2021年全国统一高考数学试卷(新高考Ⅰ)(解析版)

2021年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）一、选择题（共小题，每小题分，共分）8540.．设集合＝﹣＜＜，＝，，，，则∩＝（）A{x|2x4}B{2345}AB1A．{2}B．，{23}C．，{34}D．，，{234}．已知＝﹣，则（）＝（）z2iz+i2A．﹣62iB．﹣42iC．6+2iD．4+2i3．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A．2B．2C．4D．4．下列区间中，函数（）＝（﹣）单调递增的区间是（）fx7sinx4．（，）B．（，）C．（，）．（，）πππ2A0D．已知，是椭圆：＝的两个焦点，点在上，则|MF1|•|MF2|的最大值5FFC+1MC12为（）A．13B．12C．9D．66．若tanθ＝﹣，则2＝（）A．﹣B．﹣C．D．．若过点（，）可以作曲线＝的两条切线，则（）abyex78．＜Aeab．＜Beba．＜＜．＜＜C0aebD0bea．有个相同的球，分别标有数字，，，，，，从中有放回的随机取两次，每次取6123456个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数1字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立D．丙与丁相互独立C．乙与丙相互独立二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合4520题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选的错得0分。．有一组样本数据，，xx…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中＝yyyyni9x12n12（＝，，…，），为非零常数，则（）xi+ci12ncA．两组样本数据的样本平均数相同B．两组样本数据的样本中位数相同C．两组样本数据的样本标准差相同D．两组样本数据的样本极差相同10．已知O为坐标原点，点P（cosα，sinα），P（cosβ，﹣sinβ），P（cos（α+β），sin123（α+β）），（A1，0），则（）A．||＝|C．•＝•11．已知点P在圆（x﹣5）2+（y﹣5）＝2A．点P到直线AB的距离小于|B．||＝||D．•＝•16上，点A（4，0），B（0，2），则（）10B．点P到直线AB的距离大于2C．当∠PBA最小时，|PB|＝3D．当∠PBA最大时，12．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，μ∈[0，1]，则（）A．当λ＝1时，△ABP的周长为定值B．当μ＝1时，三棱锥C．当λ＝时，有且仅有一个点μ＝时，有且仅有一个点D．当P，使得|PB|＝3AB＝AA1＝1，点P满足＝λ+μ，其中λ∈[0，1]，1P﹣ABC的体积为定值1P，使得AP⊥BP1AB⊥平面AB1P1三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。452013．已知函数f（x）＝x（a•2﹣2）是偶函数，则a＝．C：y＝2px（p＞0）的焦点为F，P为C上一点，||＝6，则的准线方程3﹣xx14．已知O为坐标原点，抛物线PF与x2轴垂直，为轴上一点，且⊥．若QxPQOPFQC为．15．函数16．某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为20dm×12dm的长方1次共10×12dm，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240dm22次共可以得到f（x）＝|2x﹣1|﹣2lnx的最小值为．形纸，对折可以得到dm，对折dm5×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝180dm2，以此类推．则对折4次共可；如果对折n次，那么＝dm2．以得到不同规格图形的种数为Sk四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知数列{a}满足a1＝1，a+1＝nnbabb（1）记＝，写出，，并求数列{b}的通项公式；2n12nn（2）求{a}的前20项和．n18．