数学预备知识-课件

矢量简介

微积分简介数学基础知识1ppt课件1、矢量与标量2、矢量的表示3、矢量的运算(1)矢量的加法

(2)矢量的减法(3)矢量的乘法标积矢积矢量的简介2ppt课件精品资料矢量既有大小又有方向，如：位移、速度、加速度、角速度、力矩、电场强度等。1、物理量可分为标量和矢量两种如：质量、长度、时间、密度、能量、温度等。标量只有大小，4ppt课件2、矢量的表示

几何表示：有方向的线段

解析表示书写：字母上方用箭头符号标记或印刷：用黑体字表示矢量，F，r，v，a

矢量的大小：线段的长度或的模，5ppt课件

单位矢量：长度为一个单位的矢量

矢量相等：大小相同，方向相同

平行移动不会改变一个矢量

对一般矢量，其单位矢量可用字母上方的尖符表示，如Â如沿x,y,z

轴正方向的单位矢量可表示为：6ppt课件3、矢量的运算(1)矢量的加法

平行四边形法则三角形法则B的尾端接到A的箭头顶端，两个矢量的和矢量为A的尾端指向B的顶端的矢量ABC7ppt课件多个矢量的合成：合成矢量的解析表示：MgT1T1力的合成AyAxBxByXy8ppt课件(2)矢量的减法矢量A-B等于从B的顶端指向A的顶端-BBACBCA222cosABa=+-CAB9ppt课件

交换律

结合律10ppt课件(3)

矢量的乘法

与标量相乘

与矢量相乘

标积(点积)矢积(叉积)--结果为标量--结果为矢量11ppt课件

矢量的标积（点积）AB两矢量点积得标量上式含意？12ppt课件

矢量的标积（点积）矢量的点乘表示一个矢量的模乘上另一个矢量在这一矢量上的分量（投影）。这一分量（投影）可正可负。13ppt课件

若可能

矢量的标积（点积）AB14ppt课件交换律：标积计算：分配律：若一个物体在力F作用下移动位移rFr则力F所作的功：记为标积形式，则为：标积的应用:15ppt课件

矢量的矢积（叉积）是一个矢量大小：平行四边形面积ABC方向：右手螺旋法则，要求四指绕过的角度小于

16ppt课件矢积的性质：特殊情况：*若，则最大*若，则

矢积的应用：洛仑兹力：17ppt课件求（1）（2）例1已知解（1）（2）18ppt课件作业（9月12日）1.矢量a的大小为5.0m，方向正东，矢量b的大小为4.0m，方向北偏西35度。求a+b及a–b的大小及方向。19ppt课件444420ppt课件一、函数的极限二、函数的导数三、函数的微分四、积分导数与微分运算21ppt课件一、函数的极限

对任意函数f(x)，当自变量x无限趋于某一数值x0（记作x

x0

）时，函数值无限趋于某一确定的数值a，则a称为x

x0时函数f(x)的极限值，记作：例：22ppt课件注意即使ƒ(x)在x0点没有定义，或

，上面关于极限的陈述仍可以是对的。例：23ppt课件二、函数的导数1、问题的提出2、导数的定义3、导数的意义4、导数的求解5、导数的运算规则加减积商复合函数求导矢量求导24ppt课件运动时间自由落体运动的瞬时速度问题1、问题的提出瞬时速度如何由s(t),求v(t)?平均速度取极限当时

取一邻近t的时刻t’,如图，221)(gtts=25ppt课件26ppt课件

当以上极限存在时，则此极限称为函数f(x)在点x0处的导数。(显然，这是一个特殊的极限)函数导数又可记为：2、导数的定义自由落体问题中:27ppt课件一、矢量

回顾ˆA=AAr或

（1）点积：

（2）叉积：

ABC(0

)θ

p<

<sinABq=r

r

rC

A×B

=28ppt课件二、导数的定义导数是一个特殊的极限！29ppt课件关于导数的说明：

（导数）则是当区间间隔x0时的f(x)在x0处的变化率。

是在以某和为端点的区间上的平均变化率。

x到底有多小？

它的绝对值比你想到的任何一个小的正数还要小。

小量乘上有限数仍是小量。

在许多物理问题中，需要研究变量的瞬时变化率，如物体的运动速度、加速度、电流强度等。在数学上都可归结为函数的变化率问题，即导数。30ppt课件xyyx0

f(x)x0y0y1x13、导数的意义

函数在某一点的导数值，表示函数曲线上该点的切线斜率。几何意义：31ppt课件切线t1t3t2x1x3x2t越小，平均速率越接近瞬时速度。平均速度：瞬时速度X对t的导数。导数物理意义：

非均匀变化量在某点的变化率。32ppt课件步骤:4、导数的求解：

由定义求导数（三步法）

(1)求函数增量33ppt课件例1解例2解34ppt课件例3解35ppt课件匀加速直线运动解：求瞬时速度例436ppt课件常见函数的求导公式：(1)(2)(4)(5)(3)(6)导数的运算法则：加减积商5、导数的常用公式及运算规则37ppt课件例5：求y=xsinx的导数。解：38ppt课件例6：，求导数。解：39ppt课件复合函数求导：二阶导数：N阶导数：df()nxndxyf(x)n=n=40ppt课件例7解：41ppt课件矢量的导数：几点推论：

注意：对矢量的求导有两项：一是大小的变化产生的，二是方向的变化产生的。42ppt课件三、函数的微分在实际应用中，还会遇到与导数密切相关的另一类问题，这就是当自变量有一个微小的增量时，要求计算函数的相应的增量。这一函数的增量称为微分。43ppt课件实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.

