2019-2020学年上海市杨浦区复旦附中高一下学期数学期中考试试卷带详解

复旦附中高一期中数学试卷一.填空题L一个面积为1的扇形，所对弧长也为1，则该扇形的圆心角是 弧度2.计算sill40osiιι100o-siιι50osiιι10°=二函数＞=sιnx,χ∈g,ι］的反函数记为g(χ),则g(；)=.在AABC中，若4=√T,b=l,A=60o,则5=.己知等比数列｛4｝中，%=4,4=8,则q°=&已知等差数列｛%｝,若％+%+。9=4%，则sin(/+4)=.己知数列{〃〃}(“∈M)中,q=l,%舄’则3.把函数丁=3m1(工+4)-1的图像向右平移e(夕＞o)个单位，使得点成为图像的一个对称中心，则。的最小值是 CY江¢/、 2+SHlX+COSX/n、口∣比工/函数/(X)=--一— (X∈R)最小值为3-sιn2xZO正整数列｛。“｝满足q=。，且对于〃∈N*有3%+14是奇数%(I是偶数’若&i则"所有可能2 〃取值为.定义在R上的奇函数》=/W满足/(tan.r)=sιn(2.r)对任意X∈(θ,ɪ)成立，则/(M值域为是一个边长为1的正三角形，心是将该正三角形沿三边中点连线等分成四份后去掉中间一份的正三角形后所形成的图形，依次类推［田是对丁〃中所含有的所有正三角形都去掉中间一份(如图)，记S〃为了〃的二.选择工：5.在4A5C中,“sin4＞巫”是“Ac二”的()条件

2 4A.充分非必要 6必要非充分 C.充要:L4.以下哪个不是吆7可能取值()52qn+1A.2 B.-1 C. 2D.既非充分又非必要D.-7r1、25.若等差数列｛%｝首项为2,公差为2,其前〃项和记为S“，则数列｛针｝前〃项和为()2/7 π 1 nA- B. C.~■ ~ D.~ ~/7+1 〃+1 n(n+l) 2(〃+1)JT TT已知函数/(X)=ASIn(公Y+夕)(其中人、①、。均为正的常数)的最小正周期为,，当X=1时,函数/(x)取得最小值，则下列结论正确的是()A./(1)<∕(-l)</(O) E.ʃ(θ)<∕(1)<∕(-1)C.Λ-1)<∕(O)<∕(1)D/(l)<∕(O)<∕(-l)三.解答ɔ∕∑*ɪ.已知35。+/)=^^tan/=,,且。、夕£(。，5)・(1)求cos?尸一Sin'/?+Sin夕COS夕的值;(2)求2α+∕7的值..已知函数/(X)=SinX(JJCOSx+sinX).(1)求y=∕(χ)单调减区间；(2)当χ∈[2,与时，求/a)的最大值和最小值.631•/△ABC中，内角4、B、C的对边分别为。、b、c,已知b+c=l,且(4+c)(a—c)=b(Z?-c).(1)求角A的大小；(2)求三角形面积,.c的最大值..设数列｛〃”｝的前〃项和为S”，且(Sn-I)'a'"∈N*),设“=(一1严(〃+1)2%凡+]("∈N*),数列｛”｝的前〃项和∕∙(1)求5、S>Si值；(2)利用“归纳一猜想一证明"求出S”的通项公式；(3)求数列｛1｝的通项公式..已知数列｛〃”｝和｛4｝满足q=1，4=0,4απ+1=3βn-⅛+4,4⅛+1=3⅛-λ,j-4.(1)证明：｛%+4｝是等比数列，也「4｝是等差数列；(2)求｛4｝和也J的通项公式；an〃是奇数 1(3)令g=< 曰/田湖，求数列｛%｝的前〃项和S”的通项公式，并求数列｛不｝的最大值、最小值,bn〃是偶数 七并指出分别是第几项.复旦附中高一期中数学试卷一.填空题工.一个面积为1的扇形，所对弧长也为1,则该扇形的圆心角是 弧度【答案】I【解析】【分析】设扇形的所在圆的半径为广，圆心角为应用扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组，即可求解.