八年级二次根式复习讲义非常全面

第页二次根式知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．【典型例题】【例1】下列各式1），其中是二次根式的是_________（填序号）．举一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A、B、C、D、2、在、、、、中是二次根式的个数有______个【例2】若式子有意义，则x的取值范围是．举一反三：1、使代数式有意义的x的取值范围是（）A、x>3 B、x≥3 C、x>4 D、x≥3且x≠42、使代数式有意义的x的取值范围是3、如果代数式有意义，则，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【例3】若y=++2009，则x+y=解题思路：式子（a≥0），，y=2009，则x+y=2014举一反三：1、若，则x－y的值为（）A．－1B．1C．2D．32、若x、y都是实数，且y=，求xy的值3、当取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。已知a是整数部分，b是的小数部分，求的值。若的整数部分是a，小数部分是b，则。若的整数部分为x，小数部分为y，求的值.知识点二：二次根式的性质【知识要点】1.非负性：是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2.．注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：3.注意：（1）字母不一定是正数．（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．4.公式及的区别及联系（1）表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数．（2）表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数．（3）和的运算结果都是非负的．【典型例题】【例4】若则．举一反三：1、若，则的值为。2、已知为实数，且，则的值为（） A．3 B．–3 C．1 D．–13、已知直角三角形两边x、y的长满足｜x2－4｜＋＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.4、若及互为相反数，则。（公式的运用）【例5】化简：的结果为（）A、4—2aB、0C、2a—4D、4举一反三：1在实数范围内分解因式:=；=2化简：3已知直角三角形的两直角边分别为和，则斜边长为（公式的应用）【例6】已知,则化简的结果是A、 B、 C、 D、举一反三：1、根式的值是()A．-3B．3或-3C．3D．92、已知a<0，则│－2a│可化简为（）A．－aB．aC．－3aD．3a3、若，则等于（）A.B.C.D.4、若a－3＜0，则化简的结果是（）(A)－1(B)1(C)2a－7(D)7－5、化简得（）（A）2（B）（C）－2（D）6、当a＜l且a≠0时，化简＝．7、已知，化简求值：【例7】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，则化简│a－b│+的结果等于（）A．－2bB．2bC．－2aD．2a举一反三：实数在数轴上的位置如图所示：化简：．【例8】化简的结果是2x-5，则x的取值范围是（ ）（A）x为任意实数（B）≤x≤4（C）x≥1（D）x≤1举一反三：若代数式的值是常数，则的取值范围是（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．或【例9】如果，则a的取值范围是（）A.a=0B.a=1C.a=0或a=1D.a≤1举一反三：1、如果成立，则实数a的取值范围是（）2、若，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）【例10】化简二次根式的结果是（A）(B)(C)(D)1、把二次根式化简，正确的结果是（）A. B. C. D.2、把根号外的因式移到根号内：当＞0时，＝；＝。知识点三：最简二次根式和同类二次根式【知识要点】1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式．2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。【典型例题】【例11】在根式1)，最简二次根式是（）A．1)2)B．3)4)C．1)3)D．1)4)解题思路：掌握最简二次根式的条件。举一反三：1、中的最简二次根式是。2、下列根式中，不是最简二次根式的是（）A． B． C． D．3、下列根式不是最简二次根式的是()A.B.C.D.4、下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？(1)(2)(3)(4)(5)(6)5、把下列各式化为最简二次根式：(1)(2)(3)【例12】下列根式中能及是合并的是()A.B.C.2D.举一反三：1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（）A、B、C、D、2、在二次根式：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④中，能及合并的二次根式是。3、如果最简二次根式及能够合并为一个二次根式,则a=__________.知识点四：二次根式计算——分母有理化【知识要点】1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：①单项二次根式：利用来确定，如：，，及等分别互为有理化因式。②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如及，，分别互为有理化因式。3．分母有理化的方法及步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。【典型例题】【例13】把下列各式分母有理化（1）（2）（3）（4）【例14】把下列各式分母有理化（1）（2）（3）（4）【例15】把下列各式分母有理化：（1）（2）（3）举一反三：1、已知，，求下列各式的值：（1）（2）2、把下列各式分母有理化：（1）（2）（3）小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类：①及；

②及；③及；

④及．知识点五：二次根式计算——二次根式的乘除【知识要点】1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。=·（a≥0，b≥0）2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。·＝．（a≥0，b≥0）3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根=（a≥0，b>0）4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。=（a≥0，b>0）注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．【典型例题】【例16】化简(1)(2)(3)(4)()(5)×【例17】计算（1）

（2）

（3）

（4）（5）

（6）

（7）

（8）【例18】化简：(1)(2)(3)(4)【例19】计算：(1)(2)(3)（4）【例20】能使等式成立的的x的取值范围是（）A、B、C、D、无解知识点六：二次根式计算——二次根式的加减【知识要点】需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．【典型例题】【例20】计算（1）；（2）；（3）；（4）【例21】（1）（2）（3）（4）（5）（6）知识点七：二次根式计算——二次根式的混合计算及求值【知识要点】1、确定运算顺序；2、灵活运用运算定律；3、正确使用乘法公式；4、大多数分母有理化要及时；5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；【典型习题】1、2、EQ\F(2,EQ\R(,2))(2EQ\R(,12)+4EQ\R(,EQ\F(1,8))－3EQ\R(,48))3、·（-4）÷4、5、）6、7、8、【例21】1．已知：，求的值．2．已知，求的值。3．已知：，求的值．4．求的值．5．已知、是实数，且，求的值．知识点八：根式比较大小【知识要点】1、根式变形法当时，=1\*GB3①如果，则；=2\*GB3②如果，则。2、平方法当时，=1\*GB3①如果，则；=2\*GB3②如果，则。3、分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比