2023年上海高考数学理科试卷(带详解)

2023年全国普通高等学校招生统一考试

上海数学试卷〔理工农医类〕

一、填空题

1.计算：lim"+20=___

I-3〃+13

【测量目标】数列极限的运算.

【考查方式】给出了数列进行化简，根据极限运算法那么算出极限.

【难易程度】容易

【参考答案】-

3

1+20

【试题解析】根据极限运算法那么，lim3上型■=lim―a=1.

n—>oo3〃+13勺,133

2.设meR,加2+/〃—2+（，”2—］）i是纯虚数，其中i是虚数单位，那么加=

【测量目标】复数的根本概念.

【考查方式】给出复数，由纯虚数的根本概念算出m的值.

【难易程度】容易

【参考答案】m=-2

【试题解析】卜":"T=°nm=-2.

加2_］彳0

X2V?XX

3.假设,=，那么x+y=______.

-11y-y

【测量目标】行列式的初步运算.

【考查方式】给出行列式，由行列式的运算法那么计算出x+y的大小.

【难易程度】容易

【参考答案】0

【试题解析】f+y2=—2盯二%+丁二。.

4.△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c,假设3/+2出?+3/一3c?=0,那么

角C的大小是.（结果用反三角函数值表示）

【测量目标】余弦定理，反三角函数.

【考查方式】利用余弦定理解出角C,再用反三角函数值表示.

【难易程度】中等

【参考答案】C=TT-arccos，

3

9

【试题解析］3«2+2ab+3b2-3c2=0^c2=a2+b2+-ab,

3

故cosC=——,C=TI-arccos—.

33

5.设常数aeR,假设（小+0）的二项展开式中/项的系数为一"，那么。=

【测量目标】二项式定理.

【考查方式】根据某一项的系数，利用二项式展开式的通项公式求出未知量的值.

【难易程度】容易

【参考答案】一2

【试题解析】7；句=（2；（/）5-，（与，,2（5—「）一「=7=〃=1,故©；4=-10=。=一2.

x

31

6.方程-—+-=3'T的实数解为______.

3V-13

【测量目标】指数方程.

【考查方式】给出了指数方程，化简求值.

【难易程度】容易

【参考答案】x=log34

2t

【试题解析】原方程整理后变为3-2・3、-8=0=3'=4nx=log34.

7.在极坐标系中，曲线P=cos6+l与pcos6=l的公共点到极点的距离为

【测量目标】坐标系与参数方程，两点间的距离公式.

【考查方式】给出参数方程，联立方程组得到两点的距离.

【难易程度】容易

【参考答案】上述

2

【试题解析】联立方程组得。（P一l）=】n/?=与后（步骤1）,

又夕…0,故所求为一^.（步骤2）

8.盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球，从中任意取出两个，那么这两

个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）.

【测量目标】古典概型，随机事件的的概率

【考查方式】所求事件为一个随机事件，利用随机事件概率的求法求出答案

【难易程度】容易

13

【参考答案】—

18

C213

【试题解析】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为1-二=巴.

C：18

9.设AB是椭圆厂的长轴，点C在厂上，且NC84='，假设A8=4,BC=6,那么厂

4

的两个焦点之间的距离为.

【测量目标】椭圆的标准方程，椭圆的性质.

【考查方式】写出椭圆标准方程，根据其性质求出焦点间的距离.

【难易程度】容易

【参考答案】2c二蛔

3

22

【试题解析】不妨设椭圆，的标准方程为上+与=1,于是可算得C(l,l)(步骤1),得

4b~

=孚」步骤2)

10.设非零常d是等差数列%,尤2，刍，，西9的公差，随机变量J等可能地取值天,々,刍，，m9,

那么方差

【测量目标】随机变量的期望和方差.

【考查方式】给出等差数列，求出随机变量的方差.

【难易程度】中等

【参考答案】而|d|

【试题解析】

s19x18

"4_19MH------dJ

EJ=%々…*9=-----------------2——=x+9d=xl(1(步骤1〕

1919110

D^=^-(92+82++12+02+12++92)=30/.(步骤2)

12

11.假设cosxcosy+sinxsiny=],sin2x+sin2y=§,那么sin(x+y)=

【测量目标】两角和与差的正余弦，二倍角公式.

【考查方式】给出三角函数的值，利用两角和与差的余弦公式和等量代换求出值.

【难易程度】中等

2

【参考答案】

3

1

【试题解析】故

*'2-.........................3

./、2

sin(x+y)=§.

2

12.设。为实常数，y=/(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)^9x+—+7,假

x

设/(X)…。+1对一切尤…()成立，那么。的取值范围为.

【测量目标】奇函数的性质.

【考查方式】给出了在某段定义域内的函数解析式，利用奇函数的性质求出。的范围.

