第21讲多边形与平行四边形

第21讲多边形与平行四边形1．多边形和正多边形的概念及性质多边形

(n≥3)概念在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形内角和外角和360°对角线

(n－2)·180°

条n（n－3）2正多边形(n≥3)概念各条边都相等，且各内角都相等的多边形叫做正多边形性质正多边形的各边相等，各角相等；（n－2）·180°正

n

边形的每一内角为

n正n

边形有n

条对称轴；正n

边形有一个外接圆和一个内切圆，它们是同心圆；对于正n

边形，当n

为奇数时，是轴对称图形，不是中心对称图形；当n

为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形2.平行四边形的性质以及判定(1)性质：文字描述字母表示(1)两组对边分别

平行AB∥CD，

AD∥BC(2)两组对边分别

AB＝CD，

AD＝BC相等(3)两组对角分别

∠DAB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC(4)对角线互相

相等AO＝CO，

DO＝BO(5)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的平分对称中心文字描述字母表示(1)有两组对边分别平行的四边形是平行四边形∵AB∥CD,

AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形(2)有两组对边分别

的四边形是平行四相边等形∵AB＝CD,

AD＝BC

∴四边形ABCD是平行四边形(3)有一组对边

的四边形是平行四边形∵AB∥CD，AB＝CD∴四边形ABCD是平行四边形平行且相等(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形∵∠DAB＝∠DCB，∠ADC＝∠ABC∴四边形ABCD是平行四边形(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形∵AO＝CO,

BO＝DO∴四边形ABCD是平行四边形1．利用平行四边形性质进行有关计算的一般思路为：运用平行四边形的性质转化角度或线段之间的等量关系：①对边平行可得相等的角，进而可得相似三角形；②对边相等、对角线互相平分可得相等的线段；③当有角平分线的条件时，可利用“平行＋角平分线可得等腰三角形”的结论得到等角、等边．找到所求线段或角所在的三角形，若三角形为特殊三角形，则注意运用特殊三角形的性质求解；若三角形为任意三角形，可以利用某两个三角形全等或相似的性质进行求解，有时还可利用三角形的中位线等知识求解．2．在判定四边形为平行四边形时，关键是选择判定的方法．可以从边、角、对角线三个方面加以分析：(1)若已知一组对边相等，则需证这组对边平行或者另外一组对边相等；若已知一组对边平行，则需证明这组对边相等或者另外一组对边平行；

(2)若已知一组对角相等，则需证另一组对角相等；(3)若已知一条对角线平分另一条对角线，则需证对角线互相平分．3．四种常用的辅助线(1)常用连对角线的方法把四边形问题转化为三角形的问题；

(2)有平行线时，常作平行线构造平行四边形；(3)有中线时，常作加倍中线构造平行四边形；(4)图形具有等邻边特征时(如：等腰三角形、等边三角形、菱形、正方形等)，可以通过引辅助线把图形的某一部分绕等邻边的公共端点旋转到另一位置．命题点1：多边形内角与外角1．(2017·临沂)一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是(

)A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形C命题点2：平行四边形的性质2．(2017·丽水)如图，在▱ABCD

中，连接AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝2，则

BC

的长是(

C

)A.

2

B．2

C．2

2

D．4A．6

B．12

C．18

D．243．(2017·贵阳)如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连接CE，若△CED的周长为6，则▱ABCD的周长为(

B

)4．(2017·武汉)如图，在▱ABCD中，∠D＝100°，∠DAB的平分线AE

交DC

于点E

，连接BE.

若AE

＝

AB

，则∠EBC

的度数为 30°

．命题点3：平行四边形的判定5．(2017·孝感)如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠DAB＝60°，AB＝DE，则下列结论成立的个数是(①AB∥DE；②EF∥AD∥BC；③AF＝CD；④四边形ACDF是平行四边形；⑤六边形ABCDEF既是中心对称图形，又是轴对称图形．A．2

B．3

C．4

D．5D

)多边形及其性质【例1】

(1)(2017·乌鲁木齐)如果n边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则n的值是(

)A．4

B．5

C．6

D．7(2)(2017·莱芜)一个多边形的内角和比其外角和的2倍多180°，则该多边形对角线的条数是(

)A．12

B．13

C．14

D．15CC(3)(2017·宜昌)如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是(

B

)A．①②

B．①③

C．②④

D．③④【点评】(1)任何多边形的外角和都等于360°，多边形的内角和为(n－2)·180°；(2)设出题中所求的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解，再进一步代入多边形的对角线计算公式

n（n－3）2即可解答．(3)①剪开后的两个图形是四边形，它们的内角和都是360°，③剪开后的两个图形是三角形，它们的内角和都是180°；①③剪开后的两个图形的内角和相等．[对应训练]1．(1)(2017·广东)一个n边形的内角和是720°，则n＝