【详解】设扇形的所在圆的半径为「，圆心角为因为扇形的面积为1,弧长也为1,z∖-a∙r2=I{a∙r=2z 1可得42 ,即〈 ，解得r=2,α=:7.Z1 ar=l 2ar=∖故答案为：—【点睛】本题主要考杳了扇形的弧长公式和面积公式的应用，其中解答中熟练应用扇形的弧长公式和面枳公式，列出方程组是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.2.计算sill40osiιι100o-siιι50osiιι10°=【答案】I【解析】【分析】利用诱导公式和两角差的正弦公式，即可得到答案；【详解】原式=Sin400COSlO。一COS400SinIo°=sin300=；,故答案为：ɪ2【点睛】本题考查诱导公式和两角差的正弦公式的应用，考查转化与化归思想，考杳运算求解能力.二函数＞=sιnx,x∈g,∕r］的反函数记为g(x),则g(g)=【答案】ɪ6【解析】【分析】点(菖，；)在原函数y=su】x的图象上，根据题意两函数图象关于直线y=χ对称知点(W)在反函数g(χ)的图象上,得解.【详解】因为当x∈C"]时，sin—=i,所以点(?之)在原函数)=sirx的图象上，2 6 2 62因为g(x)是函数y=Sinx,x∈[g,司!的反函数，所以点(上当在反函数g(x)的图象上，则gd)=E26 2 6故答案为：—6【点睛】本题考查两个互为反函数的函数图象的对称性、正弦函数的图象与性质，属于基础题..在AABC中，若4=√T,b=l,A=60o,则5=【答案】ɪO【解析】【分析】直接利用正弦定理，结合三角形解的个数判定，即可得到答案；ab√3 1 .d1【详解】=SinAsinWSlnB 2，T•；a>b,：.A>B.∙.B=-16故答案为：6【点睛】本题考杳正弦定理\三角形解的个数，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力..己知等比数列｛4｝中，生=4,a6=S,则q°=【答案】16【解析】【分析】将等比数列的通项公式代入生=4,4=8中，可得04,再求《。的值。4=%・clλ【详解】生=4,4=8,.∙.｛ =>q=2,.∙.al0=a6∙q=16,8=q∙q,故答案为：16.【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量运算，考查运算求解能力，求解时注意广义通项公式的应用.6.己知等差数列｛《J，若4+%+〃9=4乃，则sin(%+%)=【答案】@2【解析】【分析】根据等差中项可得名=今，从而得到sm(生+∕)=sιn,,利用诱导公式，即可得答案；4%【详解】*；%+%÷%=4乃,:.a5=-,../ 、.航.2/JT・・sm(cz2+a3)=SUl——=sin——=——，故答案为：立.2【点睛】本题考查等差中项诱导公式的应用，考查逻辑推理能力、运算求解能力.7.己知数列｛为｝("∈N")中，q=l,%+1=2：；1'则4”=【答案]-ɪ-2〃一1【解析】分析】对已有的递推关系取倒数，则可构建新数列>gN它是等差数列，求出其通项后可求｛q｝的通项.an IlC【详解】因为q,+ι=LH∙,所以——=一+2,2%+1Cinjrian1ɔ[1所以 =2,故〈一是以1为首项，2为公差的的等差数列,“4所以台1+2（1）=21,所以a.=*,填∕i∙【点睛】给定数列的递推关系，我们常需要对其做变形构建新数列（新数列的通项容易求得），常见的递推关系和变形方法如下：(1)1 1 q取倒数变形为 ='：4%P（2）a“=p%Li+q（pq≠0）,变形为孑=^+*（pq芋。、PW1）,也可以变形为q qan-∖一=P 一 ；I-PI I-PJ8.把函数y=3sin（x+4）-l的图像向右平移夕（6>>0）个单位，使得点（1,-1）成为图像的一个对称中心，则夕的最小值是 【答案】ɪ6【解析】【分析】根据平移变换可得平移后的解析式为y=3sm（x-d+f）-1,将点的坐标代入该解析式可得θ=-kπ+-,k∈Z,从而可得6的最小值为竺.6 64万【详解】把函数y=3sin（x+q-）-l的图像向右平移夕（夕>0）个单位，4万可得y=3sin（x一夕+丁）-1,依题意可得点（宗-1）在函数）=3Sln（X—夕+?）