人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件

2.2第1课时等差数列的概念与通项公式2.2第2课时等差数列的性质2.5第1课时等比数列的前n项和2.5第2课时数列求和2.1数列的概念与简单表示法2.3等差数列的前n项和2.4等比数列第二章数列2.2第1课时等差数列的概念与通项公式2.2第2课时目标定位重点难点1.通过实例，了解数列的概念．2．理解数列的顺序性，感受数列是刻画自然规律的数学模型，了解数列的几种分类．3．了解数列的表示方法，理解递推公式的含义，能够根据递推公式写出数列前几项.重点：数列的表示方法．难点：递推公式的含义.目标定位重点难点1.通过实例，了解数列的概念．重点：数列的表1．数列的概念(1)定义：按照一定______排列着的一列数称为数列．(2)项：数列中的____________叫做这个数列的项．a1称为数列{an}的第1项(或称为______)，a2称为第2项，…，an称为第n项．(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为______．顺序每一个数首项{an}1．数列的概念顺序每一个数首项{an}2．数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数________的数列无穷数列项数________的数列按项的变化趋势递增数列从第____项起，每一项都______它的前一项的数列递减数列从第____项起，每一项都______它的前一项的数列常数列________的数列摆动数列从第____项起，有些项______它的前一项，有些项______它的前一项的数列有限无限2大于2小于各项相等2大于小于2．数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数__3．数列的通项公式如果数列{an}的第n项与________之间的关系可以用__________来表示，那么就把这个式子叫做这个数列的通项公式．4．数列的递推关系式如果已知数列{an}的________(或前几项)且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的______________(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．序号n一个式子第一项前一项an－13．数列的通项公式序号n一个式子第一项前一项an－11．下列有关数列的说法正确的是(

)①同一数列的任意两项均不可能相同；②数列－1,0,1与数列1,0，－1是同一个数列；③数列中的每一项都与它的序号有关．A．①②

B．①③

C．②③

D．③【答案】D1．下列有关数列的说法正确的是()2．下面四个结论：①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集{1,2,3…，n})上的函数．②数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点．③数列的项数是无限的．④数列通项的表示式是唯一的．其中正确的是(

)A．①②

B．①②③C．②③

D．①②③④【答案】A2．下面四个结论：3．已知an＝n(n＋1)，以下四个数中，哪个是数列{an}中的一项(

)A．18

B．21

C．25

D．30【答案】D3．已知an＝n(n＋1)，以下四个数中，哪个是数列{an}探求数列的通项公式探求数列的通项公式【解题探究】这样的问题需要由特殊到一般进行归纳，认真观察，深入分析内在规律，如：什么在变，什么不变，尤其是变化的量与相应的项数n有何关系，有时也可以以一些简单的数列为依据．【解题探究】这样的问题需要由特殊到一般进行归纳，认真观察，深人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件【方法规律】已知数列的前几项求通项公式，主要从以下几个方面来考虑：(1)负号用(－1)n与(－1)n＋1或(－1)n－1来调节，这是因为n和n＋1奇偶交错；(2)分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系；(3)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列(后面专门学习)和其他方法解决；(4)此类问题虽无固定模式，但也有其规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差或等比数列)等方法．【方法规律】已知数列的前几项求通项公式，主要从以下几个方面来人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件【例2】已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.(1)写出数列的第4项和第6项；(2)－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由．【解析】(1)∵an＝3n2－28n，∴a4＝3×42－28×4＝－64，a6＝3×62－28×6＝－60.数列通项公式的应用【例2】已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件【方法规律】通项公式的简单应用主要包括的两个方面：(1)由通项公式写出数列的前几项．主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值；(2)判断一个数是否为该数列中的项．可由通项公式等于这个数解出n，根据n是否有正整数解便可确定这个数是否为数列中的项．【方法规律】通项公式的简单应用主要包括的两个方面：人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件【解题探究】将已知等式左边分解因式，以便找出前后项的明显关系．数列的递推公式【解题探究】将已知等式左边分解因式，以便找出前后项的明显关系人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件【规律总结】由递推关系式an＝f(n)an－1求数列的通项公式时一般采用累乘法．除此外，还应注意原递推公式变形后的数列是否为某个特殊数列．周期数列问题是数列中的一种重要题型，其周期性往往隐藏于数列的递推关系中，解决的关键在于利用递推公式算出若干项或由递推公式发现规律，得出周期而得解．【规律总结】由递推关系式an＝f(n)an－1求数列的通项公人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件【示例】已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，求该数列中数值最大的项．忽视了数列中自变量n只能是正整数而致错【示例】已知数列{an}的通项公式为an＝－2n2＋21n，人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件【警示】应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，对错误命题的判断只需举一反例即可．人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件1．判断两个数列是否为相同的数列，主要看顺序和项是否相同．2．通项公式如果已知一个数列的通项公式，只要用序号代替公式中的n就可以求出数列中的指定项，如果给出数列中的前几项，也可发现序号、项之间的一种关系，一个数列依据前几项归纳出的通项公式只适合前几项，对后面省略的项是否成立，并不知道．注意：一个数列的通项公式并不一定唯一，甚至有些数列不存在通项公式．1．判断两个数列是否为相同的数列，主要看顺序和项是否相同．3．递推公式递推公式是表示数列的一种重要方法，是指已知数列{an}的第一项(或前几项)及相邻两项(或几项)间关系可以用一个公式来表示，这个公式也就是递推公式，其关键是先求出a1或a2，然后用递推关系逐一写出数列中的各项．注意：并不是所有数列都有递推公式，即使有些数列存在递推公式，递推公式也不一定唯一．特别是依据数列前几项寻求递推关系，递推公式可能不止一个．3．递推公式1．数列1，－3,5，－7,9，…的一个通项公式an为(