．(2)(2016·河北)已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.①甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n；若不对，说明理由；②若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.解：①∵360°÷180°＝2，630°÷180°＝3…90°，∴甲的说法对，乙的说法不对，360°÷180°＋2＝2＋2＝4，故甲同学说的边数n是4；②依题意有(n＋x－2)×180°－(n－2)×180°＝360°，解得x＝2，故x的值是2.6平行四边形的性质【例2】

(2017·无锡)如图，平行四边形ABCD中，E是BC边的中点，连DE并延长交AB的延长线于点F，求证：AB＝BF.证明：∵E

是BC

的中点，∴CE＝BE，∵四边形ABCD

是平行四边形∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠DCB＝∠FBE，在△CED

和△BEF

中，∠DCB＝∠FBE，CE＝BE，∠CED＝∠BEF，∴△CED≌△BEF(ASA)，∴CD＝BF，∴AB＝BF【点评】平行四边形对边相等，对边平行，对角相等，邻角互补，对角线互相平分，利用这些性质可以解决与平行四边形相关的问题，也可将四边形的问题转化为三角形的问题．[对应训练]2．(1)(2017·常州)如图，已知▱ABCD

的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，连接

AC，若

EF＝2，FG＝GC＝5，则

AC

的长是(

B

)A．12

B．13

C．6

5

D．8

3(2)(2017·菏泽)如图，E是▱ABCD的边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于F，若CD＝6，求BF的长．解：∵E

是▱ABCD

的边AD

的中点，∴AE＝DE，∵四边形ABCD

是平行四边形，∴AB＝CD＝6，AB∥CD，∴∠F＝∠DCE，在△AEF

和∠F＝∠DCE，△DEC

中，∠AEF＝∠DEC，∴△AEF≌△DEC(AAS)，∴AF＝CD＝AE＝DE，6，∴BF＝AB＋AF＝12【例3】

(2017·咸宁)如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝FC.求证：△ABC≌△DFE；连接AF，BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．平行四边形的判定AB＝DF，解：(1)∵BE＝FC，∴BC＝EF，在△ABC

和△DFE

中，AC＝DE，∴BC＝EF，△ABC

≌△DFE(SSS)

(2)连接AF

，BD

，如图所示：由(1)知△ABC≌△DFE，∴∠ABC＝∠DFE，∴AB∥DF，∵AB＝DF，∴四边形ABDF

是平行四边形【点评】探索平行四边形成立的条件，有多种方法判定平行四边形：①若条件中涉及角，考虑用“两组对角分别相等”或“两组对边分别平行”来证明；②若条件中涉及对角线，考虑用“对角线互相平分”来证明；③若条件中涉及边，考虑用“两组对边分别平行”或“一组对边平行且相等”来证明，也可以巧添辅助线，构建平行四边形．[对应训练]3．(导学号：65244025)(2016·鄂州)如图，▱ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，延长AE，CF分别交CD，AB于点M，N.(1)求证：四边形CMAN是平行四边形；

(2)已知DE＝4，FN＝3，求BN的长．解：(1)∵四边形ABCD

是平行四边形，∴CD∥AB，∵AM⊥BD，CN⊥BD，∴AM∥CN，∴CM∥AN，AM∥CN，∴四边形AMCN

是平行四边形(2)∵四边形AMCN

是平行四边形，∴CM＝AN，∵四边形

ABCD

是平行四边形，∴CD＝AB，CD∥AB，∴DM＝BN，∠MDE＝∠MDE＝∠NBF，∠NBF，在△MDE

和△NBF

中，∠DEM＝∠NFB＝90°，∴△MDEDM＝BN，≌△NBF(AAS)，∴ME＝NF＝3，在Rt△DME

中，∵∠DEM＝90°，DE＝4，ME＝3，∴DM＝

DE2＋ME2＝

32＋42＝5，∴BN＝DM＝521.不可将未加证明的条件作为已知条件或推理依据试题 如图，已知六边形ABCDEF的六个内角均为120°，CD＝10

cm，BC＝8

cm，AB＝8

cm，AF＝5

cm，求此六边形的周长．错解解：如图，连接EB，DA，FC，分别交于点M，N，P.∵∠FED＝∠EDC＝120°，∴∠DEM＝∠EDM＝60°，∴△DEM是等边三角形．同理，△MAB，△NFA也是等边三角形．∴FN＝AF＝5，MA＝AB＝8.∵∠EFA＝120°，∴∠EFC＝60°，∴ED∥FC，同理，EF∥DN.∴四边形EDNF是平行四边形．同理，四边形EMAF也是平行四边形，∴ED＝FN＝5，EF＝MA＝8.∴六边形ABCDEF的周长＝AB＋BC＋CD＋DE＋EF＋FA＝8＋8＋10＋5＋8＋5＝44(cm)．剖析上述解法最根本的错误在于多边形的对角线不是角平分线，从证明的一开始，由∠FED＝∠EDC＝120°得到∠DEM＝∠EDM＝60°的这个结论就是错误