某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，能且正确回答问题的概率与回答次序无关．（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．19．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC＝asinC．（1）证明：BD＝b；（2）若AD＝2DC，求cos∠ABC．20．如图，在三棱锥A﹣BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O为BD的中点．（1）证明：OA⊥CD；OCD（2）若△是边长为1的等边三角形，点E在棱上AD，DE＝2EA，且二面角﹣EBC﹣D的大小为45°，求三棱锥﹣ABCD的体积．．在平面直角坐标系中，已知点（﹣，），（，），点满足M21xOyF0F0|MF1|12﹣＝．记的轨迹为．C|MF|22M（）求的方程；1C（）设点在直线＝x上，过的两条直线分别交于，两点和，两点，且TCABPQ|TA|2T•|TB|＝|TP|•|TQ|，求直线的AB斜率与直线的斜率之和．PQ22．已知函数f（）＝（﹣）．xx1lnx（）讨论f（）的x单调性；1（）设，为两ab个不相等的正数，且﹣＝﹣，证明：2＜blnaalnbab＜e．2+参考答案一、选择题（共小题）8.．设集合＝﹣＜＜，＝，，，，则A∩B＝（）A{x|2x4}B{2345}1A．{2}B．，{23}C．，{34}D．，，{234}解：∵A＝﹣＜＜，＝，，，，{x|2x4}B{2345}∴A∩B＝﹣＜＜{x|2x4}∩{2，，，＝，．345}{23}故选：B．2．已知z＝﹣，则（）＝（2i）z+iA．﹣62iB．﹣42iC．6+2iD．4+2i解：∵z＝﹣，2i∴z（）＝（﹣）（）＝（﹣）（）＝﹣﹣＝．+i2i2+i+i2i2+2i4+4i2i2i6+2i2故选：C．3．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一A．2B．2C．4意，设母线长为l，个半圆，则该圆锥的母线长为（）D．4解：由题因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，则有，解得，所以该圆锥的母线长为．故选：B．4．下列区间中，函数f（）＝（﹣）x单调递增的区间是（）7sinx．（，）B．（，）C．（，）．（，）πππ2A0D解：令，k∈Z．，k∈Z．则当k＝0时，x∈[，，]（，）⊆，，0[]故选：．A．已知，是椭圆：＝的两个焦点，点在上，则•+1M|MF1||MF2|的最大值5FFCC12为（）A．13B．12C．9D．6解：，是椭圆：＝的两个焦点，点在上，＝，|MF1|+|MF2|6FFC+1MC12所以•|MF||MF2|≤1＝，当且仅当＝＝时，取等号，9|MF1||MF2|3所以•的最大值为．|MF||MF|912故选：．C6．若tanθ＝﹣，则＝（）C．2A．﹣B．﹣D．解：由题意可得：＝＝＝．故选：．C．若过点（，）可以作曲线＝的两条切线，则（）abyex7．＜Aeab．＜Beba．＜＜C0aeb．＜＜D0bea解：函数＝是增函数，ye′＝＞恒成立，ye0xx函数的图象如图，y＞0，即取得坐标在轴上方，x如果（，）在ab轴下方，连线的斜率小于0，不成立．x点（，）在轴或下方时，x只有一条切线．ab如果（，）在曲线上，只有一条切线；ab（，）在曲线上侧，没有切线；ab由图象可知（，）在图象的下方，并且在轴上方时，有两条切线，可知＜＜．0beaabx故选：．D．有个相同的球，分别标有数字，，，，，，从中有放回的随机取两次，每次取86123456出的球的数字是1”，乙表示事件出的球的数出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的个球．甲表示事件“第一次取“第二次取1字是2”，丙表示事件“两次取数字之和是7”，则（）A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立D．丙与丁相互独立C．乙与丙相互独立解：由题意可知，两点数和为8的所有可能为：（，），（，），（，），（，2635445），（，），623两点数和为7的所有可能为（，），（，），（，），（，），（，），（，162534435261），P（甲）＝，（P乙）＝，（P丙）＝＝，（丁）＝＝，PA：（甲P丙）＝0≠P（甲）（丙），PB：（甲P丁）＝＝P（甲）（丁），P：（乙丙）＝≠P（乙）（P丙），CP：（丙丁）＝0≠P（丙）（P丁），DP故选：．