)A．an＝2n－1 B．an＝(－1)n(1－2n)C．an＝(－1)n(2n－1)

D．an＝(－1)n(2n＋1)【答案】B【解析】当n＝1时，a1＝1，排除C，D；当n＝2时，a2＝－3，排除A．故选B．1．数列1，－3,5，－7,9，…的一个通项公式an为(人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件【答案】－1

【答案】－12.2等差数列第1课时等差数列的概念与通项公式2.2等差数列第1课时等差数列的概念与通项公式目标定位重点难点1.通过实例，理解等差数列的概念，能根据等差数列的定义判断一个数列是否是等差数列．2．掌握等差数列的通项公式及变形公式.重点：理解等差数列的概念，能根据等差数列的定义判断一个数列是否是等差数列．难点：等差数列通项公式的应用.目标定位重点难点1.通过实例，理解等差数列的概念，能根据等差1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于________常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的__________，通常用字母________表示．2．等差中项如果三个数a，A，b成等差数列，那么________叫做a与b的等差中项．这三个数满足的关系式是_____________．同一个公差dA

1．等差数列的定义同一个公差dA3．等差数列的通项公式以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式为an＝_____________.特别注意：(1)公式中有四个量，即an，a1，n，d.已知其中任意三个量，通过解方程都可求得剩下的一个量．(2)等差数列的通项公式可推广为an＝am＋(n－m)d(n≥m，m，n∈N*)．由此可知已知等差数列的任意两项，就可求出其他的任意一项．a1＋(n－1)d

3．等差数列的通项公式a1＋(n－1)d1．已知数列3,9,15，…，3(2n－1)，…，那么81是它的(

)A．第12项 B．第13项C．第14项 D．第15项【答案】C1．已知数列3,9,15，…，3(2n－1)，…，那么81是2．若数列{an}的通项公式为an＝－n＋5，则此数列是(

)A．公差为－1的等差数列B．公差为5的等差数列C．首项为5的等差数列D．公差为n的等差数列【答案】A2．若数列{an}的通项公式为an＝－n＋5，则此数列是(3．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，它的项数是(

)A．92

B．47

C．46

D．45【答案】C4．在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7，则a5＝________.【答案】103．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，它的项数是(【例1】判断下列数列是否为等差数列．(1)在数列{an}中an＝3n＋2；(2)在数列{an}中an＝n2＋n.【解析】(1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)．由n的任意性知，这个数列为等差数列．(2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，所以这个数列不是等差数列．等差数列的定义及判定【例1】判断下列数列是否为等差数列．等差数列的定义及判定【方法规律】定义法是判定(或证明)数列{an}是等差数列的基本方法，其步骤为：(1)作差an＋1－an；(2)对差式进行变形；(3)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当an＋1－an不是常数，是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列．【方法规律】定义法是判定(或证明)数列{an}是等差数列的基

