河南省郑州市荥阳第四中学高三数学理期末试题含解析

河南省郑州市荥阳第四中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（） A．（﹣7，﹣4） B．（7，4） C．（﹣1，4） D．（1，4）参考答案：A【考点】平面向量的坐标运算． 【专题】平面向量及应用． 【分析】顺序求出有向线段，然后由=求之． 【解答】解：由已知点A（0，1），B（3，2），得到=（3，1），向量=（﹣4，﹣3）， 则向量==（﹣7，﹣4）； 故答案为：A． 【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及向量的三角形法则的运用；注意有向线段的坐标与两个端点的关系，顺序不可颠倒． 2.已知奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x-l），给出以下命题：①函数f（x）是周期为2的周期函数；②函数f（x）的图象关于直线x=1对称；③函数f（x）的图象关于点（k，0）（k∈Z）对称；④若函数f（x）是（0，1）上的增函数，则f（x）是（3，5）上的增函数，其中正确命题的番号是 A．①③

B．②③

C．①③④

D．①②④参考答案：A略3.对于任意的实数a、b，记max{a,b}=.若F(x)=max{f(x),g(x)}(x∈R),其中函数y=f(x)(x∈R)是奇函数，且在x=1处取得极小值-2，函数y=g(x)(x∈R)是正比例函数，其图象与x≥0时的函数y=f(x)的图象如图所示，则下列关于函数y=F(x)的说法中，正确的是(

)A．y=F(x)为奇函数B．y=F(x)有极大值F(-1)C．y=F(x)的最小值为-2，最大值为2D．y=F(x)在(-3,0)上为增函数参考答案：B略4.已知双曲线（a＞0，b＞0）过点P（4，2），且它的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=相切，则该双曲线的方程为（）A．

B．C． D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线过点P（4，2），且它的渐近线与圆相切，建立方程，求出a，b，即可求出双曲线的方程．【解答】解：由题意，，∴a=2，b=2，∴双曲线的方程为=1，故选A．【点评】本题考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质，直线与圆相切的条件，以及点到直线的距离公式，考查方程思想，化简、计算能力．5.已知i是虚数单位，若=1﹣i，则z的共轭复数为（）A．1﹣2i B．2﹣4i C．﹣2i D．1+2i参考答案：A【考点】复数的基本概念．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则及其共轭复数的意义即可得出．【解答】解：∵=1﹣i，∴===1+2i．∴=1﹣2i．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则及其共轭复数的意义，属于基础题．6.下列函数中，与函数

有相同定义域的是（

）A.

B．

C．

D．参考答案：A7.按照如右图所示的程序框图执行，若输出的结果为15，则M处的条件可为

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略8.已知经过曲线的一个顶点和一个焦点，圆心M在双曲线S上，则圆心M到双曲线S的中心的距离为

（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D略9.等比数列中，公比，记（即表示数列的前n项之积），中值最大的是A．

B．

C．

D．参考答案：D10.已知函数，则有（）A．函数的图像关于直线对称 B．函数的图像关关于点对称C．函数的最小正周期为 D．函数在区间内单调递减参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则的值为

。参考答案：12.由1，2，3，4，5组成的五位数中，恰有2个数位上的数字重复且十位上的数字小于百位上的数字的五位数的个数是

（.用数字作答）参考答案：13.设n∈N*，圆的面积为Sn，则=．参考答案：4π考点： 极限及其运算；圆的标准方程．专题： 函数的性质及应用．分析： 利用圆的面积计算公式可得Sn=．再利用数列极限运算性质即可得出．解答： 解：∵圆的面积为Sn，∴Sn=．∴==4π．故答案为：4π．点评： 本题考查了圆的面积计算公式、数列极限运算性质，考查了计算能力，属于基础题．14.（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C的极坐标方程为：，直线的极坐标方程为：.则它们相交所得弦长等于

.参考答案：3略15.若关于的方程有三个不等实数根，则实数的取值范围是

．参考答案：16.设函数的定义域为，若存在非零实数使得对于任意，有，且，则称为上的高调函数。现给出下列命题：①函数为上的高调函数；②函数为上的高调函数；③若函数为上的高调函数，那么实数的取值范围是；④定义域为的函数是奇函数，当时，，且为上的4高调函数，那么实数的取值范围是

。其中正确命题的序号是____________（写出所有正确命题的序号）。参考答案：②③17.某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如下图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数是

