辽宁省朝阳市喀左蒙古族自治县平房子乡中学高三数学理联考试卷含解析

辽宁省朝阳市喀左蒙古族自治县平房子乡中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在中，，，则的最大值为（

）A．

B． C．

D．参考答案：D有正弦定理可得，故当时，的最大值为.故选D.2.运行如图所示的程序框图，则输出的结果是

(

)(A)(B)(C)(D)0参考答案：B3.已知定义在实数集R上的函数满足=2，且的导数在R上恒有<，则不等式的解集为（

）A．

B．

C．

D．∪参考答案：A略4.若复数满足i，其中i为虚数单位，则等于A．i

B．i

C．

D．参考答案：A5.已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点F为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|=m|PF|，当m取最大值时|PA|的值为（）A．1 B． C． D．2参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【分析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合|PA|=m|PF|，设PA的倾斜角为α，则当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P的坐标，即可求得|PA|的值．【解答】解：抛物线的标准方程为x2=4y，则抛物线的焦点为F（0，1），准线方程为y=﹣1，过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PF|，∵|PA|=m|PF|，∴|PA|=m|PN|，设PA的倾斜角为α，则sinα=，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，∴P（2，1），∴|PA|==2．故选D．【点评】本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，考查学生分析解决问题的能力，解答此题的关键是明确当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，属中档题．6.有四人在海边沙滩上发现10颗精致的珍珠，四人约定分配方案：四人先抽签排序①②③④，再由①号提出分配方案，四人表决，至少要有半数的赞成票才算通过，若通过就按此方案分配，否则提出方案的①号淘汰，不再参与分配，接下来由②号提出分配方案，三人表决…，依此类推．假设：1．四人都守信用，愿赌服输；2．提出分配方案的人一定会赞成自己的方案；3．四人都会最大限度争取个人利益．易知若①②都淘汰，则③号的最佳分配方案（能通过且对提出方案者最有利）是（10，0）（表示③、④号分配珍珠数分别是10和0）．问①号的最佳分配方案是（）A．（4，2，2，2） B．（9，0，1，0） C．（8，0，1，1） D．（7，0，1，2）参考答案：B【考点】进行简单的合情推理．【分析】若①②都淘汰，则③号的最佳分配方案（能通过且对提出方案者最有利）是（10，0）（表示③、④号分配珍珠数分别是10和0），可得结论．【解答】解：根据若①②都淘汰，则③号的最佳分配方案（能通过且对提出方案者最有利）是（10，0）（表示③、④号分配珍珠数分别是10和0），可知①号的最佳分配方案是（9，0，1，0），故选B．【点评】本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．7.若函数的图象的对称中心在区间内有且只有一个，则φ的值可以是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】根据正弦函数图象的对称中心是（kπ，0），求出φ的表达式，再根据题意求出φ的取值范围，即可得出φ的一个可能取值．【解答】解：根据题意，令2x+φ=kπ，k∈Z，得φ=kπ﹣2x，k∈Z；又函数f（x）图象的对称中心在区间（，）内，∴﹣2x∈（﹣，﹣），∴kπ﹣2x∈（kπ﹣，kπ﹣），k∈Z；当k=1时，φ∈（，），又0＜φ＜，∴φ的一个可能取值是．故选：D．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．8.已知实数x，y满足，则的取值范围是（

）A．[0,5] B． C． D．[0,5)参考答案：D画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线：，平移可知，，即的取值范围是，故选D．9.已知，，则的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A10.下列函数为奇函数的是（）A．y=x3+3x2 B．y= C．y=xsinx D．y=log2参考答案：D【考点】函数奇偶性的判断．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由条件判断各个选项中函数的奇偶性，从而得出结论．【解答】解：由于A、B、C中的函数的定义域为R，且满足f（﹣x）=f（x），故他们都是偶函数．对于D中的函数y=f（x）=的定义域为（﹣3，3），且满足f（﹣x）==﹣f（x），故它是奇函数，故选：D．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数=,其中a>1，若存在唯一的整数，使得，a的取值范围是

.参考答案：[，1）12.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为__________元.参考答案：解析:设甲种设备需要生产天,乙种设备需要生产天,该公司所需租赁费为元,则，甲、乙两种设备生产A,B两类产品的情况为下表所示:

产品

设备

A类产品

(件)(≥50)

B类产品

(件)(≥140)

租赁费

(元)

甲设备

5

10

200

乙设备

6

20

300

则满足的关系为即:,作出不等式表示的平面区域,当对应的直线过两直线的交点(4,5)时，目标函数取得最低为2300元.13.若变量x，y满足，则的最大值为

．参考答案：【考点】简单线性规划．【专题】作图题；转化思想；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，由的几何意义，即可行域内的动点与定点连线的斜率求得答案．【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，的几何意义为可行域内的动点（x，y）与定点P（2，﹣1）连线的斜率，∵．∴的最大值为﹣．故答案为：．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14.若复数（，为虚数单位）是纯虚数,则实数的值为

．参考答案：15..已知双曲线的渐近线被圆截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为__________．参考答案：圆的标准方程为，圆心为，半径为，一条渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，因为弦长为2，所以，所以．16.已知四棱锥P-ABCD的外接球为球O，底面ABCD是矩形，面PAD⊥底面ABCD，且，，则球O的表面积为