已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，数列{bn}中，bn＝3an＋4，问：数列{bn}是否为等差数列？并说明理由．【解析】数列{bn}是等差数列．理由：∵数列{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，∴an＋1－an＝d(n∈N*)．∴bn＋1－bn＝(3an＋1＋4)－(3an＋4)＝3(an＋1－an)＝3d.∴根据等差数列的定义，数列{bn}是等差数列． 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，数列{bn}中【解题探究】运用等差数列的通项公式及解方程组的方法求解．等差数列的通项公式【解题探究】运用等差数列的通项公式及解方程组的方法求解．等差人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件【解题探究】由于所求证的是三个数成等差数列，所以可用等差中项来证明．等差数列的证明【解题探究】由于所求证的是三个数成等差数列，所以可用等差中项人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件【方法规律】证明一个数列是等差数列常用的方法有：(1)定义法，即证an＋1－an＝常数；(2)利用等差中项的概念来进行判定，即证2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．【方法规律】证明一个数列是等差数列常用的方法有：(1)定义法人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件构造法解题构造法解题人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件1．对于等差数列定义的理解要注意：(1)“从第2项起”也就是说等差数列中至少含有三项；(2)“每一项与它的前一项的差”不可理解为“每相邻两项的差”；(3)“同一个常数d”，d是等差数列的公差，即d＝an－an－1，d可以为零，当d＝0时，等差数列为常数列，也就是说，常数列是特殊的等差数列；(4)等差数列的定义是判断、证明一个数列为等差数列的重要依据，即an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列．1．对于等差数列定义的理解要注意：2．在一个等差数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项，即2an＝an－1＋an＋1.实际上，等差数列中的某一项是与其等距离的前后两项的等差中项，即2an＝an－m＋an＋m(m，n∈N*，m＜n)．人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件1．在等差数列{an}中，a3＋a7－a10＝－1，a11－a4＝21，则a7＝(

)A．7

B．10

C．20

D．30【答案】C【解析】设等差数列{an}的公差为d，a3＋a7－a10＝－1，a11－a4＝21，∴a1－d＝－1,7d＝21，解得d＝3，a1＝2.则a7＝2＋6×3＝20.故选C．1．在等差数列{an}中，a3＋a7－a10＝－1，a11－2．如果三个数2a,3，a－6成等差数列，则a的值为(

)A．－1

B．1

C．3

D．4【答案】D【解析】∵三个数2a,3，a－6成等差数列，∴2a＋a－6＝6，解得a＝4.故选D．人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件3．若{an}是公差为1的等差数列，则{a2n－1＋2a2n}是(

)A．公差为3的等差数列 B．公差为4的等差数列C．公差为6的等差数列 D．公差为9的等差数列【答案】C

【解析】令bn＝a2n－1＋2a2n，则bn＋1＝a2n＋1＋2a2n＋2，∴bn＋1－bn＝a2n＋1＋2a2n＋2－(a2n－1＋2a2n)＝(a2n＋1－a2n－1)＋2(a2n＋2－a2n)＝2d＋4d＝6d＝6×1＝6.故选C．人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件4．(2019年贵州遵义期末)已知在数列{an}中，a1＝－1，an＋1·an＝an＋1－an，则数列通项an＝________.4．(2019年贵州遵义期末)已知在数列{an}中，a1＝－2.2等差数列第2课时等差数列的性质2.2等差数列第2课时等差数列的性质目标定位重点难点1.掌握等差数列的定义和通项公式．2．探索发现等差数列的性质，并能应用性质灵活地解决一些实际问题.重点：等差数列的性质．难点：等差数列性质的应用.目标定位重点难点1.掌握等差数列的定义和通项公式．重点：等差1．等差数列{an}的一些简单性质(1)对于任意正整数n，m都有an－am＝________.(2)对任意正整数p，q，r，s，若p＋q＝r＋s，则ap＋aq____ar＋as.特别地对任意正整数p，q，r，若p＋q＝2r，则ap＋aq＝______.(3)对于任意非零常数b，若数列{an}成等差数列，公差为d，则{ban}也成等差数列且公差为______．(n－m)d＝2arbd1．等差数列{an}的一些简单性质(n－m)d＝2arbd(4)若{an}与{bn}都是等差数列，cn＝an＋bn，dn＝an－bn，则{cn}，{dn}都是__________．(5)等差数列{an}的等间隔的项按原顺序构成的数列仍成等差数列．如a1，a4，a7，…，a3n－2，…成等差数列．2．等差数列的单调性等差数列{an}的公差为d，则当d＝0时，等差数列{an}是常数列；当d＜0时，等差数列{an}是单调递减数列；当d＞0时，等差数列{an}是单调递增数列．等差数列(4)若{an}与{bn}都是等差数列，cn＝an＋bn，d人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件2．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a10＝(