-1的图象上，π 4乃 K 4TF所以一1=3Sln（万一夕+-）-1,即sm（y-6>+—）=0,所以 6τ =kTT,keZ92 3即夕=一人乃+」，keZ96Stt因为。〉0,所以k=l时，夕取得最小值一.6故答案为：?O【点睛】本题考查了函数图象的平移变换，考查了函图象数的对称中心，属于基础题.I函数/(x)=2+sm∙'+cos"(XeR)的最小值为3-sιn2x【解析】【分析】设USlnX+cosx,得到sm2x=产一1,且T∈H∕Σ∙√∑],得出函数/(x)=4⅛,再利用换元法，令4—/m=f+2,得出函数/(〃7)=—求得函数的最小值，即可求解.4-m【详解】设，=SlnX+cosX，则产=(SinX+cosXf=sin2x+cos2x+2si∩ΛCθsx=l+sin2x,可得sin2x=产一1，又由f=SinX+cosX=√2Sin(X+^)∈[-√2,√2],C-…十皿、2+sιnx+COsxt+2 r所以函数/(M=--——--=-7,r∈[-√2,√2],3-sm2x 4一广令机=f+2,则加∈[2-J5,2+J7],且/ 2,所以〃⑼=Hl14一一Iy4〃？一nr4一m因为〃7∈[2—0,2+J5],则4—m∈[2-"2+0，所以f(小)的最小值为^ɪ==7-^~即函数/(元)的最小值为"立2故答案为：匕巫2【点睛】本题考查了三角函数的基本关系式，三角函数的图象与性质综合应用，以及函数最值的求解，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.IZZ正整数列｛%｝满足q=。，且对于〃∈N*有3an+1%是奇数=Va 口∕m小心，8“6=1，则。的所有可能Tan是偶数2取值为【答案】4、5或32【解析】【分析】由正整数列｛6｝满足q=。，且对于〃∈N*有3%+1是奇数⅜ 。“是偶数’结合逐步逆推即可得解.【详解】解:因为正整数列｛qj满足《二。，且对于〃∈N*有/+1=3q+1是奇数2凡是偶数’2由4=1,则%=2或%=。(舍)，则%=4,则生=1，a2=2,《=4或。3=8,%=16,。]=5或。3=8,%=16,π1=32,即a的所有可能取值为4、5或32,故答案为:4、5或32.【点睛】本题考查了数列的递推关系，重点考查了运算能力，属基础题..定义在R上的奇函数y=f(x)满足/(tanX)=sιn(2x)对任意X∈(θ,ɪ)成立，则/(M值域为【答案】[T1]【解析】【分析】先由三角恒等变换可得/(tanX)=上空二对任意x∈(0,工)成立，即定义在H上的奇函数y=∕(f)满足l÷taιrx 2当fe(0,+s)时，/«)=1方，然后结合重要不等式及函数的奇偶性求值域即可.【详解】解：由/(tanX)=SIn2x,则f(tanx)=2tanj对任意X∈。马成立，l+taιr% 2令1=匕14,X40或，2/则fe(0,+s),即定义在R上的奇函数y=∕(f)满足当1《0,+8)时，/«)=厂产,z、 2/,2/ 1 zη又当f∈(0,+s)时，--ξ≤--===19即/(0£(0,1],1+， 2√1×∕"又函数y=f(t)为定义在R上的奇函数，则/(O)=0,且当，€(—8,0)时，/(∕)∈［-l,0),综上可得/«)值域为［—1,1］,即AM值域为［一口］,故答案为：［―1,1］.【点睛】本题考查了三角函数的万能公式，重点考杳了函数奇偶性的应用，属基础题.是一个边长为1的正三角形，心是将该正三角形沿三边中点连线等分成四份后去掉中间一份的正三角形后所形成的图形，依次类推［田是对丁〃中所含有的所有正三角形都去掉中间一份(如图)，记S〃为了〃的面积,面=，+S?