全国大学生数学建模竞赛全国一等奖论文

全国大学生数学建模竞赛全国一等奖论文承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开场后参赛队员不能以任何方式〔包括电话、电子邮件、网上咨询等〕与队外的任何人〔包括指导老师〕研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违背竞赛规则的,假如引用别人的成果或其他公开的资料〔包括网上查到的资料〕，必须根据规定的参考文献的表述方式在正文引用途和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违背竞赛规则的行为，我们将遭到严肃处理。我们参赛选择的题号是〔从A/B/C/D中选择一项填写〕：我们的参赛报名号为〔假如赛区设置报名号的话〕：所属学校〔请填写完好的全名〕：参赛队员(打印并签名)：1.2.3.指导老师或指导老师组负责人(打印并签名)：日期：年月日赛区评阅编号〔由赛区组委会评阅前进行编号〕：当前位置：文档视界全国大学生数学建模竞赛全国一等奖论文全国大学生数学建模竞赛全国一等奖论文甲型H1N1流感的预测、控制和影响模型摘要甲型H1N1流感是全国乃至全球人们最受关注的传染病，它的传播速度快，对人们的身体健康危害极大。本文根据香港甲流疫情数据进行分析，对其传播的预测与控制进行研究并建出模型，并提出模型建立的关键和困难以及对卫生部门所采取的预防措施作出评定估计。针对问题一，为了了解甲流的传播情况，先作出已确诊的病例散点图。根据散点图的情况，分别建立了马尔萨斯模型：()tetx0175.08.1107=，阻滞增长模型：()teitiλ-??????-+=11110，SIS模型：??????---=)11(σλiidtdi，SIR模型：()()?????????==-=-=0000ssiisddsNsdditiitiλμλ，以及SIR模型的改良模型：???????????????-+=-+==-+=-=βεωωωβωωωεββεωβωωβ)()()(gspdtdqigdtdiqidtdrgggspgtdgspdtds.从SIR模型的改良模型中，能够得出控制传染源、切断传播途径、保护易感人群、隔离等措施进行预防和控制H1N1甲流的传播。针对问题二，考虑H1N1对旅游经济的影响，对近几年香港接待海外游客的数据进行拟合，得出2020年后三个月的游客数目18.1984y3,26.7907y2,25.5199y1===，进而建立灰色预测模型:()()()???????-=+-=+=--∧2046820468))1((17669.2500.01240124.0)0(11eabeabxkxxdtdxa，并对其模型进行了残差检验和关联度检验，进而较为准确的预测出2020的旅客人数为274.9568万人。【关键词】H1N1流感马尔萨斯模型Logistic模型SIR模型灰色预测法一、问题重述2020年3月底至4月中旬，由墨西哥、美国等地相继发生甲型H1N1流感(A/H1N1influenza)疫情逐步迅速地蔓延到世界各地。甲型H1N1流感〔简称甲流〕是一种新型甲型流感病毒引起的急性呼吸道传染病。去年爆发期间全球数千万人染病，死亡人数超过16000人。截至去年12月21日，我国内地确诊110590例，死亡442人。由于甲流的传播速度快，对人们的身体健康危害大，因而得到世界卫生组织的重视和人们广泛的关注。附件1是香港流感疫情的模拟数据；附件2是香港接待海外旅游人数的模拟数据。采集和阅读有关甲流的相关数据及文章，建立数学模型，解决如下问题：问题一：对甲流的传播数学模型进行分析，十分地讲明如何才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？同时，对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提早或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计〔附件1提供的数据可供参考〕。问题二：采集甲流对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测〔附件2提供的数据可供参考〕。二、问题分析根据附件1香港疫情数据分析，我们初步观察到在对65天甲流传播情况包含了对已确诊病例、疑似病例、死亡人数累计量以及治愈出院人数累计量。