河北省沧州市段村中学高三数学理摸底试卷含解析

河北省沧州市段村中学高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若则等于

A.

B.

C.

D.

参考答案：A2.若函数在区间内单调递增，则的取值范围是A．B．C．D．参考答案：A略3.已知两点，若曲线上存在点P，使得，则正实数的取值范围为(

)A．(0，3] B．[1，3] C．[2，3] D．[1，2]参考答案：B4.已知a＞b，则下列不等式一定成立的是（）A．a﹣3＞b﹣3B．ac＞bcC．＜D．a+2＞b+3参考答案：A考点：不等式的基本性质．专题：不等式的解法及应用．分析：由a＞b，可得a﹣3＞b﹣3．即可得出．解答：解：∵a＞b，∴a﹣3＞b﹣3．故选：A．点评：本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．5.若θ∈[，]，sin2θ=，则sinθ=（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】二倍角的正弦．【分析】由θ的范围求出2θ的范围，再由平方关系求出cos2θ，根据倍角的余弦公式变形求出sinθ的值．【解答】解：由θ∈[，]，得2θ∈[，π]，又sin2θ=，∴cos2θ=﹣=﹣，∵cos2θ=1﹣2sin2θ，sinθ＞0，∴sinθ==，故选：D．6.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sinA≤sinB”的()A．充分必要条件

B．充分非必要条件C．必要非充分条件

D．非充分非必要条件参考答案：A7.下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A．y=sin（2x+） B．y=cos（2x+）C．y=sin2x+cos2x D．y=sinx+cosx参考答案：B【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】由条件利用诱导公式化简函数的解析式，再根据三角函数的奇偶性和周期性得出结论．【解答】解：由于函数y=sin（2x+）=cos2x为偶函数，故排除A；由于函数y=cos（2x+）=﹣sin2x为奇函数，且周期为，故B满足条件；由于函数y=sin2x+cos2x=sin（2x+）为非奇非偶函数，故排除C；由于函数y=sinx+cosx=sin（x+）为非奇非偶函数，故排除D，故选：B．8.执行如图所示的程序框图，输出的结果是，则判断框内应填入的条件是 参考答案：A略9.（5分）（2015?浙江模拟）设α，β，γ是三个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列判断正确的是（）A．若α⊥β，则β⊥γ，则α∥γB．若α⊥β，l∥β，则l⊥αC．若则m⊥α，n⊥α，m∥nD．若m∥α，n∥α，则m∥n参考答案：C【考点】：空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：利用面面垂直、线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理对四个选项分别分析选择．解：对于A，若α⊥β，β⊥γ，则α与γ可能相交；故A错误；对于B，若α⊥β，l∥β，则l可能在α内；故B错误；对于C，若m⊥α，n⊥α，根据线面垂直的性质定理以及空间线线关系的确定，可以判断m∥n；故C正确；对于D，若m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交或者异面．故D错误；故选C．【点评】：本题考查了面面垂直、线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理的运用，熟记定理是关键．10.若,则,则的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D试题分析：，因为，所以，选D.考点：二倍角公式，同角三角函数关系二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在等比数列中，，则

．参考答案：2考点：等比数列等比数列中，

因为

所以（）

故答案为：212.方程表示的曲线所围成区域的面积是

；参考答案：2413.函数的最小正周期是

。参考答案：略14.已知f(x)＝sin(x＋)，g(x)＝cos(x－)，则下列结论中正确的序号是__________(1)．函数y＝f(x)·g(x)的最小正周期为π.

(2)．函数y＝f(x)·g(x)的最大值为.

(3)．函数y＝f(x)·g(x)的图象关于点(，0)成中心对称

(4)．将函数f(x)的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象参考答案：（1）（2）（4）15.正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1，1)，D(－1，1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是

．参考答案：【知识点】积分的意义；几何概型..B13

K3

【答案解析】

解析：因为，所以在第一象限有，则在第一象限的阴影部分的面积为，所以概率为，故答案为.【思路点拨】先利用积分的意义求出图形在第一象限的阴影部分的面积，然后求概率即可.16.若，则的最大值是_________.参考答案：4

略17.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=，3sinA=sinB，cosC=，则边c=．参考答案：2【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】利用正弦定理化简3sinA=sinB，可得3a=b，结合a=，可求b，进而利用余弦定理可求c的值．【解答】解：∵3sinA=sinB，可得：3a=b，∴由a=，可得：b=3，∵cosC=，∴由余弦定理可得：c===2．故答案为：2．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知递增等比数列的前项和为，，且.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，且的前项和，求证：.参考答案：【知识点】等比数列及等比数列前n项和D3【答案解析】（1）（2）略（1）设公比为q，由题意：q>1,，则，，∵，∴则解得：或（舍去），∴（2）又∵在上是单调递增的∴∴【思路点拨】根据等比数列的性质求出通项公式，然后用公式求和，利用单调性证明。19.已知(Ⅰ）求函数的单调增区间(Ⅱ）在中，分别是角的对边，且，求的面积.参考答案：（Ⅰ）因为====