+…+S=则0=【答案】技7“)【解析】【分析】由图结合归纳推理可得数列｛s,J是以正为首项，2为公比的等比数列，然后结合等比数列前〃项和公式4 4求解即可.【详解】解：由图可知，后一个图形中剩下的三角形个数是前一个的三倍,即第"个图形中剩下的三角形个数为3〃T,又后一个图形中剩下的三角形的边长是前→呜倍,所以第〃个图形中剩下的每一个三角形的边长为(g)"T,其面枳为也(L)〃T,即s”=即数列｛s〃｝是以手为首项，5为公比的等比数列，/ʒi-(ɪr a则2=y+邑+…+S”=与一=√3(l-(-f),4U 44故答案为：√3(1-(-/).4【点睛】本题考查了等比数列的综合应用，重点考杳了归纳推理，属中档题.二.选择题13在AABC中，“sm4>YZ”是“A<三”的()条件2 4A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分又非必要【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的性质，得到当SInA>立时，Av三是成立的，再利用反例，得出必要性不一定成立,2 4即求解.【详解】在A46C中，由SlnA>巫，因为A∈(O,∕r),可得2<Av",2 4 4所以当SlnA〉巫时，Ac又是成立的，即充分性成立；2 4反之：例如A=1<W,此时SInA=9<巫，即必要性不一定成立.6 4 2 2所以“sinA〉巫”是“A<?”的充分不必要条件.2 4故选:A【点睛】本题主要考杳了充分不必要条件的判定，其中解答中熟练应用三角函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法求解是解答的关健，着重考查推理与运算能力.2不以下哪个不是Hm与』可能的取52cfl+1值()5A.2 B.-1 C.—— D.-72【答案】D【解析】【分析】对q的取值进行分类讨论，即可得答案；【详解】（1）若q=:，则q"→0,∙∙∙hmj =2：2 “→x2q"+l2—5ɔ_5°八 ∩n 5（2）若q=2,则/→—,.∙.Iim—亍—=~~-=--；"→∞2∕+l^→=c2+J_2

q"（3）若q=1,则∕l=1,.∙.1Im:"=-1：52q“÷1利用排除法可得D选项不可能，故选：D.【点睛】本题考查数列极限的求解，考查分类讨论思想，考杳逻辑推理能力、运算求解能力..若等差数列｛%｝首项为2,公差为2,其前〃项和记为S“，则数列｛^｝前〃项和为（）ɔ・.2〃 π / 〃ʌn+1 Bn+1 ,〃（〃+/） D，2（〃+1）【答案】C【解析】【分析】,1、 ,1、根据等差数列前〃项和公式求出SQ从而得出｛9｝的通项公式，再用裂项相消法即可求出数列｛f｝前〃项ɔ ɔn n和.【详解】等差数列前〃项S”=〃q+“"；T）d,等差数列｛%｝首项为2,公差为2,代入可得H（∣1-1]z 1 1 1 1 3Sr=2/7+ -×2=n（n+l）,所以τr=ʒ n= 7,所以数列｛3｝前”项和为π 2 ' S〃〃（〃+1）〃〃+1 SnTlIIlIlIl1InJn=1 1 1 1 1 =1 = -〃 22334n〃+1 /?+1n+1故选：B【点睛】本题主要考杳等差数列前〃项和的求法，以及裂项相消法求数列前〃项和.JT tTT.已知函数/（X）=ASIn（的+夕）（其中人、①、。均为正的常数）的最小正周期为,，当X=H时，函数/（X）取得最小值，则下列结论正确的是（）A./(l)<∕(-l)<∕(O)C./(-l)<∕(O)<∕(l)B./(O)<∕(l)<∕(-l)D∙/⑴<∕(O)<∕(T)【答案】A【解析】【分析】根据周期公式可得g=4,根据当x=2时，函数/(X)取得最小值，可得0=2%万—口万，keZ,所以3 6“X)=ASIn(4x+1),再利用诱导公式以及三角函数的性质比较大小可得答案.【详解】依题意得葺=Ι，解得g=4,所以/(x)=ASln(4x+。)，因为当X=2时，函数AM取得最小值，3所以4χg+°=2k乃一 k∈Z,即勿=2k万一，万,k∈Z»所以/(x)=ASIn(4x+2k∕r-∖∖π)=Asin(4x-l∖πJl)=Asiιι(4%-2π+-)=Asm(4x+—),

