2019年新课堂高考总复习数学文科专题三数列与不等式配套课件

专题三 数列与不等式题型1等差、等比数列的综合问题等差数列与等比数列的综合应用常出现在全国各地高考试卷中，主要考查等差数列、等比数列的基本概念、基本公式、基本性质及基本运算，对于Sn与an的关系式，备考复习时应该予以重视.例1：(2015

年新课标Ⅰ)Sn

为数列{an}的前n

项和.已知an＞0，a2＋2a

＝4S

＋3.n

n

n(1)求{an}的通项公式；n(2)设b

＝1anan＋1n，求数列{b

}的前n

项和.解：(1)当n＝1

时，a2＋2a

＝4S

＋3＝4a

＋3.1

1

1

1因为an＞0，所以a1＝3.2n

n当n≥2

时，a

＋2a

－a——2n

1

n

1

n—n

1n－2a

＝4S

＋3－4S

－3＝4a

，即(an＋an－1)(an－an－1)＝2(an＋an－1).因为an＞0，所以an－an－1＝2.所以数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列.所以an＝2n＋1.n(2)由(1)知，b

＝1(2n＋1)(2n＋3)＝1—1

122n＋1

2n＋3.所以数列{bn}的前n

项和为b1＋b2＋…＋bn＝23

511

1

115

7

－

＋

－

＋…＋—1

112n＋1

2n＋3

6＝

－14n＋6.【规律方法】已知数列前n项和与第n

项的关系，求数列将所给条件化为关于前n项和的递推关系或是关于第n项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比数列或等差数列求通项公式.通项公式，常用

an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2【互动探究】1.(2017北京)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.(1)求{an}的通项公式；(2)求和：b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1.解：(1)设等差数列{an}的公差为d.因为a2＋a4＝10，所以2a1＋4d＝10.又a1＝1，所以d＝2.所以an＝2n－1.(2)设等比数列{bn}的公比为q.因为b2b4＝a5，所以b1qb1q3＝9.又b1＝1，所以q2＝3.所以b2n－1＝b1q2n－2＝3n－1.从而

b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1＝1＋3＋32＋…＋3n

1＝—3n－12.题型2

Sn与an的综合问题数列是一种离散的函数，与方程密不可分，因此，利用函数的方法来判断数列的单调性、求数列的最值是高考的命题热点.数列和不等式的综合程度也在进一步加强，面也在进一步扩大，有数列本身内容的综合，也有相关知识的综合，还有思想方法的综合.例2:

(2015

年广东梅州调研)若数列{an}的前n

项和为Sn，n

n

n－1且满足

a

＋2S

S

＝0(n≥2)，a1＝21.

1

(1)求证：S

成等差数列；

n(2)求数列{an}的通项公式.(1)证明：当n≥2

时，由an＋2SnSn－1＝0，—1

1SnSn－11得

Sn－Sn－1＝－2SnSn

.所以

－

＝2.1

11

1

1

n又S

＝a

＝2，故S

是首项为2，公差为2

的等差数列.n2n1

1

(2)解：由(1)，可得Sn＝2n，∴S

＝

.当n≥2

时，an＝Sn－S1

1

n－1＝2n－2(n－1)n－1－n＝

＝－12n(n－1)

2n(n－1).12当

n＝1

时，a

＝1

.不适合上式故an＝21，n＝1，—

1

2n(n－1)，n≥2.例

3:

设数列{an}的前

n

项和为

Sn，已知

a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明数列{bn}是等比数列.

an2n(2)在(1)的条件下证明

n

是等差数列，并求

a

.(1)证明：由a1＝1，及Sn＋1＝4an＋2，有a1＋a2＝4a1＋2，a2＝3a1＋2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.由Sn＋1＝4an＋2，

①知当n≥2时，有Sn＝4an－1＋2.

②①－②，得an＋1＝4an－4an－1.∴an＋1－2an＝2(an－2an－1).又∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1.∴{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列.(2)解：由(1)，可得

bn＝an＋1－2an＝3·2n

1.—an

3an＋1∴2n＋1－2n＝4.∴数列

an132

2

4n

是首项为，公差为的等差数列.∴an

1＋3

3

12n＝2

4(n－1)＝4n－4.∴an＝(3n－1)·2n－2.【规律方法】(1)解决an

与Sn

的关系式时，有两种途径：一是将an化为Sn，即an＝Sn－Sn－1(如例2)，二是将Sn化为an(如例3)，根据题目的形式灵活应用.(2)在证明例3

时，首先利用转化的思想，把Sn＋1＝4an＋2转化为an＋1

与an

的关系，然后作商b＋n

1bn或bnbn－1，在作商时，无论bnbn－1b21bn＋1

bn使用

，还是

，都要考虑比值中是否包含了b

这一项，这是很容易被忽视的地方.【互动探究】2.(2016年河南八市重点高中二模)数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＋an＝n2＋2n＋2，n∈N*，数列{bn}满足bn＝an－n.(1)求数列{bn}的通项公式；

(2)求数列{nbn}的前n项和Tn.解：(1)由

2Sn＋an＝n2＋2n＋2，

①1

1得2S

＋a

＝5.∴a1＝35.2Sn＋1＋an＋1＝(n＋1)2＋2(n＋1)＋2.

②②－①，得3an＋1－an＝2n＋3.∵bn＝an－n，∴an＝bn＋n，an＋1＝bn＋1＋n＋1.n＋1

n

1

13∴3b

＝b

.又∵b

＝a

－1＝2.n3

3∴{b

}是以2为首项，1为公比的等比数列.n∴b

＝

2

.3n3nn

n3n(2)由(1)，得b

＝

2

.∴nb

＝2n.1∴Tn＝2

＋2

3

n

3

3

3 3

2＋

3＋…＋

n.3∴

Tn＝2

1

132

32＋

3＋

4＋…＋n－13

3

3n＋

n

3＋n

1，211

1

1

n两式相减，得3Tn＝23＋32＋33＋…＋3n－3n＋1＝2

1

1

31－3n11－3—n

3n＋1＝1－2n＋33n＋1n23.∴T

＝

1－2n＋33n＋1.题型3数列与不等式的综合问题数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在解决这些问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法等.如果是解不等式问题，要使用不等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法等.例

4：(2014

年新课标Ⅱ)已知数列{an}满足

a1＝1，an＋1＝3an＋1.(1)证明

2n

na

＋1

是等比数列，并求{a

}的通项公式；

(2)

1

1

1

3证明：a1＋a2＋…＋an＜2.(1)解：由a＋n

1n＝3a

＋1＋n

112，得

a

＋

＝3na

＋12.又

a

1

31＋2＝2，

n

1232所以

a

＋

是首项为，公比为

3的等比数列.13n所以an＋2＝

2

.

a

nn因此

的通项公式为

a

＝3n－12.an(2)证明：由(1)知，1

＝2n3

－1.因为当n≥1

时，3n－1≥2×3n－1，所以1n3

－1

2×3—≤

1

n

1.即1

≤

1

.an

3n－112n1

1

1

1于是a

＋a

＋…＋a

≤1＋3＋…＋

1

3—n

1＝231－1

3n32<

.所以

1

11

3a1＋a2＋…＋an<2.【互动探究】3.已知等比数列{an}满足2a1＋a3＝3a2，且a3＋2

是a2，a4的等差中项.(1)求数列{an}的通项公式；n

n(2)若b

＝a

＋log

12an，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn－2＋n

1＋47<0

成立的n

的最小值.解：(1)设等比数列{an}的公比为q，依题意，有2a1＋a3＝3a2，a2＋a4＝2(a3＋2)，即a1(2＋q2)＝