【难易程度】中等

Q

【参考答案】--

7

【试题解析】/(0)=0,故0屋a+l=a-1(步骤1)；当x〉0时

2

f(x)=9x+---7…a+1(步骤2)

x

o

即61al…。+8,又明,-1,故a”—(步骤3)

13.在xOy平面上，将两个半圆弧(x—l)2+y2=9…1)和(x—3)2+y2=i(x…3)、两条

直线y=l和y=-l围成的封闭图形记为。，如图中阴影局部.记。绕y轴旋转一周而成的几

何体为0,过(O,y)(|yL,1)作、所得截面面积为4兀一L+8兀,试利用祖胞原理、一个平

放的圆柱和一个长方体，得出C的体积值为.

第13题图

【测量目标】合情推理.

【考查方式】给出了封闭图形，利用祖瞄原理求出其体积.

【难易程度】中等

【参考答案】2^+16兀

【试题解析】根据提示，一个半径为1,高为2兀的圆柱平放，一个高为2,底面面积8兀的长

方体，这两个几何体与。放在一起，根据祖唾原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故

它们的体积相等，即0的体积值为7i.l2.27r+2.8?1=27+16兀.

14.对区间/上有定义的函数g(x),记g(/)={y|y=g(x),xe/},定义域为[0,3]的函数

y=/(x)有反函数y=/\x),且尸([0,1))=口,2),尸((2,4])=[0,1),假设方程

/(x)—x=0有解％,那么/=.

【测量目标】反函数，函数零点的求解与判断.

【考查方式】给出了反函数的解析式，在特定定义域内求出它的反函数解析式并求出新函数

的解.

【难易程度】中等

【参考答案】d=2

【试题解析】根据反函数定义，当xe[0,l)时，f(x)e(2,4](步骤1)；xe[l,2)时,

/(x)e[O,l),而y=/(x)的定义域为[0,3](步骤2),故当xe[2,3]时，/(尤)的取值应在

(—8,0)[1,2](4,+00),故假设/(%)=/，只有/=2.(步骤3)

二、选择题

15.设常数aeR,集合A={x|(x-l)(x—a)庞0},8={x|xa-\],假设4B=R,

那么a的取值范围为()

A(—co,2)B(—co,2]C(2,+oo)D[2,+oo)

【测量目标】集合的根本运算，解一元二次不等式.

【考查方式】给出两个集合，根据它们的并集求出a的取值范围.

【难易程度】中等

【参考答案】B

【试题解析】当a>l时，A=(-oo,1][a,+oo),Z?=[a-l,+oo),(步骤1)

假设A18=R,那么。一1?1,:A<a„2,(步骤2)

当a=l时，易得A=R，此时A3=R成立，(步骤3)

当aVl时，A-(-oo,a][l,+oo),B=[a-l,+oo),

假设AB=R,那么a—l?。显然成立(步骤4)

/.«<1；综上“的取值范围是(F,2],应选B(步骤5)

16.钱大姐常说“廉价没好货"，她这句话的意思是：“不廉价"是"好货”的0

A充分条件B必要条件C充分必要条件D既非充分也非必要条件

【测量目标】充分必要条件.

【考查方式】给出日常生活问题，判断命题的充分必要性.

【难易程度】容易

【参考答案】B

【试题解析】根据等价命题，廉价=没好货，等价于，好货=不廉价，应选B.

17.在数列伍“}中，假设一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素

a..=a..«.+«,+a.,(z=l,2,,7;；=1,2,,12)那么该矩阵元素能取到的不同数值的个

数为()

A18B28C48D63

【测量目标】指数函数模型.

【考查方式】给出了数列矩阵以及行列元素的关系，求出矩阵元素不同数值的个数.

【难易程度】容易

【参考答案】A

【试题解析】①=叩火+4+%=2'*j—1,而i+j=2,3,,19,故不同数值个数为18个,

选A.

18.在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为

at,a2,a3,a4,a5；以。为起点，其余顶点为终点的向量分别为4,4,4,4,4―假设也加分

别为（4+%+W）44，+4+4）的最小值、最大值，其中

亿1/,%}={1,2,3,4,5},{r,s,f}工{1,2,3,4,5},那么"M满足（）.

Am=O,M>OBm<O,M>0Cm<0,M=0Dm<0,M<0

【测量目标】平面向量在平面几何中的应用.

【考查方式】根据平面几何中的向量性质，容易求出答案.

【难易程度】中等

【参考答案】D

【试题解析】由题意记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为q,%,%,%；以。为

起点，其余顶点为终点的向量分别为4，4，4,4,4，利用向量的数量积公式，只有

AF»DE=AB-DC>0,其余均有q.4”0,应选D.

三、解答题

19.（此题总分值12分）如图，在长方体ABCO-AiBiG。中，AB=24O=14p4=l,证明直线

BC,平行于平面D.AC,并求直线BG到平面DXAC的距离.

第19题图

【测量目标】直线与平面平行的判定，锥的体积.