参考答案：６００略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.实验杯足球赛采用七人制淘汰赛规则，某场比赛中一班与二班在常规时间内战平，直接进入点球决胜环节，在点球决胜环节中，双方首先轮流罚点球三轮，罚中更多点球的球队获胜；若双方在三轮罚球中未分胜负，则需要进行一对一的点球决胜，即双方各派出一名队员罚点球，直至分出胜负；在前三轮罚球中，若某一时刻胜负已分，尚未出场的队员无需出场罚球（例如一班在先罚球的情况下，一班前两轮均命中，二班前两轮未能命中，则一班、二班的第三位同学无需出场），由于一班同学平时踢球热情较高，每位队员罚点球的命中率都能达到0.8，而二班队员的点球命中率只有0.5，比赛时通过抽签决定一班在每一轮都先罚球．（1）定义事件A为“一班第三位同学没能出场罚球”，求事件A发生的概率；（2）若两队在前三轮点球结束后打平，则进入一对一点球决胜，一对一点球决胜由没有在之前点球大战中出场过的队员主罚点球，若在一对一点球决胜的某一轮中，某队队员射入点球且另一队队员未能射入，则比赛结束；若两名队员均射入或者均射失点球，则进行下一轮比赛．若直至双方场上每名队员都已经出场罚球，则比赛亦结束，双方用过抽签决定胜负，以随机变量X记录双方进行一对一点球决胜的轮数，求X的分布列与数学期望．参考答案：【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）根据相互独立事件同时发生的概率公式，计算一班第三位同学没能出场罚球的概率值；（2）根据题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出随机变量X的分布列，计算数学期望值．【解答】解：（1）定义事件A为“一班第三位同学没能出场罚球”，则事件A发生的概率为P（A）=0.8×0.5×0.8×0.5+0.2×0.5×0.2×0.5=0.17；（2）随机变量X的可能取值为1，2，3，4；计算P（X=1）=0.8×0.5+0.2×0.5=0.5，P（X=2）=（1﹣P（X=1））×P（X=1）=0.25，P（X=3）=（1﹣P（X=1））2×P（X=1）=0.125，P（X=4）=（1﹣P（X=1））3=0.125；所以随机变量X的分布列是：X1234P（X）0.50.250.1250.125数学期望是E（X）=1×0.5+2×0.25+3×0.125+4×0.125=1.875（轮）．19.17．（本小题满分12分）某校高三年级文科学生600名，从参加期末考试的学生中随机抽出某班学生（该班共50名同学），并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为150分），数学成绩分组及各组频数如下表：

分组频数频率[45，60）20．04[60，75）40．08[75，90）80．16[90，105）110．22[105，120）150．30[120，135）ab[135，150]40．08合计501（1）写出a、b的值；（2）估计该校文科生数学成绩在120分以上学生人数；（3）该班为提高整体数学成绩，决定成立“二帮一”小组，即从成绩在[135，150]中选两位同学，来帮助成绩在[45，60）中的某一位同学．已知甲同学的成绩为56分，乙同学的成绩为145分，求甲乙在同一小组的概率．参考答案：（1）6、0.12

2分（2）成绩在120分以上的有6＋4＝10人，所以估计该校文科生数学成绩在120分以上的学生有：人.

6分（3）[45，60）内有2人，记为甲、A．[135，150]内有4人，记为乙、B、C、D．法一：“二帮一”小组有以下6种分组办法：（甲乙B，ACD）、（甲乙C，ABD）、（甲乙D，ABC）、（甲BC，A乙D）、（甲BD，A乙C）、（甲CD，A乙B）．其中甲、乙两同学被分在同一小组有3种办法：（甲乙B，ACD）、（甲乙C，ABD）、（甲乙D，ABC）．所以甲、乙分到同一组的概率为.

12分（法二：乙可能和甲或和A分到同一组，且等可能，故甲、乙分到同一组的概率为）20.已知函数，a为实常数.（1）讨论函数f(x)的极值；（2）当是函数f(x)的极值点时，令，设，比较与的大小，并说明理由.参考答案：（1）∵，∴①当时，当时，在内单调递减.当时，在内单调递增.则当时有极小值为，无极大值；②当时，当时，恒成立，在内单调递减.则为极值．综上：当时有极小值为，无极大值；当时无极值．（2）∵，，∴，∴则=，又∵

∴，构造函数

则∴当时，恒成立，∴在内单调递增∴当时，即，则有成立．即

即21.已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.参考答案：见解析（Ⅰ）因为所以的最小正周期为.（Ⅱ）因为当时，取得最大值；当取得最小值.22.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若函数在其定义域内有两个不同的极值点，记作，，且，证明：（为自然对数的底数）.参考答案：（1）可知函数的定义域为，且令，得，其中判别式.①当时，，，在上为增函数.②当时，，方程的两根为，（i）当时，，在上为增函数（ii）当时，，在上为增函数，在上为减函数.综上所述：当时，的增区间为，无减区间.当时，的增区间为