数列的概念及其表示

数列的概念及其表示数列的概念及其表示第一课时一学习目标1了解数列的定义及表示法2了解数列是反映自然规律的基本数学模型二教学重点理解数列的概念，探索并掌握数列的几种简单的表示方法三学习难点1认识数列是一种特殊函数2认识数列的规律，找出数列可能的通项公式四学习过程请阅读课本P回答下列问题<1>三角形数13610…这些数有什么规律与它表示的三角形序号是什么关系<2>正方形数14916…这些数有什么规律与它表示的三角形序号有什么关系上述三角形数，正方形数的共同特点是什么数列的定义各项依次叫做这个数列的数列一般形式可写成简记其中叫做数列的第n项观察下列数列，它们有什么样的特点11996-2002年，某市普通高中人数(单位：万)93，105,，119，129，130，1323目前通用的人民币的面额按从大到小的顺序构成数列(单位：元)然数构成的数列中央电视台开心辞典节目中曾经出现这样的一道题，观察以下几数的特点，按照其中的规律，写出括号里的数n你能从中得到什么启示通项公式的概念例题探究1判断下列数列哪些有穷数列,无穷数列,递增数列,递减数列,摆动数列,常数列<1>1,1,1,…1…n<2>1,2,22,23…263<4>0,10,20,,…,1000<5>4,4,4,4…2请先出下列数列的一个通项公式<1>1，3，6，10…<2>1,4,9,16…<3>1,-1,1,-1…234<4>2,0,2,0…<5>1,3,5,7…<6>8,88,888,8888…2222510173已知数列的通项公式为a=4<1>写出数列的前三项<2>试问1和16是不是它的项,如果是,是第几项数列的概念与简单表示法第二课时学习目标1进一步了解数列的通项公式2了解数列的其它表示方法学习重点了解数列的递推公式以及数列和函数的关系学习难点数列和函数的关系学习过程我们在前面学习了数列的定义以及数列的通项公式表示数列,那么,数列还有其它的表示方法吗请同学们研究下列问题全体正偶数按从小到大的顺序构成数列,完成下表,并用描点法把相应的点n123…k我们在图n123…k我们 道，表示数列还可以用和表示 若一个数列的首项a=1，从第二项起每一项等于它的前一项的2倍，再122334455…….a=+1(n>1)nn像这样给出数列的方法叫做递推法，其中a=+1(n>1)n叫做这个数列的递推公式，递推公式也是表示数列的一种方法例题研究nnna=，a=(1)n.2a(n2)则a=13nn15a=(1)nnaa=3,1+1(n2),a=4,则a=775a=3a+2,则a=n+1n3n1,a=na(2)猜想这个数列的通项公式n等差数列第一课时学习目标1了解等差数列的定义，等差中项2了解等差数列是一种特殊的函数学习重点等差数列的通项公式的应用学习难点了解等差数列是一种特殊的函数学习过程探究一阅读课本P,从现实生活中引入这样的几个数列48,53,58,6318,,13,,8,10072,10144,10216,10288,10360观察这四个数列,它们的共同特点是什么等差数列的定义探究二观察上述四个数列,取任意的相连的三项,观察它们有什么样的共同特点等差中项探究三上述四个数列的通项公式是什么对于这样的数列,我们能得出一般规律吗等差数列的通项公式典例研究nnn1nn16n371n512106已知数列8,a,2,b,c成等差数列，则a=b=c=是xn12n36<1>求此数列{a}的通项公式n<2>268是否是此数列中的项，若是，是第几项若不是，请说明理由。8体育场一角看台的座位是这样排列的，第一排有15个座位，从第二排起每一排位等差数列第二课时(等差数列的性质)学习目标了解等差数列的性质，并能运用有关性质解决等差数列的有关问题学习重点应用等差数列的有关性质解决等差数列的有关问题学习难点等差数列的有关性质的推导学习过程探究一在直角坐标系下，画出通项公式为a=3n5的数列及函数y=3x-5的图像，n它们的图像有什么特点已知数列{a}的通项公式为a=pn+q其中p,q为常数，那么这个数列是等差nn数列吗若是，请说明理由探究二设{a}是公差为d的等差数列，那么a=a+(nm)d，d=aanm成立吗nnmnm探究三若{a}是公差为d的等差数列，，则下列数列n<1>{c+a},<2>{c.a}是等差数列吗nn探究四n<1>若去掉前几项后，余下的项还是等差数列吗<2>取出数列中所有的奇数项，组成一个数列，是等差数列吗<3>取出数列中所有项的序号是7的倍数的各项，组成一个数列，是等差数列吗探究五n若m,n,p(m,n,pN+)成等差数列，是否有a,a,a成等差数列mnp探究六n若m+n=p+q是否有a+a=a+amnpqmnpa+a=2amnp课堂训练n2631123那么aa21=第四个的值为nn119898则a+b=n147258368nnnn61541769121512031167845674714n374611三个数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积也为12，求这三个数12若四个数成递增的等差数列，中间两个数的和为2，首末两数的积为-8，求这n1nn+110nn+1nn1nn12a2annlanJ(2)求数列{a}的通项公式n第一课时学习目标2会用等差数列前n项和的公式解决一些实际问题学习重点会用等差数列前n项和的公式解决一些实际问题学习难点学习过程探究一一般地，若S=a+a+a+...