高一数学空间点直线平面之间的位置关系

高一年级数学空间点、直线、平面之间的位置关系

由上一小节“平面”的学习，我们认识了空间中点、直线、平面之间的一些位置关系，如点在平面内，直线在平面内，两个平面相交，等等，空间中点、直线、平面之间还有其他位置关系吗？

8个顶点12条棱6个面在长方体ABCD-A1B1C1D1中：DBC1D1B1A1AC一、空间中点与直线、点与平面的位置关系观察：如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，点与直线、点与平面之间有哪些不同的位置关系？

DBC1D1B1A1AC一、空间中点与直线、点与平面的位置关系空间中点与直线的位置关系有两种：点在直线上和点在直线外．

A∈AB，AA1B1．空间中点与平面的位置关系也有两种：

点在平面内和点在平面外．

A∈平面ABCD，A平面A1B1C1D1．

DBC1D1B1A1AC1.空间中直线与直线的位置关系2.空间中直线与平面的位置关系3.空间中平面与平面的位置关系二、空间中直线、平面之间的位置关系1.空间中直线与直线的位置关系观察：如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线与直线之间有哪些不同的位置关系？

DBC1D1B1A1AC不同在任何一个平面内．没有公共点，

直线AB与DC在同一个平面ABCD内，它们没有公共点，它们是平行直线；直线AB与BC也是在同一个平面ABCD内，它们只有一个公共点B，它们是相交直线；

1.空间中直线与直线的位置关系那么，直线AB与CC1具有怎样的位置关系呢？DBC1D1B1A1ACABCD六角螺母

黑板一侧所在的直线与课桌边沿所在的直线之间．

旗杆所在的直线与其正后方跑道所在的直线之间．

我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线（skewlines）．（1）异面直线的定义思考：分别在两个平面内的两条直线是否一定是异面直线？答：不一定．

它们可能是异面直线，可能是相交直线，也可能是平行直线．

a与b是相交直线a与b是平行直线a与b是异面直线abMabab共面直线相交直线：在同一个平面内，有且只有一个公共点；平行直线：在同一个平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点．空间两条直线的位置关系有三种

无公共点画异面直线时，为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托．abab(2)(1)(2)异面直线的画法αβα2.空间中直线与平面的位置关系

观察：如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线与平面之间有哪些不同的位置关系？

DBC1D1B1A1AC2.空间中直线与平面的位置关系直线AB与平面ABCD

直线AA1与平面ABCD直线A1B1与平面ABCD

——有无数个公共点；——有只且有一个公共点A；——没有公共点．DBC1D1B1A1AC观察：一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面之间，可能有哪几种位置关系？当直线与平面相交或平行时，直线不在平面内，也称为直线在平面外．

（1）直线在平面内——有无数个公共点；

（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点；

（3）直线与平面平行——没有公共点．直线与平面的位置关系有且只有三种aααAaaαa//α直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行a⊂αa∩α=Α三种位置关系的图形表示及符号表示我们常把直线与平面相交或平行的情况称为直线在平面外，符号记作aα．思考：“直线与平面不相交”和“直线与平面没有公共点”是一回事吗？提示：不是．“直线与平面不相交”包括直线与平面平行及直线在平面内两种可能情况；而“直线与平面没有公共点”仅指直线与平面平行．3.空间中平面与平面的位置关系观察：在如图所示的长方体中，平面与平面之间有哪些不同的位置关系？平面ABCD与平面A1B1C1D1平面ABCD与平面BCC1B1没有公共点；有一条公共直线BC．DBC1D1B1A1AC

观察：教室里的地面与桌面，黑板所在墙面与地面之间有哪些关系？直观感觉：桌面与地面：平行．墙面与地面：相交．

（1）两个平面平行——（2）两个平面相交——两个平面之间的位置关系有且只有两种α∥βαβ没有公共点；有一条公共直线．βαα∩β=ll思考：

1.若一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面之间有怎样的位置关系？2.若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面一定平行是否正确？不正确平行例题如图，用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系．（1）ABalαβαβabP（2）l分析：平面α与β相交于直线l，直线a分别交平面α、β于点A、B．（1）ABalαβ解：α∩β=l，a∩α=A，a∩β=B．（1）ABalαβ分析：平面α与β相交于直线l，直线a在平面α内，直线b在平面β内，直线a与l交于点P，直线b与l交于点P，直线a与b相交于点P．αβabP（2）l解：α∩β=l，a⊂α，b⊂β，a∩l=P，b∩l=P，

a∩b=P．αβabP（2）l例题判断下列命题是否正确．(1)若直线l上有无数个点不在平面α内，则l//α；(2)若l//α，则直线l

与平面α内任一条直线都平行；(3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；(4)若l//α，则直线l与平面α内任意一条直线都没有公共

点．例题判断下列命题是否正确．(1)若直线l上有无数个点不在平面α内，则l//α；错误αAllα例题判断下列命题是否正确．(2)若l//α，则直线l

与平面α内任一条直线都平行；错误lα错误满足：A1B1//ABA1B1//平面ΑΒCD但是：AB⊂平面ΑΒCD例题判断下列命题是否正确．(3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；DBC1D1B1A1AC正确例题判断下列命题是否正确．(4)若l//α，则直线l与平面α内任意一条直线都没有公共点．

解：直线AB与直线l是异面直线．理由是．若直线AB与直线l不是异面直线，则它们相交或平行．设它们确定的平面为β，则B∈β，l⊂β．由于经过点B与直线l有且仅有一个平面α，因此平面α与β重合，从而AB⊂α，进而A∈α，这与Aα矛盾．所以直线AB与l是异面直线．αBAl例题如图，AB∩α=B，Aα，l⊂α，Bl，直线AB与l具有怎样的位置关系？为什么？例题如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么，AB、CD、EF、GH这四条线段中，哪些线段所在直线是异面直线？例题如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么，AB、CD、EF、GH这四条线段中，哪些线段所在直线是异面直线？例题

如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么，AB、CD、EF、GH这四条线段中，哪些线段所在直线是异面直线？由图可知，满足条件的线段分别为：AB与CD，AB与GH，EF与GH．解：1.弄清楚空间中点、直线、平面之间各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，同时要有画图意识，并借助于空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题．2.长方体是一个特殊的图形，当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找长方体作为载体，将它们置于其中，立体几何中的直线与平面的位置关系都可以在这个模型中得到反映，因而人们给它以“百宝箱”之称．课堂小结作业一1、画出满足下列条件的图形：（1）a⊂α，b⊂α，a∩b=Α，c∩α=Α；（2）α∩β=l，ΑΒ⊂α，CD⊂β，ΑΒ//l，CD//l．2、填空题（1）如果a，b是异面直线，直线c与a，b都相交，那么这三条直线中的两条所确定的平面共有_____个；（2）若一条直线与两个平行平面中的一个平行，