2022年四川省遂宁市磨溪中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2022年四川省遂宁市磨溪中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设集合A={－1，0，1，2，3}，，则A∩B=A．{3} B．{2,3} C．{－1,3}

D．{0，1，2}参考答案：解：由中不等式变形得：，解得：或，即或，，0，1，2，，，，故选：．2.已知实数满足，则的取值范围是A．

B．

C．[3，11]

D．[1，11]

参考答案：B试题分析:①画可行域②明确目标函数几何意义，目标函数=1+2?，表示动点P（x，y）与定点M（﹣1，﹣1）连线斜率k的2倍③过M做直线与可行域相交可计算出直线PM斜率，从而得出所求目标函数范围．详解：目标函数目标函目标函数=1+2?，表示动点P（x，y）与定点M（﹣1，﹣1）连线斜率k的两倍加1，由图可知，当点P在A（0，4）点处时，k最大，最大值为：11；当点P在B（3，0）点处时，k最小，最小值为：；从而的取值范围是[，11]．故选：B．

3.已知,则（

）A． B． C． D．参考答案：【知识点】两角和与差的三角函数，三角函数的求值.C5【答案解析】C

解析：因为，所以，故选C.【思路点拨】根据两角和与差的三角函数，把所求用已知函数值的三角函数式表示即可.4.已知的终边在第一象限，则“”是“” （

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分与不必要条件参考答案：D5.设函数，若，则实数的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略6.函数图象如右图,则函数的单调递增区间为

A．

B.

C.

D.参考答案：C略7.《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】先算任取一卦的所有等可能结果，再算事件恰有2根阳线和1根阴线的基本事件，从而利用古典概型的概率求解计算.【详解】先算任取一卦的所有等可能结果共8卦，其中恰有2根阳线和1根阴线的基本事件有3卦，∴概率为.故选：C.【点睛】本题以数学文化为问题背景，考查古典概型，考查阅读理解能力.8.若P：2x＞1，Q：lgx＞0，则P是Q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据条件求出A，B，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．【解答】解：关于p：由2x＞1，解得：x＞0，关于q：由lgx＞0，解得：x＞1，令A={x}x＞0}，B={x|x＞1}，则B?A，即“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的关系的应用，比较基础．9.在平面直角坐标系xOy中,角与角均以Ox为始边,它们的终边关于x轴对称,若,则(

)A.1或

B.－1或

C.

D.参考答案：C10.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个设计几何体体积的问题．意思是如果两个等高的几何体在同高处处截得两几何体的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在同高处的截面面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由p?q，反之不成立．即可得出．【解答】解：由p?q，反之不成立．∴p是q的充分不必要条件．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

(2012·青岛模拟)已知函数y＝lg(4－x)的定义域为A，集合B＝{x|x＜a}，若P：“x∈A”是Q：“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围________．参考答案：(4，＋∞)12.若曲线表示双曲线，则的取值范围是

。参考答案：13.由正整数组成的一组数据，其平均数和中位数都是，且标准差等于，则这组数据为

.（从小到大排列）参考答案：不妨设，，依题意得，，即，所以则只能，，则这组数据为。14.若不等式对任意恒成立，则的取值范围是参考答案：解：因为，对任意恒成立，所以有15.某调查机构就某单位一千多名职工的月收入进行调查，现从中随机抽出100名，已知抽到的职工的月收入都在元之间，根据调查结果得出职工的月收入情况残缺的频率分布直方图如下图（图左）所示，则该单位职工的月收入的平均数大约是

元。参考答案：290016.在平面直角坐标系中，直线与圆相交于两点，则线段的长度为___________．参考答案：4略17.已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，且a1=2，an+1=3Sn+2(n∈N*)，则a5=

．参考答案：512【考点】等比数列的前n项和．【分析】根据来推知数列{an}的通项公式，进而求得a5=512．【解答】解：∵an+1=3Sn+2∴an=3Sn﹣1+2（n≥2），两式相减可得an+1﹣an=3an，∴=4（n≥2），由a1=2，a2=3a1+2=8，由等比数列的通项公式可得：an=2?4n﹣1．则a5=2?44=512．故答案是：512．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）