根据这些数据，首先我们对香港疫情中的已确诊病例情况做出定量分析，运用Mtlab7.1编程得出了甲流传播速度情况的散点图。针对传染病的传播经过，首先，我们用()tx表示时刻t的病人人数，用λ表示天天每个病人有效接触的人数，考虑t到tt?+时刻病人人数的增加，建立微分方程xdtdxλ=，()00xx=，通过马尔萨斯模型求解得：()textxλ0=。接着在病人的有效接触人群中只要病人方可被传染为病人，因而要区分健康人和病人。那么我们再次对这些数据进行分析，用常数λ表示日接触率；()ts表示健康者；()ti表示病人；用()tNi表示病人数。那么由此可知天天共有()()titNsλ个健康者被感染。建立模型NsidtdiNλ=，()()1=+tits，通过阻滞增长模型求解得：()????????????-+=-teitiλ111/10。接着我们考虑当治愈后的健康者还可被感染变成病人的情况，我们用μ表示日治愈率，μ1表示平均传染期，建立模型NiNsidtdiN-=λ。对于问题二，首先我们利用2003年至2020年后7至9月份各个月份的平均值与2020年做差值，利用其差值进行拟合，利用Mtlab7.1求得2003年至2020年与2020年后三个月的差值为2.4468，-2.2407，0.6516，进而得到2020年后三个月香港海外旅游人数。接着同样运用Mtlab7.1编程对2003年到2020年香港海外旅游总人数进行了处理并假设()()}{1,196.697,297,326.3,250,292.229.2,217.0=kX，再对其作一次性累加生成运算得到新的生成数列()()}{,1809,1612.3,1286.2989.2,696.5,,446.5229.21=kX，紧接着对()()kX1作紧邻均值生成得出数据阵B和数据向量nY，再对参数列Tba],[=∧α进行最小二乘估计最后建立出了灰色模型〔GM(1,1)模型〕。我们又经过对GM(1,1)模型的残差检验和关联度检验，最终得出了预测结果。三、符号讲明四、模型假设1、假设已确诊人数作为主要的预测模型的指标，对于甲流感病情的预测没有影响。2、假设所有的统计数据真实，没有遗漏现象。3、假设与患者有效接触的易感染者〔即未患过该病的健康者〕均会被传染。4、假设所考察人群的总数恒定，没有其他病源的输入和输出，不考虑总人口的出生率和自然死亡率。五、模型的建立与求解5.1对问题一建立模型与求解5.1.1已确诊病例散点图根据问题一，由附件1〔香港疫情数据〕中的已确诊病例数据,用Mtlab7.1作出如下散点图〔程序参见附件3〕：图1散点图从图1可看出，前25天〔即5月20日至6月15日〕，甲流的传播速度增长幅度较大，而后四十天，甲流的传播速度持续增长，但增长速度趋于平缓。5.1.2马尔萨斯模型〔Malthusian模型〕甲流传播预测模型类似于人口增长的预测模型，故首先采用马尔萨斯模型〔Malthusian模型〕进行建模。设时刻t的病人人数()tx是连续、可微函数，并且天天每个病人有效接触〔足以使人致病的接触〕的人数为常数λ，考察t到t+t?病人人数的增加，则有()()()t=-?+λtx?txttx再设0t时有=x个病人，即得微分方程()?????==00xxxdtdxλ解之可得：()textxλ0=其中，λ,0x为常数。根据香港疫情数据中的已确诊的病例数据散点图(图1)，考虑利用马尔萨斯模型()textxλ0=来预测甲流的传播情况。用matlab7.1求得8.11070=x0175.0=λ。即得马尔萨斯模型如下〔程序参见附件4〕：()tetx0175.08.1107=模型Ⅰ图2马尔萨斯拟合及预测图形结果表明，随着t的增加，病人人数()tx无限增长。即马尔萨斯拟合及预测图线与香港疫情中的已确诊病例数据图线拟合程度较差，且对将来预测情况跟实际显然是不太相符合的，因而暂不考虑用该模型进行数据预测。对模型Ⅰ的结果分析：马尔萨斯模型是关于人口或种群增长的模型，它发现人口或种群成指数增长。即在模型I中可引意为，患病人数随着时间得增长呈指数增长变化。但现实生活中，由于病人在有效接触的人群中，包含健康人和病人，而其中只要健康人才能够被传染为病人，因而在改良的模型中必须避免将健康人和病人混为一体这种情况，即要区别病人和健康人进行建模。5.1.3阻滞增长模型〔Logistic模型〕在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，即不考虑生死，也不考虑迁移。