95空间向量及其运算课件

§9.5空间向量及其运算

知识诠释思维发散1.空间向量的概念:如同平面向量一样,在空间中,我们把具有

大小和方向的量叫做向量.也用有向线段表示空间向量,方向

相同,且长度相等的有向线段表示同一向量或相等的向量.2.共线向量定理:对空间任意两个向量a、b(b≠0),a∥b的充

要条件是存在唯一实数λ,使a=λb.3.共面向量定理:如果两个向量a、b不共线,则向量p与a、b

共面的充要条件是存在唯一一组实数x,y,使p=xa+yb.一、空间向量的基本知识4.空间向量基本定理:如果三个向量a、b、c不共面,那么对

于空间任一向量p,存在唯一一组实数x,y,z,使p=xa+yb+zc.由空间向量基本定理可知,任意空间不共面的三个向量

构成空间的一个基底,此定理是空间向量分解的基础.5.空间两向量的夹角:已知两个非零向量a、b,在空间中任取

一点O,作

=a,

=b,则∠AOB叫做向量a与b的夹角,记作<a,b>,且规定0≤<a,b>≤π.6.向量的数量积:已知空间两个非零向量a、b,则|a||b|叫做向

量a、b的数量积,记作a·b,即a·b=|a||b|cos<a,b>.规定:零向量与任何向量的数量积为0.对于非零向量a、b,有:(1)cos<a,b>=

,(2)|a|2=a·a=a2,(3)a⊥b⇔a·b=0.向量的数量积适合如下运算律:(1)交换律:a·b=b·a,(2)结合律:(λa)·b=λ(a·b),(3)分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.二、空间直角坐标系及空间两点间的距离1.空间直角坐标系:以空间一点O为原点,建立三条两两垂直

的数轴:x轴,y轴,z轴.这时建立了空间直角坐标系O-xyz,其中

点O叫做坐标原点,x轴,y轴,z轴统称坐标轴.由坐标轴确定的

平面叫做坐标平面.建系时,一般建立右手直角坐标系,右手直角坐标系的含义

是:当右手拇指指向x轴正方向,食指指向y轴正方向时,中指

一定指向z轴的正方向;空间一点M的坐标为有序实数组(x,y,z),记作M(x,y,z),其中x叫

做M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标.2.空间两点间的距离公式:设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则|AB|=

.特别地,点A(x,y,z)与原点间的距离公式为|OA|=

.1.若点A(x2+4,4-y,1+2z)关于y轴的对称点是B(-4x,9,7-z),则x,y,

z的值依次为

(

)(A)1,-4,9.

(B)2,-5,-8.(C)2,5,8.

(D)-2,-5,8.【解析】

⇒

【答案】B2.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的

值是

(

)(A)1.

(B)

.

(C)

.

(D)

.【解析】ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2),由题意可得,(k-1,k,2)·(3,2,-2)=3k-3+2k-4=0,即k=

.【答案】D3.如果三点A(1,5,-2),B(2,4,1),C(a,3,b+2)在同一直线上,则

(

)(A)a=3,b=-3.

(B)a=6,b=-1.(C)a=3,b=2.

(D)a=-2,b=1.【解析】设

=λ

⇒(a-1,-2,b+4)=λ(1,-1,3)⇒

⇒

【答案】C

核心突围技能聚合题型1空间向量的表示与运算

例1在底面是平行四边形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,设

=a,

=b,

=c,M、N、P分别是AA1、BC、C1D1的中点,试用a、b、c表示以下各向量:(1)

;(2)

;(3)

+

.【分析】要表示出所求各向量,必须把所求各向量放在图形

中,合理利用向量加法和减法法则,与已知三个向量之间建立

关系才能进行求解.【解析】(1)∵P是C1D1的中点,∴

=

+

+

=a+

+

=a+c+

=a+c+b.(2)∵N是BC的中点,∴

=

+

+

=-a+b+

=-a+b+

=-a+b+

c.(3)∵M是AA1的中点,∴

=

+

=

+

=-

a+(a+c+

b)=

a+

b+c.又

=

+

=

+

=

+

=

c+a,∴

+

=(

a+

b+c)+(

c+a)=

a+

b+

c.【点评】用已知向量(通常为一组基底)表示未知向量,一定

要结合图形,以图形为指导,正确运用向量加法、减法与数乘

运算的几何意义.变式训练1在平行四边形ABCD中,已知AB=AC=2,∠ACD=

90°,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成30°角,则B、D两点

间的距离为

.【解析】如图,因为∠ACD=90°,所以

·

=0,

·

=0,又∵AB与CD成30°,设向量

与

的夹角为θ,∴θ=30°或150°.又

=

+

+

,∴

=(

+

+

)2

=

+

+

+2

·

+2

·

+2

·

=

+

+

+2

·

=22+22+22+2×2×2·cosθ,∴当θ=30°时,|

|=2

,当θ=150°时,|

|=2

.【答案】2

或2

例2在底面是平行四边形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G分别是A1D1、D1D、D1C1的中点.求证:平面E-FG∥平面AB1C.【分析】对于面面平行的证明,可以转化为两平面内有两条