)A．12

B．16

C．20

D．24【答案】B【解析】因为数列{an}是等差数列，所以a2＋a10＝a4＋a8＝16.2．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则a2＋a13．已知数列{an}中，a5＝10，a12＝31，则其公差d＝______.【答案】33．已知数列{an}中，a5＝10，a12＝31，则其公差d4．在等差数列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，则2a9－a10的值为________．【答案】30【解析】∵a2＋a14＝2a8，∴a2＋2a8＋a14＝4a8＝120，∴a8＝30.∴2a9－a10＝(a8＋a10)－a10＝a8＝30.4．在等差数列{an}中，已知a2＋2a8＋a14＝120，【例1】在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝(

)A．－1

B．0

C．1

D．6【解题探究】注意等差数列通项公式及性质的应用．【答案】B利用等差数列的通项公式或性质解题【例1】在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6【解析】方法一：设公差为d，∵a4＝a2＋2d，即2＝4＋2d，∴d＝－1，∴a6＝a2＋4d＝0.方法二：由等差数列的性质可知a2，a4，a6成等差数列，所以2a4＝a2＋a6，即a6＝2a4－a2＝0.【方法规律】等差数列的性质：对任意正整数p，q，r，s，若p＋q＝r＋s，则ap＋aq＝ar＋as.在牢记等差数列的通项公式时，灵活运用等差数列的性质，在解题过程中可以达到避繁就简的目的．【解析】方法一：设公差为d，∵a4＝a2＋2d，即2＝4＋2

在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋a13＝118，则a4＋a10＝(

)A．45 B．50C．75 D．60【答案】B【解析】∵a1＋a2＋a3＝3a2＝32，a11＋a12＋a13＝3a12＝118，∴3(a2＋a12)＝150，即a2＋a12＝50.∴a4＋a10＝a2＋a12＝50.故选B． 在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝32，a11＋a【例2】

(1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数．(2)四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．【解题探究】此题考查了等差数列的性质，熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键．灵活设元求解等差数列【例2】(1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件【方法规律】常见设元技巧：(1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为a－d，a＋d，公差为2d；(2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为a－d，a，a＋d，公差为d；(3)四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差为2d.【方法规律】常见设元技巧：

已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列． 已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为【例3】某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？【解题探究】在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键量．等差数列的实际应用【例3】某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第【解析】由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则an－an－1＝－20(n≥2，n∈N*)，每年获利构成等差数列{an}且首项a1＝200，公差d＝－20，所以an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝－20n＋220.若an＜0，则该公司经销这一产品将亏损，由an＝－20n＋220＜0，解得n＞11，即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损．【解析】由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则【方法规律】在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．【方法规律】在实际问题中，若涉及一组与顺序有关的数的问题，可人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件【示例】已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d且a11＝－26，a51＝54，则该数列从第几项开始为正数？忽略了对“从第几项开始为正数”的理解而致错【示例】已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d且a11＝【错因】错解的原因是忽略了对“从第几项开始为正数”的理解，而当n＝24时，a24＝0.【错因】错解的原因是忽略了对“从第几项开始为正数”的理解，而1．利用通项公式时，如果只有一个等式条件，可通过消元把所有的量用同一个量表示．2．若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq.对于此性质，应注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立．例如，a15≠a7＋a8，但a6＋a9＝a7＋a8；a1＋a21≠a22，但a1＋a21＝2a11.1．利用通项公式时，如果只有一个等式条件，可通过消元把所有的1．等差数列{an}中，a6＋a9＝16，a4＝1，则a11＝(

)A．64

B．30

C．31

D．15【答案】D【解析】∵6＋9＝4＋11，∴a4＋a11＝a6＋a9＝16，∴a11＝15.1．等差数列{an}中，a6＋a9＝16，a4＝1，则a112．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝(

)A．14

B．21

C．28

D．35【答案】C【解析】∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4.∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.2．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a13．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有(

)A．a1＋a101＞0 B．a2＋a100＜0C．a3＋a100≤0 D．a51＝0【答案】D【解析】由题设a1＋a2＋a3＋…＋a101＝101a51＝0，∴a51＝0.3．已知等差数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件2.3等差数列的前n项和2.3等差数列的前n项和目标定位重点难点1.体会等差数列前n项和公式的推导过程．2．掌握等差数列前n项和公式，会应用公式解决实际问题．3．熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中的三个求另外两个.重点：等差数列前n项和公式．难点：等差数列前n项和公式的应用.目标定位重点难点1.体会等差数列前n项和公式的推导过程．重点1．数列的前n项和对于数列{an}，一般地称a1＋a2＋a3＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝__________________.2．等差数列{an}的前n项和设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝____________＝_______________.a1＋a2＋…＋an