人群分为易感染者和已感染者两类，下面简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中占得比例分别记作()ts和()ti。假设病人天天的有效接触的平均人数是常数λ，λ成为日接触率。当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人。根据假设，每个病人天天可使()tsλ个健康者变为病人，由于病人数为()tNi，所以天天共有()()titNsλ个健康者被感染，于是Nsiλ就是病人数Ni的增加率，即有NsidtdiNλ=又由于()()1=+tits再记初始时刻()0=t病人的比例为0i，则()()?????=-=001iiiidtdiλ解之得：()teitiλ-??????-+=11110模型Ⅱ用Mtlab7.1作出()tti~和idtdi~的图形如下〔程序参见附件5〕：图3Logistic模型()tti~曲线图4Logistic模型idtdi~曲线模型Ⅱ结果分析：由图4可知，当5.0=i时dtdi到达最大值mdtdi?????，这个时刻为??????-=-11ln01itmλ此时病人数增加得最快，预示着传染病的高潮的到来。mt与λ成反比，由于日接触率λ反响了该地区的卫生水平，λ越小卫生水平越高。所以改善保健设施、提高卫生水平能够延缓传染病高潮的到来。而当∞→t时1→i，即所有人终究将被传染，全变为病人，这显然与实际情况不符相。其中的原因是模型中没有考虑到病人是能够治愈的，人群中的健康者只能变成病人，而病人不会再变成健康者。下面模型中将讨论病人能够治愈的情况。5.1.4SIS模型由于病人被治愈后变成健康者，健康者还能够被感染再变成病人，那么由此得到需增加的条件为：天天被治愈的病人数占病人总数的比例为常数μ，称为日治愈率。病人治愈后成为仍可被感染的健康者。显然μ1是这种传染病的平均传染期。?????=--=1)()(titsNiNsidtdiNμλ记初始时刻()0=t病人的比例为0i，则?????=--=0)0()1(iiiiidtdiμλ设μλσ=，则σ可表示整个传染病期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数。利用σ，可得如下模型：??????---=)11(σλiidtdi模型Ⅲ根据模型Ⅲ，利用Mtlab7.1作出idtdi~的图形，如下〔程序参见附件6〕：图5SIS模型的idtdi~曲图6SIS模型的ti~曲模型Ⅲ结果分析：不难看出，接触数1=σ是一个阈值。由图5可知道，随着病人所占的人数越多，那么在时间t内病人的增长率就越大。当1>σ时()ti的增减性取决于0i的大小〔见图6〕，单其极限值()σ11-=∞i随着σ的增加而增加；当1≤σ时病人比例()ti越来越小，最终趋于0，这是由于传染期内经有接触进而使健康者变成的病人数不超过原来病人数的缘故。5.1.5SIR模型由于病人在治愈后有一定的免疫力，所以病愈的人既非健康者〔易感染者〕，也非病人〔已感染者〕，他们己经退出传染系统。人群分为健康者、病人、病愈与免疫的移出者三类，即SIR模型。这三类人在总人数N中占得比例分别记作i(t)s(t),和r(t)。?????==++itrNddNtrtitsμ1)()()(记初始时刻的健康者和病人的比例分别是()000>ss和()000>ii〔设移出者的初始值00=r〕，则可得SIR模型：()()?????????==-=-=0000ssiisddsNsdditiitiλμλ模型Ⅳ由于模型Ⅳ无法直接求出)(ts和)(ti的值，故先作数值运算。设,02.0)0(,5.0,2===iμλ96.0)0(=s，用Mtlab7.1求解可得如下)(),0(tsi图形和is~图形〔程序参见附件7〕：图7)(),0(tsi图形图8is~图形〔相轨图〕模型Ⅳ结果分析：s~i平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域为(){}1,0,0,≤+≥≥=isisisD消去td可得：00,11iisddsssi=-==σ利用积分特性可解得：()000ln1sssisiσ+-+=，在定义域D内,该式表示的曲线即为相轨线,如图9所示.其中箭头表示了随着时间t的增加)(ts和)(ti的变化趋