新探级数收敛的判别方法

PAGEPAGE1新探级数收敛的判别方法前言级数是数学中的一个重要概念，许多数学问题都要通过研究级数来得到解决。在数学学习过程中，我们经常会遇到有关级数的问题，如何判别一个级数的收敛性成为了我们接下来研究的重点问题。在这篇文章中，我们将探讨一些新颖的方法来判别级数的收敛性。级数的定义级数是指一个由实数$a_1,a_2,\\cdots,a_n$所构成的无穷序列，其总和为：$$\\sum_{n=1}^{\\infty}a_n=a_1+a_2+\\cdots+a_n+\\cdots$$其中，an为级数的第n项，n判别方法1.比值判别法对于一个正项级数$\\sum_{n=1}^{\\infty}a_n$，如果$\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}\\dfrac{a_{n+1}}{a_n}<1$，则该级数收敛；如果$\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}\\dfrac{a_{n+1}}{a_n}>1$，则该级数发散；如果$\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}\\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=1$，则该方法不确定。比值判别法的证明：对于n充分大时，有$\\dfrac{a_{n+1}}{a_n}<q<1$，即$a_n<qa_{n-1}<q^2a_{n-2}<\\cdots<q^{n-1}a_1$，因此级数$\\sum_{n=1}^{\\infty}qa_n$收敛，所以原级数$\\sum_{n=1}^{\\infty}a_n$也收敛。2.根值判别法对于一个正项级数$\\sum_{n=1}^{\\infty}a_n$，如果$\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}\\sqrt[n]{a_n}<1$，则该级数收敛；如果$\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}\\sqrt[n]{a_n}>1$，则该级数发散；如果$\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}\\sqrt[n]{a_n}=1$，则该方法不确定。根值判别法的证明：对于n充分大时，有$\\sqrt[n]{a_n}<q<1$，即$n\\sqrt[n]{a_n}\\rightarrow0$，因此$\\sum_{n=1}^{\\infty}(n\\sqrt[n]{a_n})$收敛，所以$\\sum_{n=1}^{\\infty}a_n$收敛。如果$\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}\\sqrt[n]{a_n}>1$，根据极限定义可知，$\\lim\\limits_{n\\rightarrow\\infty}a_n>1$，因此级数发散。3.阿贝尔判别法对于一个级数$\\sum_{n=1}^{\\infty}a_nb_n$，其中an和bn均为实数，如果bn是单调有界的，即$b_n\\geqb_{n+1}\\(n\\in\\mathbb{N^*})$且存在M>0使得$b_n\\leqM\\(n\\in\\mathbb{N^*})$，则若级数$\\sum_{n=1}^{\\infty}a_n$收敛，则级数$\\sum_{n=1}^{\\infty}a_nb_n$收敛；若级数$\\sum_{n=1}^{\\infty}a_nb_n$收敛，阿贝尔判别法的证明：对于n>m，有$\\sum_{k=m+1}^{n}a_kb_k=(\\sum_{k=m+1}^{n-1}a_k)(b_n-b_{m+1})+a_nb_n-(a_{m+1}-a_m)b_{m+1}$。考虑$\\sum_{k=m+1}^{n-1}a_k$，根据bn是单调有界的条件可知，序列bn-$$\\begin{aligned}&\\lim_{n\\rightarrow\\infty}\\sum_{k=m+1}^{n-1}a_k(b_n-b_{m+1})\\\\=&\\lim_{n\\rightarrow\\infty}(\\sum_{k=m+1}^{n-1}a_k)(b_n-b_{m+1})\\\\=&(\\sum_{k=m+1}^{\\infty}a_k)B\\end{aligned}$$因此$\\sum_{k=m+1}^{n-1}a_kb_k$收敛于$(\\sum_{k=m+1}^{\\infty}a_k)B+a_nb_n-(a_{m+1}-a_m)b_{m+1}$。证毕。新探判别法以上三种判别方法已经足够使用，但我们可以尝试新的探索，以得到更简单的方式来判别级数收敛性。基本思路对于一个正项级数$\\sum_{n=1}^{\\infty}a_n$，我们考虑研究其前n项之和$\\sum_{k=1}^{n}a_k$的变化趋势。如果这种趋势是单调增加的，且$\\sum_{k=1}^{n}a_k$有上界，则原级数收敛，否则原级数发散。具体方法我们定义$S_n=\\sum\\limits_{k=1}^{n}a_k$，假设我们通过某种方式得到了Sn的前若干项，现在我们想判断$\\sum\\limits_{n=1}^{\\infty}a_n$的收敛性。假设Sn的前若干项为$\\{S_1,S_2,\\cdots,S_m\\}$，其中m<n，那么考虑增加一项am+1，这样Sn的前若干项就变成了$\\{S_1,S_2,\\cdots,S_m,S_{m+1}\\}$。我们定义$\\Delta_{m+1}=S_{m+1}-S_m$，其中$\\Delta_{m+1}$表示增加了am+1后产生的变化量。如果$\\Delta_{m+1}>0$，即Sm+1>Sm，则表示Sm+1比Sm增加了一定的数量，这说明级数$\\sum\\limits_{n=1}^{\\infty}a_n$在前m当然，这种方法并不能保证每个级数都可以用这种方法判别，但