B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．有一组样本数据，，…，，由xx这组数据得到新样本数据，，…，，其中＝xyyyyi12n12n（＝，，…，），为非零常数，则（）x+ci12nci．两组样本数据的样本平均数相同A．两组样本数据的样本中位数相同BC．两组样本数据的样本标准差相同D．两组样本数据的样本极差相同解：对于，两组数据的平均数的差为，故错误；AAc对于，两组样本数据的样本中位数的差是，故错误；BBc对于，∵标准差（）＝（）＝（），Dx+cCDyDxiii∴两组样本数据的样本标准差相同，故正确；C对于，∵＝（＝，，yx+ci12…，），为非零常数，ncDii的极差为﹣，的极差为（）﹣（）＝﹣，x+cxxxyx+cxxmaxminmaxminmaxmin∴两组样本数据的样本极差相同，故正确．D故选：．CD．已知为坐标原点，点（α，sinα），（β，﹣sinβ），（（αβ），10OPcosPcosPcos+sin123（α+β）），（，），则（）A10．＝A||||．＝B||||C．•＝•D．•＝•αβ），（解：∵（α，sinα），（β，﹣sinβ），（（αβ）），（，+A1PcosPcosPcos+sin1230），∴＝（cosα，sinα），＝（cosβ，﹣sinβ），＝（（cosαβ），（αβ）），＝（，），+sin+10，，则，，则＝||，故正确；|A|＝＝，＝＝，≠，故错误；|||B|＝1×cos（α+β）+0×sin（α+β）＝（αβ），cos+＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝（cosαβ），+∴•＝•，故正确；C＝1×cosα+0×sinα＝cosα，＝cosβcos（α+β）﹣sinβsin（α+β）＝cos[β+（α+β）＝（]cosαβ），+2∴•≠•，故错误．D故选：．AC．已知点在圆（﹣）（﹣）＝上，点（，），（，），则（）16A4011Px5+y52B022．点到直线的距离小于PAB10A．点到直线的距离大于2BPABC．当∠PBA最小时，＝|PB|3D．当∠PBA最大时，＝|PB|3解：∵A（，），（，），40B02∴过A、B的直线方程为，即x+2y﹣＝，40圆（﹣）（﹣）＝的圆x5+y5162心坐标为（，），552圆心到直线﹣＝的距离＝x+2y40d＝＞4，∴点到直线的距离的范围为[PAB，]，∵＜5，∴＜1，＜10，∴点到直线的距离小于，P10但不一定大于，故正确，错误；2AABB如图，当过B的直线与圆相切时，满足∠PBA最小或最大（点位于时∠PBA最小，PP1位于时∠PBA最大），P2此时|BC|＝，∴＝|PB|，故正确．CD故选：．ACD．在正三棱柱﹣中，＝＝，点满足＝λμ，其中λ∈，，[01]12ABCABCABAA11P+111μ∈，，则（）[01]．当λ＝时，△的周长为定值A1ABP1．当μ＝时，三棱锥﹣的体积为定值BC1PABC1．当λ＝时，有且仅有一个点，使得⊥PAPBP1．当μ＝时，有且仅有一个点，使得⊥平面PABABP11D解：对于，当Aλ＝时，＝+μ，即，所以，1故点在线段上，此时△的周长为，PCCABPAB+BP+AP1111当点为的中点时，△的周长为，PCCABP11当点在点处时，△的周长为，ABPPC11故周长不为定值，故选项错误；A对于，当Bμ＝时，，即，所以，1故点在线段上，PBC11因为∥平面，ABC1BC11所以直线上的点到平面的距离相等，ABC1BC11又△的面积为定值，ABC1所以三棱锥﹣的体积为定值，故选项正确；PABCB1对于，当λ＝时，取线段，的中点分别为，，连结，BCBCMMMM1111C因为，即，所以，则点在线段上，PMM1当点在处时，⊥，⊥，AMBCAMBB1111111PM1又∩1＝，所以⊥AM11平面，BBCC11BCBBB111又⊂平面，所以⊥，即⊥，BMBBCCAMBMAPBP1111111同理，当点在处，⊥，故选项APBPC1错误；PM对于，当Dμ＝时，取的中点，的中点，CCDBBD111因为，即，所以，则点在线的上，PDD1当点在点处时，取的中点，连结，，ACEAEBE1PD1因为⊥平面，又⊂平面，所以⊥，ACCAADACCAADBE111111BE在正方形ACCA11中，⊥，ADAE11又∩＝，，⊂平面，BEA1EEBEAEABE11故⊥平面，又⊂平面，所以⊥，ADABEABABEABAD111111在正方体形中，⊥，ABBAABAB1111又∩＝，，⊂平面，所以⊥平面，ADABAADABABDAB1AB1D1111111因为过定点与定直线垂直的平面有且只有一个，AAB1故有且仅有一个点，使得⊥平面，故选项正确．