0,1］时，函数y=(mx-1)2的图象与y=、；X+m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是

A.(0,1]∪[2√3,+∞)

C.(0,V2]u[2√3,+∞B.(0,1]uh+∞)D.【答案】B【解析】当0<m≤1时，1≥1,函数y=f(X)=(mx-1)2,在［0,1］上单调递减，函数y=g(x)=∖；x+mm在[0,1]上单调递增，因为f(0)=1,g(0)=m,f(1)=(m-1)2,g(1)=1+m,所以f(0)>g(0)f(1)<g(1),此时f(X)与g(X)在X∈[0,1]有一个交点；当m>1时，0<ɪ<1,函数y=f(x)=(mx-1)2m在O’]上单调递减，在[工,1]上单调递增，此时f(0)<g(0)，在[0,L]无交点，要使两个函数的图象有mm m一个交点，需f(1)≥g(1)，即(m-1)2≥1+m，解得m≥3,故选B.7.(2016年天津)已知函数f(X)=1X2+(4a-3)X+3a,X<0,八Y1 /八1、八(a>0,且a≠1)在R上单调递减，且关log(X+1)+1,X≥0a于X的方程I/(X)I=2-X恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是2 2 3 1 2 3 1 2l3A∙(O,-]B.[3,4]C.[3,3]_{4}D.[3,3)U{4}【答案】CC— 4a—3„ 3 一— 、【解析】当X<0时，/(X)单调递减，必须满足—1^≥0，故0<a≤，此时函数f(X)在[0,+∞)上2 41 1 3 — .单调递减，若f(X)在R上单调递减，还需3α≥1,即a≥,所以三≤a≤.当X≥0时，函数y=If(x)I3 3 4的图象和直线y=2-X只有一个公共点，即当X≥0时，方程If(X)I=2-X只有一个实数解.因此，只需当X<0时，方程If(X)I=2-X只有一个实数解，根据已知条件可得，当X<0时，方程X2+(4a-3)x+3a=2-X,即X2+2(2a-1)x+3a-2=0在(-∞,0)上恰有唯一的实数解.判别式31A=4(2a-1)2-4(3a-2)=4(a-1)(4a-3),当a=时，Δ=0,此时X=--满足题意；令4 22h(X)=X2+2(2a-1)x+3a-2,由题意得h(0)<0,即3a-2<0,即a<—时，方程32X2+2(2a-1)X+3a-2=0有一个正根、一个负根，满足要求；当h(0)=0，即a=Q时，方程2 2 3X2+2(2a-1)X+3a-2=0有一个为0、一个根为——,满足要求;当h(0)>0，即3a-2>0，即—<a<^3 ^3 ^l时对称轴-(2a-1)<0，此时方程X2+2(2a-1)x+3a-2=0有两个负根，不满足要求；综上实数a的取12.3值范围是[-,-]∪{-}I8.(2015全国课标卷2,文12)设函数f(x)=ln(1+IXI)-7L,贝必更得f(x)>f(2X-1)成立的X的1+X2取值范围是( )、、4.3，1B.3)u(1,+∞)D../1U3,+∞Jr-∞,VJ3,3,r-∞,V1 3√kJ【答案】A【解析】由/(x)=ln(1+1XI)-- f(X)是偶函数，且在h+∞)是增函数，所以1+X2f(x)>f(2X-1)=f(x|)>f(2X-1∣)o∣x∣>∣2X-1∣o1<X<1.故选A.^3X+1.9.(2016全国课标2,理12)已知函数f(X)(X∈R)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=与y=f(-)图像的交点为(-,y),(-,y),∙∙∙,(X,y),则X(-+y)=()11 2 2 mm ii（A）0 （B）m（C）2m （D）4m【答案】Bf(-x)=2-1,) /⑴ (o,D J=-1+1,所以X=X其图像也关于点(0,1)对称，所以函数y=x+1与>=f(x)图像的交点(X,y),(X,y),∙∙∙,(x,y),X 11 2 2 mm成对出现且每一对关于点ω,1)对称，所以ZX=0,Xy=m义2=m,所以E(X+y)=mi i2 iii=1 i=1 i=1故选B.X2-X+3,X≤1,10.(2017天津)已知函数f(X)=| 2 设a∈R，若关于X的不等式f(x)≥l-+a1在R上恒成X+—,->1. 2、 -立，则α的取值范围是A.[—47,2] B.[-47,39] C.[-2v3,2] D.[-2√3,39]16 1616 16【答案】A当-≤1时，若要f(-)≥∣X2【解析】解法一根据题意,X,即X2——+3+a≥02X 1 47故对于方程χ2-—+3+a=0,Δ=（一）2-4（3+a）≤0,解得a≥---；当χ>1时，若要f（-）≥∣-+a|2 2 16 八，22 X X2 X2 X2恒成立，结合图象，只需X+—≥—+a,即—+_≥a,又工+—≥2，当且仅当大=—,即χ=2时等X 2 2X 2X 2X号成立，所以a≤2，综上，a的取值范围是[-47,2].选A.11 1 X11解法二由题意f（-）的最小值为，此时-=.不等式f（-）≥lX+aI在R上恒成立等价于I大+a∣≤-4 2 2 24在R上恒成立.— 1X ：—当a=-2v3时，令X=,I--2√3l=l2 28√3-1111 1〉—，不符合，排除C、D；39 1 X 39 43 11当a=时，令x=,|—+ |=| |> ，不符合，排除B.选A.16 2 2 16 16 8.(2014山东)已知函数fQ)=IX-2|+1,g(X)=kχ.若方程f(X)=g(-)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是1B.(1,1) c(1,2)2D.(2,+∞)【答案】B【解析】如图所示，方程f(x)=g(X)有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y=kx的斜率大于坐标原点与点(2,1)的连续的斜率，且小于直线y=X-1的斜率时符1合题意，故选万<k<1.(2013安徽)已知函数f(X)=X3+aX2+bX+c有两个极值点X1，X2，若f(X)=X<X，则关于X的1 12方程3(f(X))2+2af(X)+b=0的不同实根个数为A．3B．4C．5D．61A(0，2)48【答案】A【解析】f'(X)=3X2+2aX+b,X,X是方程3X2+2aX+b=0的两根12由3(f(X))2+2af(X)+b=0，则又两个f(X)使得等式成立，X=f(X),X>X=f(X)，其函数图象如下，如图则有3个交点，故选11A．1 2113.(2013湖南)函数f(X)=2lnX的图像与函数gG)=X2—4X+5的图象的交点个数为A．3B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】二次函数g(χ)=X2-4X+5的图像开口向上，在X轴上方，对称轴为X=2,g(2)=1；f(2)=2ln2=ln4>1.所以g(2)<f(2),从图像上可知交点个数为2.(2011山东)已知f(X)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤X<2时，f(X)=X3-X，则函数y=f(X)的图象在区间［0,6］上与X轴的交点的个数为