所以函数的单调递增区间是[]（）(Ⅱ)因为=，所以,又，所以，从而在中，∵

∴1=b2+c2-2bccosA,即1=4-3bc.故bc=1从而S△ABC=21．若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈(0，成立，求a的取值范围．答案：法一：若－≥，即a≤－1时，则f(x)在(0，上是减函数，应有f()≥0?－≤a≤－1；若－≤0，即a≥0时，则f(x)在0，上是增函数，应有f(0)＝1>0恒成立，故a≥0；若0≤－≤，即－1≤a≤0，则应有f(－)＝－＋1＝1－≥0恒成立，故－1≤a≤0；综上，有a≥－．法二：原不等式x2＋ax＋1≥0可化为a≥－(x＋)，设g(x)＝－(x＋)，因为g(x)在(0，内单调递增，所以g(x)在(0，内的最大值是g()＝－，要使不等式恒成立当且仅当a≥－．20.（本小题满分12分）已知数列的前项和满足：（为常数，且）．（1）求的通项公式；（2）设，若数列为等比数列，求的值；（3）在满足条件（2）的情形下，设，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．参考答案：解：（1）当时，，得．

当时，由，即，①得，，②①②，得，即，是等比数列，且公比是，．

（2）由（1）知，，即，若数列为等比数列，则有，而，故，解得，

再将代入，得，

由，知为等比数列，．

（3）由，知，，，

由不等式恒成立，得恒成立，设，由，当时，，当时，，

而，．略21.设常数R，函数．（1）当a＝1时，判断f(x)在(0，+∞)上单调性，并加以证明；（2）当a≥0时，研究f(x)的奇偶性，并说明理由；（3）当a≠0时，若存在区间[m，n](m＜n)使得f(x)在[m，n]上的值域为[，]，求实数a的取值范围．

参考答案：

解(1)时，且所以在上递减。---3分法二：，，所以在上递减。（2）时满足，为偶函数。----4分时定义域，且，为奇函数。-----6分时，定义域为因，定义域不关于原点对称----7分，因此既不是奇函数也不是偶函数。-----8分（3）①当时，在和上递减则两式相减得再代入得（*）此方程有解，如因此满足题意。----------11分②当时，在递增，有题意在上的值域为知即是方程的两根即方程有两不等实根，令即有两不等正根。--------13分即需------15分综上-----------------16分22.从某批次的灯泡中随机地抽取200个样品，对其使用寿命进行实验检测，将结果列成频率分布表如下．根据寿命将灯泡分成一等品、合格品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是一等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是合格品．寿命（天）频数频率[100，200）20a[200，300）300.15[300，400）b0.35[400，500）300.15[500，600）500.25合计2001（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a，b的值；（Ⅱ）从灯泡样品中随机地取n（n∈N*）个，如果这n个灯泡的等级分布情况恰好与从这200个样品中按三个等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值；（Ⅲ）从这200个样品中按三个等级分层抽样抽取8个灯泡，再从这8个中抽取2个进行检测，求这2个灯泡中恰好一个是合格品一个是次品的概率．参考答案：解：（Ⅰ）由频率分布表，得：a=1﹣0.15﹣0.35﹣0.15﹣0.25=0.1．b=200﹣20﹣30﹣30﹣50=70．（Ⅱ）由表可知：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个，∴优等品、正品和次品的比例为50：100：50=1：2：1．∴按分层抽样法，购买灯泡数n=k+2k+k=4k（k∈N*），∴n的最小值为4．（Ⅲ）利用分层抽样在200个样品中抽取8个灯泡，每个等级抽取的个数分别为：一等品的个数为，合格品的个数为，次品的个数为，所以从一等品、合格品、次品分别抽取2个，4个，2个．

设一等品的2个为A、B，合格品的4个为C1、C2、C3、C4，次品的2个为D、E，则从8个灯泡中随机抽取2个有：（A，B），（A，C1），（A，C2），（A，C3），（A，C4），（A，D），（A，E），（B，C1），（B，C2），（B，C3），（B，C4），（B，D），（B，E），（C1，C2），（C1，C3），（C1，C4），（C1，D），（C1，E），（C2，C3），（C2，C4），（C2，D），（C2，E），（C3，C4），（C3，D），（C3，E），（C4，D），（C4，E），（D，E），共28种可能．其中恰好一个是合格品一个是次品的有：（C1，D），（C1，E），（C2，D），（C2，E），（C3，D），（C3，E），（C4，D），（C4，E），共8种可能，所以P=．故恰好一个是合格品一个是次品的概率为考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布表．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由频率分布表，得频率之和为1，频数之和为200，由此能求出a和b．（Ⅱ）由表可知：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个，优等品、正品和次品的比例为50：100：50=1：2：1．由此按分层抽样法，能求出n的最小值．（Ⅲ）计算分层抽样的抽取比例，可得每组抽取个数；利用列举法写出从8个中随机抽取2个的所有基本事件，分别计算总个数与2个灯泡中恰好一个是合格品一个是次品的个数，根据古典概型概率公式计算．解答：解：（Ⅰ）由频率分布表，得：a=1﹣0.15﹣0.35﹣0.15﹣0.25=0.1．b=200﹣20﹣30﹣30﹣50=70．（Ⅱ）由表可知：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个，∴优等品、正品和次品的比例为50：100：50=1：2：1．∴按分层抽样法，购买灯泡数n=k+2k+k=4k（k∈N*），∴n的最小值为4．（Ⅲ）利用分层抽样在200个样品中抽取8个灯泡，每个等级抽取的个数分别为：一等品的个数为，合格品的个数为，次品的个数为，所以从一等品、合格品、次品分别抽取2个，4个，2个．

设一等品的2个为A、B，合格品的4个为C1、C2、C3、C4，次品的2个为D、E，则从8个灯泡中随机抽取2个有：（A，B），（A，C1），（A，C2），（A，C3），（A，C4），（A，D），（A，E），（B，C1），（B，C2）