1．数列的前n项和a1＋a2＋…＋an1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a8＝6＋a11，则S9的值等于(

)A．54

B．45

C．36

D．27【答案】A1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a8＝6＋a11人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件3．(2019年安徽合肥模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a8＝1，S16＝0，当Sn取最大值时n的值为(

)A．7

B．8

C．9

D．10【答案】B

3．(2019年安徽合肥模拟)已知等差数列{an}的前n项和4．(2019年山东泰安校级月考)在等差数列{an}中，已知a2＋a7＝18，则S8等于________．【答案】72

4．(2019年山东泰安校级月考)在等差数列{an}中，已知【解题探究】合理地使用前n项和公式，注意其变形，应用方程的思想．有关等差数列的前n项和的基本运算【解题探究】合理地使用前n项和公式，注意其变形，应用方程的思人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件【方法规律】a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解．这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．【方法规律】a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件【例2】等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝84，S20＝460，求S28.【解题探究】(1)应用基本量法列出关于a1和d的方程组，解出a1和d，进而求得S28；(2)因为数列不是常数列，因此Sn是关于n的一元二次函数且常数项为零，设Sn＝an2＋bn，代入条件S12＝84，S20＝460，可得a，b，则可求S28.等差数列前n项和公式的灵活运用【例2】等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝84，人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件

已知{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，则a5＋b6＝______.【答案】21

【解析】∵{an}，{bn}都是等差数列，∴2a3＝a1＋a5,2b8＝b10＋b6.∴2(a3＋b8)＝(a1＋b10)＋(a5＋b6)，即2×15＝9＋(a5＋b6)，解得a5＋b6＝21. 已知{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b10＝9，a等差数列前n项和性质的应用等差数列前n项和性质的应用人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件【规律总结】求解等差数列的有关问题时，注意利用等差数列的性质以简化运算过程．【规律总结】求解等差数列的有关问题时，注意利用等差数列的性质人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件【例4】在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求前n项和Sn的最大值．等差数列前n项和的最值【例4】在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件

已知{an}是一个等差数列且a2＝1，a5＝－5.(1)求{an}的通项an；(2)求{an}前n项和Sn的最大值． 已知{an}是一个等差数列且a2＝1，a5＝－5.【示例】在等差数列{an}中，已知a1＝－60，a11＝－30，求数列{|an|}的前n项和．思路点拨：本题实际上是求数列{an}各项绝对值的和．由已知求得通项an后，可解an＜0(或an＞0)来确定这个数列从首项起共有多少项是负数，然后分段求出前n项绝对值的和．【示例】在等差数列{an}中，已知a1＝－60，a11＝－3人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件解后反思：(1)已知数列{an}，求数列{|an|}的前n项和，关键是分清n取什么值时an＞0或an＜0.(2)在求{|an|}的前n项和时，要充分利用{an}的前n项和公式，这样可简化解题过程．(3)当所求的前n项和的表达式需分情况讨论时，其结果应用分段函数表示．解后反思：(1)已知数列{an}，求数列{|an|}的前n项1．等差数列前n项和公式的特点(1)两个公式共涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，通项及前n项和；(2)当已知首项、末项和项数时，用前一个公式较为简便；当已知首项、公差和项数时，用后一个公式较好．1．等差数列前n项和公式的特点人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件1．若等差数列{an}的前5项和S5＝25且a2＝3，则a7等于(

)A．12

B．13

C．14

D．15【答案】B【解析】由S5＝5a3＝25，∴a3＝5.∴d＝a3－a2＝5－3＝2.∴a7＝a2＋5d＝3＋10＝13.1．若等差数列{an}的前5项和S5＝25且a2＝3，则a72．在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若a3＋a4＋a8＝25，则S9＝(

)A．60

B．75

C．90

D．105【答案】B2．在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若a3＋a4＋a3．已知数列的通项公式an＝－5n＋2，则其前n项和Sn＝________.3．已知数列的通项公式an＝－5n＋2，则其前n项和Sn＝_4．(2019年湖北武汉期末)已知数列{an}是等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，{an}的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大的n等于________．【答案】20