．参考答案：

17.（5分）如果y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f（x+a）=f（﹣x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”．给出下列命题：①函数y=sinx具有“P（a）性质”；②若奇函数y=f（x）具有“P（2）性质”，且f（1）=1，则f（2015）=1；③若函数y=f（x）具有“P（4）性质”，图象关于点（1，0）成中心对称，且在（﹣1，0）上单调递减，则y=f（x）在（﹣2，﹣1）上单调递减，在（1，2）上单调递增；④若不恒为零的函数y=f（x）同时具有“P（0）性质”和“P（3）性质”，且函数y=g（x）对?x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≥|g（x1）﹣g（x2）|成立，则函数y=g（x）是周期函数．其中正确的是（写出所有正确命题的编号）．参考答案：①③④【考点】：函数的周期性；抽象函数及其应用．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：①运用诱导公式证明sin（x+π）=﹣sin（x）=sin（﹣x）；②根据奇函数，周期性定义得出f（x+2）=f（﹣x）=﹣f（x），f（x+4）=f（x）；③根据解析式得出f（x+4）=f（﹣x），f（x）关于x=2对称，即f（2﹣x）=f（2+x），f（x）为偶函数，根题意得出图象也关于点（﹣1，0）成中心对称，且在（﹣2，﹣1）上单调递减，利用偶函数的对称得出：在（1，2）上单调递增；④利用定义式对称f（x）=f（﹣x），f（x+3）=f（﹣x）=f（x），推论得出f（x）为偶函数，且周期为3；解：①∵sin（x+π）=﹣sin（x）=sin（﹣x），∴函数y=sinx具有“P（a）性质”；∴①正确②∵若奇函数y=f（x）具有“P（2）性质”，∴f（x+2）=f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x+4）=f（x），周期为4，∵f（1）=1，f（2015）=f（3）=﹣f（1）=﹣1，∴②不正确，③∵若函数y=f（x）具有“P（4）性质”，∴f（x+4）=f（﹣x），∴f（x）关于x=2对称，即f（2﹣x）=f（2+x），∵图象关于点（1，0）成中心对称，∴f（2﹣x）=﹣f（x），即f（2+x）=﹣f（﹣x），∴得出：f（x）=f（﹣x），f（x）为偶函数，∵图象关于点（1，0）成中心对称，且在（﹣1，0）上单调递减，∴图象也关于点（﹣1，0）成中心对称，且在（﹣2，﹣1）上单调递减，根据偶函数的对称得出：在（1，2）上单调递增；故③正确．④∵“P（0）性质”和“P（3）性质”，∴f（x）=f（﹣x），f（x+3）=f（﹣x）=f（x），∴f（x）为偶函数，且周期为3，故④正确．故答案为：①③④．【点评】：本题考查了新概念的题目，函数的对称周期性，主要运用抽象函数性质判断，难度较大，特别是第3个选项，仔细推证．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）2017年6月深圳地铁总公司对深圳地铁1号线30个站的工作人员的服务态度进行了满意度调查，其中世界之窗、白石洲、高新园、深大、桃园、大新6个站的得分情况如下：地铁站世界之窗白石州高新园深大桃园大新满意度得分7076727072x已知6个站的平均得分为75分.（1）求大新站的满意度得分x，及这6个站满意度得分的标准差；（2）从表中前5个站中，随机地选2个站，求恰有1个站得分在区间（68，75）中的概率．

参考答案：解：（1）由题意，得，解得.

（2分）（5分）（2）前5个站中随机选出的2个站，基本事件有（世界之窗，白石洲），（世界之窗，高新园），（世界之窗，深大），（世界之窗，桃园），（白石洲，高新园），（白石洲，深大），（白石洲，桃园），（高新园，深大），（高新园，桃园），（深大，桃园）共10种，

（8分）这5个站中，满意度得分不在区间（68，75）中的只有白石洲.设A表示随机事件“从前5个站中，随机地选2个站，恰有1个站得分在区间（68，75）中”，则A中的基本事件有4种，

（10分）则

（12分）

19.如图，在底面是矩形的四棱锥中，⊥平面，，.是的中点.

（Ⅰ）求证：PB∥平面AEC；

（Ⅱ）求二面角所成平面角的余弦值；

（Ⅲ）求点到平面的距离.

参考答案：解析：（Ⅰ）连接BD

,

EO面AEC,PB,则PB∥平面AEC；（Ⅱ）连结、，取中点，连结

，则,∵平面，

∴平面，过作交于，连结，则就是二面角所成平面角.

由，则.在中，

解得因为是的中点，所以 而，由勾股定理可得

（Ⅲ）连结，在三棱锥中，

点到底面的距离，则由，即

求得所以点到平面的距离是.20.如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．（1）证明MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.参考答案：(1)证明由已知得AM＝AD＝2.取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，TN＝BC＝2.又AD∥BC，故TN綊AM，四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.因为AT?平面PAB，MN?平面PAB，所以MN∥平面PAB.(2)解取BC的中点E，连接AE.由AB＝AC得AE⊥BC，从而AE⊥AD，.以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知，P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N，＝(0,2，－4)，＝，＝.设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，则即可取n＝(0,2,1)．于是|cos〈n，〉|＝＝.设AN与平面PMN所成的角为θ，则sinθ＝，∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.

21.（本小题满分10分）在中，AB=AC，过点