问题的提出的二阶项，可以忽略。(相对x0

很小)。既简化了计算又有很好的近似值在计算函数增量时，当自变量增量很小时，自变量增量的高阶项一般可以忽略，这样得到的函数增量是其精确值的较好近似。这是微分的一个很重要的应用。44ppt课件若函数f(x)在x

处有导数f´(x),则

微分的定义：dy

称为函数f(x)在点x

处的微分。dx

称为自变量的微分。即导数等于函数的微分与自变量的微分之商所以导数又称微商计算函数的导数,乘以自变量的微分.

微分的求法：45ppt课件基本初等函数的微分公式函数的微分法则（与导数的相同）46ppt课件例2解例1解47ppt课件

函数的变化率问题导数函数的增量问题微分

求导数与微分的方法,叫做微分法。

微分在近似计算中的应用这里不是严格意义的无穷小，但仍然较小。这个式子可方便地计算一个函数在某点x0

附近的近似值。48ppt课件

例3：为使摆长为20cm的单摆振动周期增大0.05s，则摆长应增加多少？（g=981cm/s2）解;即，摆长应调整为22.23cm49ppt课件例4一个半径为1厘米的球，为了提高表面的光洁度，需要镀上一层铜，铜层厚度为0.01厘米，估计每只球需要用铜多少克（铜的密度为8.9g/cm3）解：每只球需用铜约50ppt课件

以下是常用的近似公式（|x|很小时):(x为弧度)(x为弧度)51ppt课件四、积分

问题的提出

定积分、不定积分的定义

定积分的几何意义

定积分的计算

不定积分的计算52ppt课件如何求图形中的面积？数方格。ＸＹx0y０xy=f(x)面积？如何求[x0,x]区间内曲线下的面积？

问题的提出53ppt课件用矩形面积近似取代曲边梯形面积。

求曲边梯形的面积abxyo（四个小矩形）axyobabxyo（九个小矩形）显然,小矩形越多,小矩形上边界带来的近似越小，得到的总面积越接近曲边梯形的精确面积.如何减小这个差别？54ppt课件曲边梯形总面积的近似值为：上面方法的一般化：将区间[a,b]分n等份，每一个小区间宽度为区间[xi,xi+1]对应的小矩形高取为，其面积为：55ppt课件所得到的矩形求和面积即为曲边梯形的精确面积：

当分割无限加细，即小区间的宽度时，56ppt课件（1）分割

变速直线运动中由速度求路程tvt00i……上述思路完全适用变速直线运动中由速度求路程问题

（2）求和路程的精确值（3）取极限57ppt课件问题：共性：它们求的都是在某个区间上的总量（总面积或总路程）。解决方法：通过无限分割的方法，把总量归结为求一种特定和式的极限。以上两个例子，一个是几何问题，求的是曲边梯形的面积；一个是物理问题，求的是变速直线运动的物体在一定时间内所走过的路程。58ppt课件被积函数被积表达式积分变量积分下限

积分的定义这种给出积分上、下限的积分称为定积分；不给出积分上、下限的积分称为不定积分。积分上线f(x)对x的积分59ppt课件曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值

定积分的几何意义60ppt课件

定积分的计算如果函数

f(x)

在

[a,b]区间是连续的，且如果在

[a,b]区间内

，则称为的原函数。

即，求一个函数的定积分关键是要找出其原函数，原函数在积分区间的增量即为其定积分值。牛顿--莱布尼兹公式

)()()(abdxfbaxjj-=ò有如：61ppt课件所以，积分是微分的无限求和，它是微分的逆运算。62ppt课件2、积分的性质63ppt课件解原函数式

例1求解面积例2

计算曲线在上与x轴所围成的平面图形的面积。

64ppt课件0

xABdx例3棒AB长6厘米，与棒A端相距x处的分布密度为求棒总质量。解：例4弹簧从原有长度被拉长a，求拉力做功。解：XF0ax65ppt课件第二次作业（9月14日）466ppt课件

回顾一、导数常用公式

解析：当区间间隔x0时的f(x)在x0处的变化率。物理:非均匀变化量在某点的变化率。几何:函数在某一点的导数值，表示函数曲线上该点的切线斜率。运算法则复合函数求导

N阶导数矢量的导数：67ppt课件微分公式微分法则二、微分：

解决函数的增量问题