6 666因为乃<4+巳<一且4>0,所以/(1)=Asm(4+¾<0,6 2 6因为ʃ(-l)=Asin(-4+—)=Asiιι(-4+-+2π)=Asin［万一(-4+—+2-τ)］6 6 6π=Λsin(4-乃)=Asin(4一丹ɪ),6_ʌ. 1∖τtTtTt”…八zλ11、Tt又0<4 <—<—,以］以0<sιn(4 π)<sm—96 62 6 6因为A>O,所以。</(一1)</(0),综上所述：/(1)<∕(-l)</(0).故选：A【点睛】本题考查了根据三角函数的性质求解析式，考查了诱导公式，考查了利用正弦函数的单调性比较大小，属于中档题.三.解答题.EΛ□cos(α+∕)=⅛^,tan/=；,且。、∕7∈(0ɪ).5 7 2(1)求cos?4-Sin2夕+sin/?COS夕的值;(2)求2α+∕7值.【答案】(I)ɪɪ:(2)10 4【解析】【分析】(1)原式除以CoS'/+sin?/,分子分母再同时除以COS2/7即可得解：(2)由CoS(α+/7)=之巨及二倍角公式求出cos2(α+∕7)、sm2(α+∕7)再由tan/7=ɪ求出siιι/7、cos/7代入cos(2a+=cos[2(α+〃)一夕]的展开式即可得解.■、乂一▼一, cos-β-sin-β+sinβcosβ【详解】⑴原式=1-tan2/7+tan/?_11—l+taιr^—"10：(2)∙.∙cos(α+/)=丝>0且α+)w(0∙4)，∙∙.α+∕∈(0,/),则sιn(α+/?)=手,4 ɔ.∖cos2(α+/)=2cos∖0+/)—1=2X--I=-,5 54sιn2(α+∕7)=2sm(α+∕7)cos(α+∕7)=-,∙∙*tan∕7=∣,∕7∈(0,y),.∙.sm^=^,cos∕?=-ɪ:.∙.COS(2。+/?)=COS[2(α+/7)-/7]=cos2(α+β)cQsβ+sin2(α+/7)sinβ=^,×÷i×叵=五,5 10 510 2又α+夕∈(0,2),ɑe(θ,ɪ),/.2a+∕7∈(0,^).∙.2a+∕7=-.2 2 4【点睛】本题考查利用同角三角函数的关系化简求值、二倍角公式、两角和的余弦公式、配凑法求三角函数值，属于中档题.28.已知函数/(X)=SinX(JJCOSX+sinX).(I)求y=/(X)的单调减区间；(2)当χ∈令§时，求/(χ)的最大值和最小值.【答案】(1)[kτr+-9kτr+ɪ-](/c∈Z)；(2)最大值为7,最小值为L3 6 2【解析】【分析】π1(1)由二倍角公式及辅助角公式可知/(x)=sin2x--+-,^-+2kπ^2x--^z

\ 6√2 2 63π+2kπ,k∈Z，2即可求出单调减区间.（2）令f=2x—生，则可知/（f）=smf+上结合正弦函数的单调性即可求出函数的最值.6 2 62【详解】解：⑴/(A)=>∕3sin%cosɪ+sm2x2l-cos2.r21+-2^—+2kλb≤2x-ɪ≤—+2kπ,k∈Z，解得三十k兀WXW江+kτr,k∈Z2 6 2 3 6则/（x）单调减区间为伙乃+§,我乃+彳-],/c∈Z.(2)令f=2x-"，因为x∈[,?则6 63 L62」即/(f)=Slnr+,J∈由于/(f)=sιn∕在∕∈上单调递增，则当/=2时,