ABPPAB1D1故选：．BD三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。4520．已知函数（）＝（•﹣）是偶函数，fxxa22则＝．13a13x﹣x解：函数（）＝（•﹣）是偶函数，fxxa223x﹣x＝为上的奇函数，yxR3故＝•﹣也为上的奇函数，ya22Rx﹣x所以＝y|•﹣＝﹣＝，a22a1000x0＝所以＝．a1故答案为：．1．已知为O坐标原点，抛物线：＝（＞）的焦点为，为FP上一点，与14Cy2pxp0CPFx2轴垂直，为轴上一点，且⊥．若|FQ|＝，6则C的准线方程为x＝﹣．QxPQOP解：由题意，不妨设P在第一象限，则P（，），＝，⊥．2PQOPpkOP所以＝﹣，所以的方PQ程为：y﹣p＝﹣（x﹣），kPQ＝时，＝，y0x＝，所以，解得＝，|FQ|6p3所以抛物线的准线方程为：＝﹣．x故答案为：＝﹣．x．函数（）＝﹣﹣的最小值为．fx|2x1|2lnx115解：函数（）＝﹣﹣的定义域为（，∞）．fx|2x1|2lnx0+当＜时，（）＝﹣﹣＝﹣﹣，|2x1|2lnx0xfx2x+12lnx此时函数（）在（，上为减函数，fx0]所以（）≥（）＝﹣2×﹣＝2ln2；fxf+12ln当＞时，（）＝﹣﹣＝﹣﹣，xfx|2x1|2lnx2x12lnx则f′（）＝＝，x当∈（，）时，′（）＜，（）0fx单调递减，x1fx当∈（，∞）时，′（）＞0，（）fxx1+单调递增，fx∴当＝时（）取得最小值为（）＝×﹣﹣＝．x1fxf12112ln11∵2ln2＝ln4＞lne＝，1∴函数（）＝﹣﹣的最小值为．fx|2x1|2lnx1故答案为：．116．某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为×20dm12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm，×20dm6dm两种规格5dm12dm，×10dm6dm，的图形，它们的面积之和＝，对折2次共可以得到×S240dm21×三种规格的图形，它们的面积之和＝，以此类推．则对折4次共可S180dm20dm3dm22以得到不同规格图形的种数为；如果对折n次，那么S＝5kdm2．解：易知有5种规格；，，共由题可知，对折k次共有k+1种规格，且面积为，故，则∴，记，则，＝，∴∴，．故答案为：；5．四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。670．已知数列满足＝，＝{a}a1an171n+1（）记＝，写出，，并求数列的通项公式；{b}n1banbb12n2（）求的前项和．2{a}20n解：（）因为＝，＝1a1a1n+1，所以＝＝，＝＝，＝＝，aa+12aa+24aa+15221343所以＝＝，＝＝，ba2ba52124﹣＝﹣＝﹣a+a﹣﹣＝＝，≥，a1+23n22n12n2﹣﹣bbna﹣aan12n2n22n2n1﹣所以数列是以＝为首项，以为公差的等差数列，{b}b23n1所以＝（﹣）＝﹣．b2+3n13n1n（）由（）可得＝﹣，3n1n∈N*，21a2n则＝＝（﹣）﹣＝﹣，≥，aa+23n11+23n2n2﹣2n12n2﹣当＝时，＝也适合上式，n1a11所以＝﹣，3n2n∈N*，a2n1﹣所以数列的奇数项和偶数项分别为等差数列，{a}n则的前项和为{a}20n＝（…）（…）＝a+a++a+a+a++a2×a+a+...+a210+12013194203+10×2+×3＝300．18．某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．解：（1）由已知可得，X的所有可能取值为0，20，100，则P（X＝0）＝1﹣0.8＝0.2，P（X＝20）＝0.8×（1﹣0.6）＝0.32P（X＝100）＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列为：XP0201000.20.320.48（2）由（1）可知小明先回答A类问题累计得分的期望为E（X）＝0×0.2+20×0.32+100×0.48＝54.4，若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100，P（Y＝0）＝1﹣0.6＝0.4，P（Y＝80）＝0.6×（1﹣0.8）＝0.12，P（Y＝100）＝0.6×0.8＝0.48，则Y的期望为E（Y）＝0×0.4+80×0.12+100×0.48＝57.6，因为E（Y）＞E（X），所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题．