湖南省永州市川岩乡中学2022-2023学年高三数学理上学期摸底试题含解析

湖南省永州市川岩乡中学2022-2023学年高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.命题p：若a、b∈R，则|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要条件；命题q：函数y=的定义域是（－∞，－1∪[3，+∞，则

A．“p或q”为假

B．p假q真C．p真q假

D．“p且q”为真

参考答案：2.下列命题中的假命题是（）A．log23＜log35 B．?x∈（﹣∞，0），ex＞x+1C． D．?x＞0，x＞sinx参考答案：A【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】对于A．log23＞=，log35＜=，即可判断出真假．对于B．?x∈（﹣∞，0），令f（x）=ex﹣x﹣1，利用导数研究函数的单调性极值与最值，即可判断出真假．对于C．根据＜0＜=＜1=，即可判断出真假．对于D．令f（x）=x﹣sinx，x∈（0，+∞），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．【解答】解：对于A．∵log23＞=，log35＜=，∴log23＞log35，因此是假命题．对于B．?x∈（﹣∞，0），令f（x）=ex﹣x﹣1，f′（x）=ex﹣1＜0，因此函数f（x）单调递减，∴f（x）＞f（0）=0，∴ex＞x+1，因此是真命题．对于C．∵＜0＜=＜1=，因此是真命题．对于D．令f（x）=x﹣sinx，x∈（0，+∞），则f′（x）=1﹣cosx≥0，因此函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，∴f（x）＞f（0）=0，因此是真命题．故选：A．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.已知函数，若，则实数A.

B.

C.

D.或参考答案：D略4.在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝()A．－B.

C．－

D.参考答案：D略5.已知全集U=R，集合A＝，则集合等于

（▲）A．

B．

C．

D．参考答案：C略6.以下说法：①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；②设有一个回归方程，变量x增加1个单位时，y平均增加5个单位③线性回归方程必过④设具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，那么越接近于0，x，y之间的线性相关程度越高；⑤在一个2×2列联表中，由计算得K2的值，那么K2的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大。其中错误的个数是（

）A.0 B.1 C.2 D.3参考答案：C【分析】根据用样本估计总体、线性回归方程、独立性检验的基本概念和基本性质，逐项判断，即可得到本题答案.【详解】方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变，故①正确；一个回归方程，变量增加1个单位时，平均减少5个单位，故②不正确；线性回归方程必过样本中心点，故③正确；根据线性回归分析中相关系数的定义：在线性回归分析中，相关系数为r，越接近于1，相关程度越大，故④不正确；对于观察值来说，越大，“x与y有关系”的可信程度越大，故⑤正确.故选：C【点睛】本题主要考查用样本估计总体、线性回归方程、独立性检验的基本思想.7.一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为（

）A． B． C． D．参考答案：A满足条件的正三角形ABC如下图所示：其中正三角形ABC的面积S三角形=×16=4，满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于2的平面区域如图中阴影部分所示，则S阴影=2π，则使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于2的概率是：P=1﹣=1﹣π，故选：A．

8.是虚数单位，复数的实部为（

）A． B．

C．

D．参考答案：C略9.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（

）

A．①②

B．①③

C．①④

D．②④参考答案：②圆锥的正视图、侧视图、俯视图分别为三角形、三角形、圆；④正四棱锥的正视图、侧视图、俯视图分别为三角形、三角形、正方形；所以选D.10.若变量满足约束条件则的最大值为（A）6

（B）7

（C）8

（D）9参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量夹角为

，且||=1，|2－|=，则||=________.参考答案：12.若f（x）=，则f（x）dx=．参考答案：

【考点】定积分．【分析】根据函数各段的自变量范围将定积分表示﹣1到0以及0到1上的定积分的和，分别计算定积分值即可．【解答】解：f（x）=，则f（x）dx==（﹣）|+（）|=++﹣=；故答案为：．13.若α为锐角，且sin＝，则sinα的值为________．参考答案：14.在四边形中，，，则

参考答案：-115.若，则

；参考答案：16.圆C与圆关于直线y=－x对称,则圆C的方程为

.参考答案：17.函数的图象如图所示，则的值为_____．参考答案：【分析】先由图像求出函数解析式，再分别求出一个周期内的8个函数值，利用2019包含的周期个数以及余数进行求解.【详解】解：观察图像易知，，，所以所以，，，，所以因为2019除以8余3所以故答案为：【点睛】本题考查了的解析式及其周期性，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）函数的图象恒过定点A。若点A在直线上，

（1）写出定点A的坐标。

（2）求的最小值。

参考答案：解析：（1）令

的图象恒过定点A（1，1）

……4分

（2）点A（1，1）在直线上

……6分

……10分

当且仅当时取“=”

的最小值为4

……12分19.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC为正三角形，AA1=AB=6，D为AC的中点．（1）求证：直线AB1∥平面BC1D；（2）求证：平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）求三棱锥C﹣BC1D的体积．参考答案：（1）证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．∵D为AC中点，得DO为△AB1C中位线，∴A1B∥OD．∵OD?平面AB1C，A1B?平面BC1D，∴直线AB1∥平面BC1D；（2）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BD，∵底面ABC正三角形，D是AC的中点∴BD⊥AC∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，∵BD?平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）解：由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3，∴S△BCD==，∴VC﹣BC1D=VC1﹣BCD=??6=9．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．

专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．可得DO为△AB1C中位线，A1B∥OD，结合线面平行的判定定理，得A1B∥平面BC1D；（2）由AA1⊥底面ABC，得AA1⊥BD．正三角形ABC中，中线BD⊥AC，结合线面垂直的判定定理，得BD⊥平面ACC1A1，最后由面面垂直的判定定理，证出平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）利用等体积转换，即可求三棱锥C﹣BC1D的体积．解答：（1）证明：连接B1C交BC1于点O，连接OD，则点O为B1C的中点．∵D为AC中点，得DO为△AB1C中位线，∴A1B∥OD．∵OD?平面AB1C，A1B?平面BC1D，∴直线AB1∥平面BC1D；（2）证明：∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥BD，∵底面ABC正三角形，D是AC的中点∴BD⊥AC∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，∵BD?平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A；（3）解：由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60°=3，∴S△BCD==，∴VC﹣BC1D=VC1﹣BCD=??6=9．点评：本题给出直三棱柱，求证线面平行、面面垂直并探索三棱锥的体积，着重考查了空间线面平行、线面垂直的判定与性质，考查了锥体体积公式的应用，属于中档题．20.在中，角对边分别是，满足．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的最大值，并求取得最大值时角的大小．参考答案：略21.已知函数在处有极值10。（1）求a，b。（2）若方程在上有两个零点，求m的范围。参考答案：（1）解：，根据题意可得，即

易得此时，在x=1两侧附近符号相同，不合题意。当时，，此时，在两侧附近符号相异，符合题意。所以。

……6分(2)解在上有两个零点有两个根

即，函数与在有两个交点。…………8分由（1）知，

所以函数在单调递减，在单调递增

………10分

………12分22.已知函数；（1）解不等式；（2）若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.参考答案：