相交直线分别平行,对于观察能力强的同学可以充分利用三

角形的中位线得到线线平行;对于观察能力稍弱的同学,可以

借助向量运算,避免添加辅助线.题型2利用空间向量证明立体几何题【解析】设

=a,

=b,

=c,则

=

+

=

(a+b),

=a+b=2

,∴EG∥AC.又∵

=

+

=

(b-c),∵

=

+

=b-c=2

,∴EF∥B1C.又∵EG与EF相交,AC与B1C相交,∴平面EFG∥平面AB1C.【点评】合理选择基底,利用向量共线证明直线平行,从而进

一步证明平面与平面平行.变式训练2如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G

分别是B1B、AB、BC的中点.(1)证明:D1F⊥EG;(2)证明:D1F⊥平面AEG.【解析】以D为原点,DA、DC、DD1所在的直线分别为x、y

、z轴,建立空间直角坐标系,设正方体AC1的棱长为a,则D(0,

0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),D1(0,0,a),E(a,a,

),F(a,

,0),G(

,a,0).(1)

=(a,

,-a),

=(-

,0,-

).∵

·

=a·(-

)+

·0+(-a)·(-

)=0,∴D1F⊥EG.(2)

=(0,a,

),∴

·

=a·0+

·a-a·

=0,∴D1F⊥AE.由(1)知D1F⊥EG且EG∩AE=E,∴D1F⊥平面AEG.例3设向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8),计算3a-2b,a·b,a与b所成角的余弦值,并确定λ,μ的关系,使λa+μb与z轴垂直.【分析】准确把握向量运算规则,仔细运算即可.【解析】由已知3a-2b=3(3,5,-4)-2(2,1,8)=(5,13,-28),a·b=(3,5,-4)·(2,1,8)=3×2+5×1+(-4)×8=-21,∵|a|=

=5

,题型3空间向量的坐标运算|b|=

=

,∴cos<a,b>=

=-

.由(λa+μb)·(0,0,1)=-4λ+8μ=0知,只要满足λ=2μ,λa+μb与z轴垂直.【点评】本题旨在考查向量的线性运算,数量积运算,向量的

夹角余弦公式.变式训练3已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,

求:(1)a,b,c;(2)(a+c)与(b+c)所成角的余弦值.【解析】(1)∵

∴x=2,y=-4,z=2.∴a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1),c=(3,-2,2).(2)由(1)知,a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1),所以(a+c)与(b+c)所成角

的余弦值为

=

=

=-.

例4在长方体OABC-O1A1B1C1中,|OA|=2,|AB|=3,|AA1|=2,E是BC的中点,建立空间直角坐标系,用向量方法解下列问题:(1)求直线AO1与B1E所成角的余弦值;(2)作O1D⊥AC于D,求点O1到点D的距离.【分析】根据向量的夹角余弦公式,求出点的坐标,然后逐步

仔细运算.题型4坐标运算的应用【解析】建立如图所示的空间直角坐标系.(1)由题意得A(2,0,0),O1(0,0,2),B1(2,3,2),E(1,3,0).∴

=(-2,0,2),

=(-1,0,-2),∴cos<

,

>=

=-

,∴AO1与B1E所成角的余弦值为

.(2)由题意得

⊥

,

∥

,∵C(0,3,0),设D(x,y,0),∴

=(x,y,-2),

=(x-2,y,0),

=(-2,3,0),∴

解得

∴D(

,

,0),∴|O1D|=

=

.【点评】本题重点考查向量夹角余弦公式,两点间的距离公

式,应熟练运用这两个公式,计算时,也应认真仔细,防止“一着不慎,满盘皆输”.变式训练4

如图,在空间四边形ABCD中,AB,BC,BD两两垂直,且AB=BC=

2,E是AC的中点,向量

与

的夹角的余弦值为-

,求BD的长度.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,由题意有B(0,0,

0),A(0,2,0),C(2,0,0),则E(1,1,0).设D(0,0,z)(z>0),则

=(1,1,0),

=(0,-2,z),∴

·

=|

|·|

|cosθ=

·

cosθ=-2,∴cosθ=

,又向量

和

夹角的余弦值为-

,∴

=-

,解之得z=3,即BD=3,所以BD的长度为3.

1.空间向量的表示与运算,一方面继承了平面向量的相关概

念,另一方面也有利于解决立体几何相关的问题,应扎实掌握.2.利用空间向量证明立体几何题,充分体现了向量这个工具的作用.3.把向量在坐标系中坐标化,进一步规范了运算,计算更加简单.例已知正四面体A-BCD的棱长为1,E为BD的中点,F为AC的中点,试求出线段EF的长.轴的正半轴建立空间直角坐标系.则由已知得:

=

+

=-

+

=-

(

+

)+

=-

-

+

,∴

=(-

,-

,

),【错解】如图,以C为原点,

、

、

分别为x轴、y轴、z∴|

|=

=

.【剖析】平面上,只有当基底两两垂直时,才好这样表示,并

且要弄清

=(-

,-

,

)=-

-

+

,而这三者之间的夹角是60°,而非90°,这也是导致|

|=

的错误原因.【正解】|

|=

=

.基础·角度·思路一、选择题(本大题共5小题,每小题6分)1.(基础再现)空间的任意三个向量a,b,3a-2b,它们一定是

(

)(A)共线向量.

