【浙江专版】2022高考数学二轮三维专题数学思想方法与答题模板建构 全省一等奖

活用数学思想追求高效解题巧用答题模板建立答题规范第4讲数学思想方法与答题模板建构空间几何体在高考命题中涉及的常见数学思想有数形结合思想、函数与方程思想及化归与转化思想．1．函数与方程思想(1)在空间几何体的表面积体积计算中，常根据条件分析列出方程，利用方程确定未知量．(2)在用空间向量的运算解决空间线线、线面、面面的平行、垂直问题或求空间角时运用的主要思想就是通过列方程(组)求出未知量，得到直线的方向向量和平面的法向量，然后进行计算．(3)涉及空间几何体中的最值问题常用到函数思想．[例1]

(2011·四川高考)如图，半径为4的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________．[解析]法一：圆柱的轴截面如图所示，设球的半径与圆柱的高所成的角为α，则圆柱底面半径为4sinα，高为8cosα，∴S圆柱侧＝2π·4sinα·8cosα＝32πsin2α.当sin2α＝1时，S圆柱侧最大为32π.此时S球表－S圆柱侧＝4π·42－32π＝32π.[答案]

32π[点评]

本题综合考查了圆柱的侧面积公式、球的表面积公式．运用了函数与方程的思想，考查了学生分析问题，解决问题的能力．[例2]

(2011·江西高考)已知α1，α2，α3是三个相互平行的平面，平面α1，α2之间的距离为d1，平面α2，α3之间的距离为d2.直线l与α1，α2，α3分别相交于P1，P2，P3，那么“P1P2＝P2P3”是“d1＝d2”的 (

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件[答案]

C[点评]

本题借助平行平面的性质定理，考查了逻辑推理及空间问题平面化的解题思想．着重考查了空间想象能力及数形结合思想的运用．[命题角度分析]空间几何体在解答题中是每年必考大题之一．常见的命题形式一般有2～3问．前两问多为证明空间线、面位置关系(平行、垂直)，后一问多为计算问题(求面积、体积或空间角)．题型上有时会出现探索存在性问题．[答题模板构建](ⅰ)若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长；(ⅱ)在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P、B、C、D的距离都相等？说明理由．[解]法一：(1)因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD.┄┄┄(2分)又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.┄┄┄┄(3分)(2)以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A－xyz(如图)．(4分)在平面ABCD内，作CE∥AB交AD于点E，则CE⊥AD.在Rt△CDE中，DE＝CD·cos45°＝1，CE＝CD·sin45°＝1.设AB＝AP＝t，则B(t,0,0)，P(0,0，t)．由AB＋AD＝4得AD＝4－t，所以E(0,3－t,0)，C(1,3－t,0)，D(0,4－t,0)，＝(－1,1,0)，＝(0,4－t，－t)．(6分)由于方程③没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P、C、D的距离都相等．从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P、B、C、D的距离都相等．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(12分)⇒第一步根据条件分析得出所需垂直关系⇒第二步证明垂直关系⇒第三步建立适当坐标系，并写出相关点坐标⇒第四步求法向量并建立所需关系式

⇒第五步化简关系式确定是否有解⇒第六步得结论[答题模板构建]法二：(1)同法一┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(3分)(2)(i)同法一．┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(9分)(ii)假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等．由GC＝GD，得∠GCD＝∠GDC＝45°，从而∠CGD＝90°，即CG⊥AD，所以GD＝CD·cos45°＝1.┄┄┄┄┄┄┄(10分)设AB＝λ，则AD＝4－λ，AG＝AD－GD＝3－λ，根据条件分析得出所需垂直关系⇒第二步证明垂直关系

⇒第三步建立坐标系，求法向量后建立方程求解

⇒第四步假设存在并分析条件

⇒第五步列出关系式分析，得出矛盾，求解得结论[答题模板构建][解]

(1)证明：因为PA⊥平面ABCD，CE⊂平面ABCD，所以PA⊥CE.(2分)因为AB⊥AD，CE∥AB，所以CE⊥AD.┄┄┄┄┄┄┄┄(3分)又PA∩AD＝A，所以CE⊥平面PAD.┄┄┄┄┄┄┄┄(5分)(2)由(1)可知CE⊥AD.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(6分)在Rt△ECD中，DE＝CD·cos45°＝1，CE＝CD·sin45°＝1.又因为AB＝CE＝1，AB∥CE，所以四边形ABCE为矩形．(8分)⇒第一步根据条件分析所需垂直关系⇒第二步证明垂直关系

⇒第三步判断四边形形状并求面积⇒第四步确定几何体的高度⇒第五步