【解析】a1＋a3＋a5＝105⇒a3＝35，a2＋a4＋a6＝99⇒a4＝33，则{an}的公差d＝33－35＝－2，a1＝a3－2d＝39，Sn＝－n2＋40n，因此当Sn取得最大值时，n＝20.人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件2.4等比数列第1课时等比数列(一)2.4等比数列第1课时等比数列(一)目标定位重点难点1.理解等比数列的定义，能用定义判定一个数列是否为等比数列．2．掌握等比数列的通项公式，体会它与指数函数的关系．3．掌握等比中项的定义，能用等比中项的定义解决问题.重点：等比数列的定义、等比数列的通项公式．难点：等比数列的通项公式的应用.目标定位重点难点1.理解等比数列的定义，能用定义判定一个数列1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于__________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母________表示(q≠0)．同一常数公比q

等比数列1．等比数列的定义同一常数公比q等比数列3．等比数列的通项公式等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为：an＝________.a1qn－1

a1qn－1【答案】C【答案】C【答案】B【答案】B3．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝(

)A．64

B．81

C．128

D．243【答案】A【解析】∵{an}是等比数列，a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，∴设等比数列的公比为q，则a2＋a3＝(a1＋a2)q＝3q＝6，∴q＝2.∴a1＋a2＝a1＋a1q＝3a1＝3，∴a1＝1.∴a7＝a1q6＝26＝64.3．已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，4．已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(

)A．21

B．42

C．63

D．84【答案】B

【解析】∵a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21，∴1＋q2＋q4＝7，解得q2＝2或q2＝－3(舍去)．∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件【例1】在等比数列{an}中，已知a3＝9，a6＝243，求a5.等比数列通项公式【例1】在等比数列{an}中，已知a3＝9，a6＝243，【方法规律】a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．关于a1和q的求法通常有两种方法：(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法；(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．【方法规律】a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量

已知等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an. 已知等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3【例2】已知等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项．等比中项的应用【例2】已知等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件【方法规律】本题要注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为相反数，而异号的两个数没有等比中项．【方法规律】本题要注意同号的两个数的等比中项有两个，它们互为

等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列{an}的前10项之和是(

)A．90

B．100

C．145

D．190【答案】B 等差数列{an}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a【例3】已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N*)．(1)求证：{bn}是等比数列；(2)求{an}的通项公式．等比数列的判定【例3】已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件【分析】求{an}的通项公式可考虑构造辅助数列的方法．构造等比数列的技巧【分析】求{an}的通项公式可考虑构造辅助数列的方法．构造等人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件3．在等比数列{an}中，(1)a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3；(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，求an.3．在等比数列{an}中，人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件2.4等比数列第2课时等比数列(二)2.4等比数列第2课时等比数列(二)目标定位重点难点1.结合等差数列的性质，类比出等比数列的性质．2．理解等比数列的性质．3．掌握等比数列的性质并能综合应用.重点：等比数列的性质．难点：等比数列性质的综合应用.目标定位重点难点1.结合等差数列的性质，类比出等比数列的性质qn－mam·anqn－mam·an性质4在等比数列{an}中距首末两端等距离的两项的积相等，即a1an＝a2an－1＝a3an－2＝…性质5在等比数列{an}中，序号成等差数列的项仍成等比数列性质4在等比数列{an}中距首末两端等距离的两项的积相等，即人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件【答案】C

【解析】a5＋a6＝a1q4＋a1q5＝q4(a1＋a2)＝48，又a1＋a2＝3，∴q4＝16.则a9＋a10＝q8(a1＋a2)＝256×3＝768.故选C．【答案】C人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件4．已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足：a1＋b1＝3，a2＋b2＝7，a3＋b3＝15，a4＋b4＝35，则an＋bn＝______(n∈N*)．【答案】3n－1＋2n

【解析】∵a1＋b1＝3， ①a2＋b2＝a1＋d＋b1q＝7， ②a3＋b3＝a1＋2d＋b1q2＝15， ③a4＋b4＝a1＋3d＋b1q3＝35， ④人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件②－①得，4－d＝b1(q－1)，③－②得，8－d＝b1q(q－1)，④－③得，20－d＝b1q2(q－1)，解方程得d＝2，q＝3，b1＝1，a1＝2，∴an＋bn＝3n－1＋2n.人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件【例1】在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124且公比为整数，求a10.【解题探究】利用若m＋n＝k＋l，则aman＝akal解题．

等比数列性质的应用【例1】在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件【方法规律】在等比数列的基本运算问题中，一般是列出a1，q满足的方程组，再求解方程组，但有时运算量较大，如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题速度，要注意挖掘已知和隐含的条件．【方法规律】在等比数列的基本运算问题中，一般是列出a1，q满

各项为正数的等比数列{an}中，a4·a7＝8，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a10＝(