(B)共面向量.(C)不共面向量.

(D)既不共线也不共面向量.【解析】如果a,b是不共线的两个向量,由共面向量定理知,a,

b,3a-2b共面;若a,b共线,则a,b,3a-2b共线,当然也共面,故选B.【答案】B2.(基础再现)有4个命题:①若p=xa+yb,则p与a、b共面;②若p与a、b共面,则p=xa+yb;③若

=x

+y

,则P、M、A、B共面;④若P、M、A、B共面,则

=x

+y

.其中真命题的个数是

(

)(A)1.

(B)2.

(C)3.

(D)4.【解析】命题①③正确,命题②④不正确.因命题②中若a

∥b,则p不能用a,b表示,命题④中,若M、A、B三点共线,则

也不能用

、

表示.故选B.【答案】B3.(视角拓展)如图所示,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=

AB=BC=6,则PC等于

(

)(A)6

.

(B)6.(C)12.

(D)144.【解析】因为

=

+

+

,所以

=

+

+

+2

·=36+36+36+2×36cos60°=144.所以|

|=12.故选C.【答案】C4.(视角拓展)若四边形ABCD为平行四边形,且A(4,1,3),B(2,-5,

1),C(3,7,-5),则顶点D的坐标为

(

)(A)(

,4,-1).

(B)(2,3,1).(C)(-3,1,5).

(D)(5,13,-3).【解析】由

=

,可求得D(5,13,-3),故答案选D.【答案】D5.(高度提升)设两向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),x1,y1,z1与x2,y2,z2均

不为零,如果(x1+x2)2+(y1+y2)2+(z1+z2)2=

+

+

+

+

+

成立,

那么向量a与b的关系是

(

)(A)相交.

(B)平行.

(C)垂直.

(D)都有可能.【解析】从所给条件可以看出左边是(a+b)2,右边表示的是a2

+b2,即(a+b)2=a2+b2,由向量的运算知,2a·b=0,∴a与b是垂直的.【答案】C二、填空题(本大题共4小题,每小题7分)6.(视角拓展)在△ABC中,已知

=(2,4,0),

=(-1,3,0),则∠ABC=

.【解析】因为

=(-2,-4,0),

=(-1,3,0),所以

·

=2-12+0=-10,|

|=

=2

,|

|=

=

,所以cos<

,

>=

=

=-

.所以∠ABC=135°.【答案】135°7.(视角拓展)已知P,A,B,C四点共面且对于空间任一点O都有

=2

+

+λ

,则λ=

.【解析】因为P、A、B、C四点共面,所以

=x

+y

+z

,且x+y+z=1,所以2+

+λ=1,得λ=-

.【答案】-

8.(视角拓展)在四面体O-ABC中,

=a,

=b,

=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则

=

(用a,b,c表示).【解析】如图,由三角形法则,易得

=

-

=b-a,

=

-

=c-b,

=

=

(c-b),∴

=

+

=

b+

c-a,

=

=

b+

c-

a,∴

=

+

=a+

b+

c-

a=

a+

b+

c.【答案】

a+

b+

c9.(高度提升)设O是坐标原点,已知

=(1,2,3),

=(2,1,2),

=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当

·

取得最小值时,点Q的坐标为

.【解析】设Q(a,a,2a),则

=(1-a,2-a,3-2a),

=(2-a,1-a,2-2a),即

·

=(1-a)(2-a)+(2-a)(1-a)+(3-2a)(2-2a)=6a2-16a+10=6(a-

)2-

,当a=

时,

·

有最小值,故Q(

,

,

).【答案】(

,

,

)三、解答题(本大题共3小题,每小题14分)10.(高度提升)一个多面体的三视图及直观图如图所示,M,N

分别是A1B,B1C1的中点.试建立空间直角坐标系,写出直观图

中各点的坐标,并求直线MN与A1C1所成角的余弦值.【解析】根据三视图及所给的数值可得AB=BC=a,AC=

a,所以∠ABC=90°,即AB⊥BC.又B1B⊥平面ABC,∴分别以

,

,

为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系如图所示,则B(0,0,0),C(a,0,0),A(0,a,0),A1(0,a,a),B1(0,0,a),C1(a,0,a),M(0,

,

),N(

,0,a),∴

=(

,-

,

),

=(a,0,a)-(0,a,a)=(a,-a,0).设直线MN与A1C1所成角为θ,∴cosθ=

=

=

,∴直线MN与A1C1所成角的余弦值为

.11.(高度提升)已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).(1)求以

、

为邻边的平行四边形的面积;(2)若|