如图，已知圆，点，是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q。（1）求动点Q的轨迹的方程；（2）设直线与（1）中轨迹相交于A、B两点，直线OA，，OB的斜率分别为（其中），的面积为，以OA、OB为直径的圆的面积分别为，若恰好构成等比数列，求的取值范围。参考答案：（1）（2）【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线和圆的方程的应用．H4H8解析：（Ⅰ）连接QF，根据题意，|QP|=|QF|，则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4，故动点Q的轨迹Γ是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆．设其方程为，可知a=2，，则b=1，∴点Q的轨迹Γ的方程为为．（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，∴△=16（1+4k2﹣m2）＞0，x1+x2=﹣，x1x2=．∵k1，k，k2构成等比数列，∴k2=k1k2=，化为：km（x1+x2）+m2=0，∴+m2=0，解得k2=．∵k＞0，∴k=．此时△=16（2﹣m2）＞0，解得．又由A、O、B三点不共线得m≠0，从而．故S==|x1﹣x2|=|m|=，又，则S1+S2===+=为定值．∴=×，当且仅当m=±1时等号成立．综上：．【思路点拨】（Ⅰ）连接QF，根据题意，|QP|=|QF|，可|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4，故动点Q的轨迹Γ是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆．解出即可．（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．与椭圆的方程联立可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，利用根与系数的关系及其k1，k，k2构成等比数列，可得km（x1+x2）+m2=0，解得k2=，k=．利用△＞0，解得，且m≠0．利用S==|x1﹣x2|=，又，可得S1+S2==为定值．代入利用基本不等式的性质即可得出的取值范围．19.（本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知动点到点和直线的距离相等.（1）求动点的轨迹方程；（2）记点，若，求△的面积.参考答案：【解】（1）由题意可知，动点的轨迹为抛物线，其焦点为，准线为设方程为，其中，即……2分所以动点的轨迹方程为……2分（2）过作，垂足为,根据抛物线定义，可得……2分

由于，所以是等腰直角三角形………2分

其中…………2分所以…………2分20.（本小题满分16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm.现有一根玻璃棒l，其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度.

参考答案：解:（1）由正棱柱的定义，平面，所以平面平面，.记玻璃棒的另一端落在上点处.因为，所以，从而 ，记与水面的焦点为,过作P1Q1⊥AC,Q1为垂足，则P1Q1⊥平面ABCD，故P1Q1=12，从而AP1=.答：玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm) （2）如图，O，O1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义，OO1⊥平面EFGH，所以平面E1EGG1⊥平面EFGH，O1O⊥EG.同理，平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1，O1O⊥E1G1.记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处.过G作GK⊥E1G，K为垂足，则GK=OO1=32.因为EG=14，E1G1=62，所以KG1=，从而.设则.因为，所以.在中，由正弦定理可得，解得.因为，所以.于是.记EN与水面的交点为P2，过P2作P2Q2⊥EG，Q2为垂足，则P2Q2⊥平面EFGH，故P2Q2=12，从而EP2=.答:玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)21.已知：直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O于A、F（不与B重合），直线l与⊙O相切于C，交AB于E，且与AF垂直，垂足为G，连接AC．（1）求证：∠BAC=∠CAG；（2）求证：AC2=AE?AF．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段．【专题】证明题；立体几何．分析：（1）连接BC，根据AB为⊙O的直径得到∠ECB与∠ACG互余，根据弦切角得到∠ECB=∠BAC，得到∠BAC与∠ACG互余，再根据∠CAG与∠ACG互余，得到∠BAC=∠CAG；（2）连接CF，利用弦切角结合（1）的结论，可得∠GCF=∠ECB，再用外角进行等量代换，得到∠AFC=∠ACE，结合∠FAC=∠CAE得到△FAC∽△CAE，从而得到AC是AE、AF的比例中项，从而得到AC2=AE?AF．证明：（1）连接BC，∵AB为⊙O的直径…∴∠ACB=90°?∠ECB+∠ACG=90°…∵GC与⊙O相切于C，∴∠ECB=∠BAC∴∠BAC+∠ACG=90°…又∵AG⊥CG?∠CAG+∠ACG=90°∴∠BAC=∠CAG…（2）由（1）可知∠EAC=∠CAF，连接CF∵GE与⊙O相切于C，∴∠GCF=∠CAF=∠BAC=∠ECB∵∠AFC=∠GCF+90°，∠ACE=∠ECB+90°∴∠AFC=∠ACE…∵∠FAC=∠CAE∴△FAC∽△CAE…∴∴AC2=AE?AF…【点评】本题综合考查了弦切角、三角形的外角定理和相似三角形的性质等知识点，属于中档题．解题时要注意充分利用互余的角和弦切角进行等量代换，方可得到相似三角形．22.已知数列{an}中，a1=a，a2=t（常数t＞0），Sn是其前n项和，且Sn=．（I）试确定数列{an}是否为等差数列，若是，求出其通项公式；若不是，说明理由；（Ⅱ）令bn=．参考答案：【考点】数列的求和．【分析】（I）由Sn=，当n=1时，a1=S1=0，可得a=0，，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1化为（n﹣2）an=（n﹣1）an﹣1，当n≥3时，利用“累乘求积”an=?…?=?…??t．可得数列{an}是等差数列，其通项公式为an=（n﹣1）t．（II）由（I）可得Sn=，可得bn=+=2+