)A．5

B．10

C．15

D．20【答案】C【解析】由等比数列的性质，得a1a10＝a2a9＝…＝a4a7＝…＝8，∴log2a1＋log2a2＋…＋log2a10＝log2(a1·a2·…·a10)＝log285＝15.故选C． 各项为正数的等比数列{an}中，a4·a7＝8，则log2【例2】已知四个数前三个成等差数列，后三个成等比数列，中间两数之积为16，首尾两数之积为－128，求这四个数．【解题探究】求四个数，给出四个条件，若列四个方程组成方程组虽可解，但较麻烦，因此可依据条件减少未知数的个数．设未知数时，可以根据前三个数成等差数列来设，也可以依据后三个数成等比数列来设，还可以依据中间(或首尾)两数之积来设，关键是要把握住未知量要尽量少，下一步运算要简捷．对称法设未知项【例2】已知四个数前三个成等差数列，后三个成等比数列，中间人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件

三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1,3,9，就成为等比数列，求此三个数． 三个正数成等差数列，它们的和等于15，如果它们分别加上1,【例3】

(2019年上海期末)某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为b人，以后学生人数的年增长率为4.9‰.该校今年年初有旧实验设备a套，其中需要换掉的旧设备占了一半．学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备，同时每年淘汰x套旧设备．(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧设备是多少套？(2)依照(1)的更换速度，共需多少年能更换所有需要更换的旧设备？等比数列的实际应用【例3】(2019年上海期末)某校为扩大教学规模，从今年起【解析】(1)今年学生人数为b人，则10年后学生人数为b(1＋4.9‰)10≈1.05b.1年后的设备为a×(1＋10%)－x＝1.1a－x，2年后的设备为(1.1a－x)×(1＋10%)－x＝1.12a－1.1x－x＝1.12a－x(1＋1.1)，【解析】(1)今年学生人数为b人，则10年后学生人数为b(1人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件【方法规律】数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：(1)构造数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；(2)通过归纳得到结论，再用数列知识求解．【方法规律】数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件

一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2kB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后________分钟，该病毒占据内存64MB(1MB＝210kB)．【答案】45【解析】由题意可得每3分钟病毒占的内存容量构成一个等比数列，令病毒占据64MB时自身复制了n次，即2×2n＝64×210＝216，解得n＝15，从而复制的时间为15×3＝45分钟． 一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2kB，然后每3【示例】在1和4之间插入三个数，使这五个数成等比数列，求插入的这三个数的乘积．利用等比中项性质时忽视符号判断【示例】在1和4之间插入三个数，使这五个数成等比数列，求插入【错因分析】该解法没有正确判断a3的符号，在求等比数列的各项时，要注意正负号的选择．【错因分析】该解法没有正确判断a3的符号，在求等比数列的各项人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(

)A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列【答案】D

【解析】由等比数列的性质得a3·a9＝a≠0，∴a3，a6，a9一定成等比数列．故选D．1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是()2．设由正数组成的等比数列公比q＝2且a1a2…a30＝230，则a3a6a9…a30等于(

)A．210

B．215

C．216

D．220【答案】D2．设由正数组成的等比数列公比q＝2且a1a2…a30＝233．一个等比数列的前3项的积为2，后三项的积为4且所有项的积为64，则该数列共有(

)A．6项 B．8项C．10项 D．12项【答案】D3．一个等比数列的前3项的积为2，后三项的积为4且所有项的积4．已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25且a1，a11，a13成等比数列，则a1＋a4＋a7＋…＋a28＝________.【答案】－204．已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25且a1，a12.5等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和2.5等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和目标定位重点难点1.理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导过程．2．能够应用前n项和公式解决等比数列有关问题.重点：等比数列的前n项和公式．难点：能够应用前n项和公式解决等比数列有关问题.目标定位重点难点1.理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导过等比数列前n项和公式等比数列{an}的前n项和为Sn，当公比q≠1时，Sn＝________＝________；当q＝1时，Sn＝________.na1

等比数列前n项和公式na1【答案】B【答案】B2．等比数列{an}的前n项和Sn＝3n＋a，则a的值为(

)A．3

B．0

C．－1

D．任意实数【答案】C人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件基本运算基本运算人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件【方法规律】在等比数列{an}的五个基本量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，在条件与结论间的联系不明显时，均可以列方程组求解．【方法规律】在等比数列{an}的五个基本量a1，q，an，n

正项等比数列{an}中，a2＝4，a4＝16，则数列{an}的前9项和等于________．【答案】1022

正项等比数列{an}中，a2＝4，a4＝16，则数列{an【例2】设{an}是任意等比数列，它的前n项和、前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是(