+a，我们则称S为数列{a}的前n项和n123nnn探究二若{a}的首项为a,公差为d的等差数列，请同学们由上面的启示来研究等差n1公式推导例题探究nnn<1>已知a=10，S=5，求a658205243510631n<6>已知a+a=48求S2455了多长的距离第二课时学习目标学会在数列{a}中，已知S求annn学习重点学会在数列{a}中，已知S求annn学习过程探究nn123n1n2时，a=n典例研究anSnn这个数列nn2是等差数列吗如果是，它的首项与公差分别是什么nn<1>S=2n23nn<2>S=3n2n<3>S=n2+2nnnn为常数，且p0,这个数列是等差数列吗如果是，它的首项与公差分别是什么拓展研究已知在正数数列{a}中，前n项和T=1(a+2)2求证数列{a}为等差数列，nn8nn第三课时学习目标n学习重点n学习难点n学习过程探究等差数列当首项为a1，公差为d满足什么条件时，Sn有最大值或最小值，并探讨研究S的最值的求法n典例研究77nnn158bTn<2>求数列{a}的前n项和的最小值n第四课时(等差数列前n项和的性质)学习目标学习重点学习难点学习过程探究一nnk2kk3k2k探究二探究三在等差数列{a}中，若S表示奇数项之和，S表示偶数项之和n奇偶偶奇<2>若项数为偶数2n+1时，S-S=a,奇偶n+1探究四若等差数列{a}{b}的前n项和为S，Tnnnn 奇=偶典例研究n10100n10100an4817181920nnnn若Sn=n+1，则a10=Tn+3bn10b3n+1Tn9偶奇1等比数列一学习目标1了解等比数列的定义，及其通项公式2利用通项公式解决一些简单的计算问题，及一些实际应用问题。3掌握等比中项二学习重点1理解等比数列的定义及其通项公式且能利用公式解决问题2利用等比中项进行技巧性计算三学习难点等比数列的定义的理解及等比数列的通项公式的推导四学习过程探究一阅读P，并观察以下数列有什么共同特点1,,1,,,…2481,20，202,203,…等比数列的定义思考(1)公比q可以为0吗(2)在等比数列中可以有某些项或某一项为零吗探究二若三个数a,G,b成等比数列，这三个数有着什么样的的关系探究三等比数列通项公式的推导等比数列的通项公式典例研究n(1)a=27,q=3,求a47(2)a=18,a=8,求a与q241(3)a=4,a=6,求a579(4)aa=15,aa=6,求a51423(5)a=2,a=8,求a47n(6)a+a=18,a+a=9,a=1,求n2536n(7)a+a=10,a+a=5,求q13464(8)a=2,a+a=20,求a43nP2，了解等比数列的实际应用并完成P,2，P,2505253学习心得等比数列第二课时学习目标了解判断等比数列的方法，并能证明简单的等比数列学习重点证明一个数列为等比数列学习过程阅读P例2并探究发现证明等比数列的方法50,典例研究nn2nnnnnn1n+1n(1)证明：{a+1}是等比数列n(2)求数列{a}的通项公式nnn3n(1)求a,a2(2)求证：数列{a}是等比数列nn1nn1(1)判断数列{a+1}是否为等比数列并说明为什么n(2)求a学习心得等比数列第三课时(等比数列的性质)那么这些项是否成等比数列学习目标(1)了解等比数列的性质(2)应用性质解决简单的问题学习重点等比数列性质的应用学习过程探究一nn22探究二已知{a},{b}是项数相同的等比数列，仿照表格中的例子填写表格，你能nn得出什么结论判断数列判断数列{a.b}是否nn为等比数列例(a)(a)探究三nlanJ{a}是等比数列，公比为q,在数列中取出若干项，若项的序号成等差数列，n探究四nmnpq(2)在等比数列{a}中，若m+n=2p，则a,a,a有什么关系nmnp(3)a=a.qnm，证明这个结论nm探究五nnn典例研究n(1)a=2,a=12,则a=610(2)a=2,则a.a....a.a=7121213(4)a.a=5,则a.a.a.a=712891011(5)a+a+a=21,a.a.a=216,则a=123123n(6)a.a=6,a+a=5,则a20=711414an564731323n2已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数学习目标学习重点会用公式解决简单的计算问题学习难点学习过程探究一阅读P,了解等比数列前n项和的推导，并试着推导等比数列前n项和公式例题研究(1)11(1)n144346445课堂检测n157(2)a=3,S=9,求a与q32321nn1课后训练n(1)q=2,S=1,求S8(2)a=3S+2,a=3S+2,求公比q324323naaa，若a=1,求S12314学习目标学习重点性质的应用学习过程探究一SSnnn2nn3n2n列探究二若等比数列项数为2n,则偶=S奇典例研究n264(2)设等比数列前n项和为S，若6=3,则SS36(3)等比数列{a}中共有2n项，其和为-240，且奇数项之和比偶数项之n数列求和学习目标1学习几种求和的方法2利用所知道的求和方法求各种数列的和学习重点会求数列的和学习过程分组求和若一个数列的每一项是由几个独立的数列的项组合而成，并且各独立的项也可以组成等差，等比数列，则该数列前n项和可考虑拆项后利用公式求和n248nn裂项相消法对于裂项后明显有相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”分式的求和多利用此法，可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消的规律，即消去哪些项。保留哪些项。常见的拆项公式有(自己总结)aa7,a+a=26，{a}的前n项和为S，n357nn(1)求a及Snn na21nnn错位相减法n