6/('),二1；一 ɔ ɔ当f=g时，/（∕）max=5•即AQ的最大值为5,最小值为L乙 乙 乙【点睛】本题考查了二倍角公式，考查了辅助角公式，考查了正弦函数单调性的求解，考杳了正弦函数最值的求解.本题的关键是结合公式对函数的解析式进行整理变形.求正弦型函数的单调性时，常结合整体的思想列出不等式进行求解：求正弦型函数的最值时，常用换元法，结合函数的单调性、图像进行求解.1•/△ABC中，内角A、B、C的对边分别为。、b、c,己知b+c=l,且（。+。）（。一。）=伙〃一。）.（1）求角A的大小；（2）求三角形面积Smm的最大值.【答案】（1）4=f；（2）走.3 16【解析】分析】（1）将（α+c）（4-G=AS-G化简为Z√+∕-∕=bc,然后用余弦定理即可求解：（2）先求出角A的正弦值，然后可得C=I%csuιA,再根据基本不等式即可求出SSABC的最大值.2【详解】（1）由m+c）m—c）=b（〃—C）可得/+/一。2=儿.，由余弦定理可得I*» ）， ] TT-CoSA=〃+"L因为角A为三角形内角，所以A=—Ibc2 3（2）由（1）知4=工，所以siiiA= ，3 2又Hc=JL,所以邑MC22=-bcsmA≤-SInA=①，当且仅当〃=c=2时取“=”，所以三角形面积S"sc的16 2最大值为YL16【点睛】本题主要考杳余弦定理和三角形面枳公式，解题时涉及到用基本不等式求最值.20设数列｛”“｝的前〃项和为S”，R（Sn-l）2=anSn"∈N*）,设）=（-l）/15+l）F%（“GN）,数列｛£｝的前〃项和7?（1）求5、S2、§3的值；（2）利用“归纳一猜想一证明"求出S”的通项公式;（3）求数列｛1｝的通项公式.【答案】(1)51=isɔ=1,S3=：；(2)S.二—12 -3 4 n+1(n∈N*)：(3)Tn=1(1 1 (-1)/12z(〃+1)(〃+2)【解析】【分析】⑴先代〃=1,求得当〃≥2时，根据为=S〃—S“T，化简得到S“与SjT的递推式，再代〃=2,3,求得邑,邑，并为求第（2）问提供基础;（2）由（1）归纳猜想5“，并用数学归纳法证明；（3）由（2）求得的S”，求出并化简"，分析”，发现可用裂项相消法求解,考虑消去方便，可对〃分奇数和偶数两种情况分析，最后合并得到答案.【详解】解：（1）由⑸—if=**,令〃=1,则（SLIF=Sj,得I=；,当〃≥2时，由%=S“一Sflτ,得（S.-If=（Sjj-Si）Sll,得S“=『J，2 3 12 3令〃=2,得S,=—,令〃=3,得S,=—,即H=—, =—,S3=—.■3 4 2 -3 4(2)由(1)知H=L,S,=2,S3=-,猜想5〃=’-,12 -3 34 〃〃+1下面用数学归纳法证明：①当〃=1时，由猜想知显然成立；②假设〃二k猜想成立，即SA=ʒ—κ+lC1= ：—k+1 k+∖则当”=〃+1时，由(1)有Sjt+]==F k=---=-~~――,2-5jt 2 κ+2(k+l)+lk+1即当”=〃+1时，猜想S〃=/一也成立.77+1综合①@可知，猜想S,=’-成立，即s〃=/一n+1 /7+1(3)由(2)知当〃≥2时，all=Sn-Sn,l= 12 7?+1 11 +综合知：%= '又"∣=(T)"“(〃+1尸,40”+1，11则”=(一1严5+1)"n(ιι+∖)(〃+1)(〃+2)/?(//+2)^ 21)〃+2n当〃为偶数时，TIrzl1、Λ1 11 11 ,Tn=ɪ[(l-ɜ)-(ɪ-77-1/7+1)一(977+2)]40^-1)当〃为奇数时,—/7+127?+2尸为+(〃+1)(〃+2)111TTl1」 -1 11 1IzI 1 、“=n-ɪ+“=2(2+7?(n+l))+2⅛^nT2)=5万+(〃+1)(〃+2))综上“得…+■严)“22(π+1)(∕7+2)【点睛】本题考查了。“与Sn的关系，并利用归纳猜想S“，并用数学归纳法证明，还考查了更杂类型的裂项相消法.2L已知数列｛凡｝和也｝满足《=1，4=0,4。出=3见一%+4,4⅛+1=3⅛,r-an-4.(1)证明：｛%+4｝是等比数列，｛q-"｝是等差数列；(2)求｛%｝和｛"｝的通项公式;an〃是奇数 ，、 C f1.（3）令曰/田如，求数列｛%｝的前"项和S”的通项公式，并求数列｛不｝的最大值、最小值