19．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC＝asinC．（）证明：＝；1BDbcosABC．（）若＝，求∠2AD2DC解：（）证明：由正弦定理知，1，∴＝∠b2RsinABC，＝∠c2RsinACB，∵＝，bac2∴•b2Rsin∠ABC＝a•2Rsin∠ACB，即bsin∠ABC＝，asinC∵∠BDsinABC＝．asinC∴＝；BDb（）由（）知＝，21BDb∵＝，AD2DC∴＝，＝，ADDC余弦定理知，∠＝＝，在△CBD中，由余弦定理知，∠＝＝，∵∠BDA+∠BDC＝π，∴∠cosBDA+cos∠BDC＝，0即＝，0＝，得11b23c+6a22∵＝，bac2∴﹣3c11ac+6a2＝，02∴＝或＝，c3ac在△中，由余弦定理知，∠＝ABCcosABC＝，当＝时，∠＝＞（舍）；c3acosABC1当＝时，∠＝；ccosABC综上所述，∠＝．cosABC．如图，在三棱锥﹣中，平面⊥平面，＝，为的中点．BCDABADOBD20ABCDABD（）证明：⊥；1OACD（）若△是边长为的等边三角形，点在棱上，＝，且二面角﹣1DE2EA2OCDEADE﹣的大小为°，求三棱锥﹣的体积．ABCDBCD45解：（）证明：因为＝，为的中点，所以⊥，1ABADOBDAOBD又平面⊥平面，平面∩平面＝，BCDBDAO⊂平面，ABDBCDABDABD所以AO⊥平面，又⊂平面，BCDCDBCD所以⊥；AOCD（）方法一：2取OD的中点，因为△为正三角形，所以⊥，FOCDCFOD过O作OM∥CF与BC所以OM，，ODOA两两垂直，交于点，则⊥，MOMOD以点为坐标原点，分别以O，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图OMODOAxyz所示，则B（，﹣，），010，（，，），D010设A（，，），00t则，因为⊥平面，BCD故平面的BCD一个法向量为，OA设平面的法向量为BCE，又，所以由，得，令＝，则＝﹣，，故y1，，，x因为二面角﹣﹣的大小为EBCD°，45所以解得＝，所以＝，t1OA1又，所以故＝．方法二：过E作EF⊥BD，交BD于点F，过作FFG⊥BC于点G，连结EG，由题意可知，∥，又⊥平面EFAOAOBCD所以⊥平面，又BC⊂平面，EFBCDBCD所以⊥，又⊥，∩＝EFBCBCFGFGEFF所以⊥平面，又EF⊂平面，BCEFGEFG所以BC⊥EG，则∠EGF为二面角﹣﹣的平面角，即∠＝°，EBCDEGF45又＝＝＝＝，CDDOOBOC1所以∠＝°，则∠OCB＝∠＝°，OBC30BOC120故∠＝°，BCD90所以FG∥CD，因为则，，所以，则，所以＝＝，则EFGF，所以．．在平面直角坐标系中，已知点（﹣，），（，），点满足00|MF1|21xOyFFM12﹣＝．记的轨迹为．|MF|2MC2（）求的方程；1C（）设点在直线＝上，过的两条直线分别交于，两点和，两点，且|TA|2TxTCABPQ•|TB|＝|TP|•|TQ|，求直线的斜率与直线的斜率之和．ABPQ解：（）由双曲线的定义可知，的轨迹是双曲线的右支，设的方程为1CMC，，解得，；∴C的方程为，直线的参数方程为AB，将其代入的方程并整理可得，（sinC16cost（﹣）﹣（）θ+16cos2msinm+12θt2θ﹣2θ）22＝，0由参数的几何意义可知，|TA|＝，＝，则|TB|tt21，设直线的参数方程为PQ，＝λ，＝λ，同理可得，|TQ|2|TP|1，依题意，cos22θ＝β，，则cos又θ≠β，故cosθ＝﹣cosβ，则cosθ+cosβ＝，即直线的斜率与直线的斜率之和0ABPQ为．0（法二）设，直线的方程为AB，（，），（，），AxyBxy1122设，将直线AB方程代入的方程化简并整理可得，C，由韦达定理有，，，又由可得同理可得，∴＝，设直线的方程为PQ，设，同理可得，又|AT||BT|＝|PT||QT|，则，化简可得，kk又≠，则＝﹣，即+＝0，即直线的斜率与直线的斜率之和为kkkkABPQ0．12121222．已知函数f（x）＝x（1﹣lnx）．（1）讨论（）的单调性；fx（2）设，为两个不相等的正数，且﹣＝﹣，证明：ab