)A．X＋Z＝2Y B．Y(Y－X)＝Z(Z－X)C．Y2＝XZ D．Y(Y－X)＝X(Z－X)【答案】D等比数列前n项和的性质【例2】设{an}是任意等比数列，它的前n项和、前2n项和【解析】由题意知Sn＝X，S2n＝Y，S3n＝Z，又{an}是等比数列，∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n为等比数列，即X，Y－X，Z－Y为等比数列，∴(Y－X)2＝X(Z－Y)，整理得Y2－XY＝ZX－X2，即Y(Y－X)＝X(Z－X)．故选D．人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件【方法规律】等比数列前n项和的性质是在等比数列的通项公式、前n项和公式及等比数列的性质的基础上推得的，因而利用有关性质可以简化计算，但通项公式、前n项和公式仍是解答等比数列问题最基本的方法．【方法规律】等比数列前n项和的性质是在等比数列的通项公式、前人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件前n项和公式的应用前n项和公式的应用人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件【方法规律】等比数列的定义、通项公式及前n项和公式经常融进各类题型中，应熟练掌握，灵活应用．【方法规律】等比数列的定义、通项公式及前n项和公式经常融进各人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件【示例】以数列{an}的任意相邻两项为横、纵坐标的点Pn(an，an＋1)(n∈N*)均在一次函数y＝2x＋k的图象上，数列{bn}满足bn＝an＋1－an(n∈N*)且b1≠0.(1)求证：数列{bn}是等比数列；(2)设数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若S6＝T4，S5＝－9，求k的值．数列与函数的综合应用【示例】以数列{an}的任意相邻两项为横、纵坐标的点Pn(a【分析】(1)本题考查等比数列与函数知识．由点Pn(an，an＋1)在一次函数y＝2x＋k的图象上，结合bn＝an＋1－an，求出bn与bn＋1之间的关系；(2)利用(1)中得到的结论求出Sn，Tn及其关系后利用S6＝T4，S5＝－9，求k的值．【分析】(1)本题考查等比数列与函数知识．由点Pn(an，a人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件前n项和公式及应用(1)在等比数列中的五个量Sn，n，a1，q，an中，由前n项和公式结合通项公式，知道三个量便可求其余的两个量，同时还可利用前n项和公式解与之有关的实际问题；(2)在解题过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的应用，同时要注意在使用等比数列前n项和公式时，务必考虑公比q是否等于1，从而选择恰当的公式求解，特别是公比是字母时，要讨论．前n项和公式及应用【答案】D

【答案】D【答案】C【解析】a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，等式两边分别相减得a4－a3＝3a3即a4＝4a3，∴q＝4.【答案】C3．若等比数列{an}的前n项和Sn＝a·3n－2，则a2＝(

)A．4

B．12

C．24

D．36【答案】B【解析】∵Sn＝a·3n－2，∴a1＝S1＝a·31－2＝3a－2，a2＝S2－S1＝(9a－2)－(3a－2)＝6a，a3＝S3－S2＝(27a－2)－(9a－2)＝18a.∵{an}为等比数列，∴(6a)2＝(3a－2)×18a，解得a＝2或a＝0(舍去)．∴a2＝6a＝12.故选B．3．若等比数列{an}的前n项和Sn＝a·3n－2，则a2＝4．已知等比数列{an}中，q＝2，n＝5，Sn＝62，则a1＝________.【答案】24．已知等比数列{an}中，q＝2，n＝5，Sn＝62，则a2.5等比数列的前n项和第2课时数列求和2.5等比数列的前n项和第2课时数列求和目标定位重点难点1.掌握数列求和的方法．2．掌握分组转化法、错位相减法、裂项相消法的综合应用.重点：数列求和的方法．难点：数列求和方法的综合应用.目标定位重点难点1.掌握数列求和的方法．重点：数列求和的方法1．分组转化求和法如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前n项和可考虑拆项后利用公式求解．1．分组转化求和法人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件3．错位相减法若数列{an}为等差数列，数列{bn}是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{anbn}，当求该数列的前n项的和时，常常采用将{anbn}的各项乘以公比q，然后错位一项与{anbn}的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件1．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－5n＋2，则数列{|an|}的前10项和为(

)A．56B．58

C．62

D．60【答案】D1．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－5n＋2，则数列人教A版高中数学必修5-第二章-数列-教学课件3．已知等比数列的前n项和Sn＝4n＋a，则a的值等于(

)A．－4

B．－1

C．0

D．1【答案】B【解析】