【考查方式】给出长方体及假设干条件，根据直线与平面平行的判定定理以及三棱锥的体积

公式求出答案.

【难易程度】容易

【试题解析】因为ABC。—ASG。为长方体，ABCR,AB=Cn，

故A8G。为平行四边形，故BCtAD}（步骤1）,显然B不在平面RAC上，于是直线BC}

平行于平面"AC（步骤2）；直线BG到平面OAC的距离即为点8到平面OAC的距离设

为〃考虑三棱锥ABC。的体积，以A8C为底面，可得V=gx（gxlx2）xl=；（步骤3）

而△A〃C中，AC=D、C=#>,AD\=0,故1c=g

所以，V=-1x3-x/?=-1^//=-2,即直线BG到平面。N2C的距离为工.（步骤4）

32333

20.（6分+8分）甲厂以x千克〃卜时的速度运输生产某种产品（生产条件要求1领Jx10）,

每小时可获得利润是100（5x+l-』）元.

X

（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求尢的取值范围；

(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利

润.

【测量目标】二次函数模型的建立，求函数的最值.

【考查方式】给出实际问题建立函数模型，求出其最值.

【难易程度】容易

【试题解析】(1)根据题意，200(5x+l-』)JS3000n5x—14-20

XX

又1领Jx10,可解得3领k10(步骤1)

⑵设利润为y元,那么y=—.100(5x+l--)=9x104［-3(---)2+—］

xxx612

故x=6时，ymax=457500元.［步骤2)

21.(6分+8分)函数/(x)=2sin(gx),其中常数①>0；

(1)假设y=/(x)在［-：7F,亍271］上单调递增，求。的取值范围；

(2)令。=2,将函数y=/(x)的图像向左平移士7T个单位，再向上平移1个单位，得到函数

6

y=g(x)的图像，区间3,例(a,—eR且a<b)满足:y=g(x)在［a,b］上至少含有30个

零点，在所有满足上述条件的3,切中，求。的最小值.

【测量目标】三角函数的单调性，周期，图像及其变化.

【考查方式】将三角函数进行变化求出。的取值范围；将三角函数进行平移和变换求出零点

进而求出答案.

【难易程度】中等

【试题解析】(1)因为。〉0,根据题意有

71兀

---。…---

<42no<0”-(步骤1)

2兀兀4

兀71

(2)/(%)=2sin(2x),g(x)=2sin(2(x+—))+1=2sin(2x+—)+1

63

兀］715

g(x)=0=>sin(2x+—)=--=>x=kn-—^x=E+■^兀MeZ,

IT27r

即g(x)的零点相离间隔依次为m和,(步骤2)

故假设y=g(x)在［a,b］上至少含有30个零点，

2717143兀

那么方—a的最小值14X巧+15'4=士吧.(步骤3)

333

22.(3分+5分+8分)如图，曲线C：］—)2=1,曲。2：1田=1幻+1，P是平面上一点，假

设存在过点P的直线与都有公共点，那么称P为“G—C2型点”.

(1)在正确证明G的左焦点是“G—C2型点"时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这

样的直线的方程(不要求验证)；

(2)设直线y=履与G有公共点，求证|的>1，进而证明原点不是“G—C2型点”；

(3)求证：圆/+尸=；内的点都不是，，G—C2型点”.

第22题图

【测量目标】圆锥曲线的探索性问题.

【考查方式】给出了“G—C2型点”的概念，证明3个命题的正确性.

【难易程度】较难

【试题解析】：(1)G的左焦点为尸(-6,0),过尸的直线x=-G与Ci交于(-6,±”)，

2

与C2交于(一百，土(百+1)),故Cl的左焦点为“G-C2型点"，

且直线可以为x=〔步骤1)

(2)直线y=H与C2有交点，那么

\'y=kxn(|%|—l)|x|二l,假设方程组有解，那么必须(步骤2)

3=|幻+1

直线y=依与C2有交点，那么

《2，=>(1-2公)/=2,假设方程组有解，那么必须二<上

[%2-2/=22

故直线y=近至多与曲线Ci和C2中的一条有交点，即原点不是“G-C2型点”.(步骤3)

(3)显然过圆V+y2=；内一点的直线/假设与曲线CI有交点，那么斜率必存在；

根据对称性，不妨设直线/斜率存在且与曲线C2交于点(r/+l)(r…0)，那么

直线/与圆/+y2=J.内部有交点，故♦三g〈也

27F7T2

化简得，(1+好求)2〈耳左2+<①(步骤4)

2

假设直线/与曲线Ci有交点，那么

y=kx-kt-\-t+\

^)x2+2k(l+t-kt)x+^+t-kt)2+\=0(步骤5)

./=><k--

---y2=1

l2

化简得，（1+t—切2…2伏2—g）②

由①@得，2（公_3）,,（1+f—4,&2+]）=%2<]（步骤6）

但此时，因为/庞0,[1+«1-幻]21,1（后2+1）<],即