偏导数的几何意义

对人的偏导数定义为对人的偏导数定义为类似的，函数类似的，函数z=丁（三”在点（天口/口）处对T的偏导数定义为偏导数的几何意义实验目的：通过实验加深学生对偏导数定义的理解掌握偏导数的几何意义并从直观上理解二阶混合偏导数相等的条件背景知识：一偏导数的定义在研究一元函数时.我们从研究函数的变化率引入了导数概念.对于多元函数同样需要讨论它的变化率.但多元函数的变化量不只一个,因变量与自变量的关系要比一元函数复杂的多.所以我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率，以二元函数N=y（三力为例，如果只有自变量工变化，而自变量y固定（即看作常量），这时它就是工的一元函数，这函数对x的导数，就称为二元函数z对于*的偏导数,即有如下定义定义设函数z=,比用在点（礴，冲）的某一邻域内有定义，当y固定在出,而或在演处有增量4汇时，相应的函数有增量而十加,&）而，如）,11m/0十A区y0）-//几）如果z卜（1）存在，则称此极限为函数工二」（三用在点（频/口）处对x的偏导数，记做例如,极限（1）可以表为lim例如,极限（1）可以表为lim场左0+Ax,yJ-尊山几）Axlim4ptOf&Cg兀十lim4ptOf&Cg兀十Ay)-口区Av如果函数工:（阳历在区域d内每一点（兀^）处对犬的偏导数都存在，那么这个偏导数就是三少的函数,它就称为函数£=丁（/对对自变量禽的偏导函数，记做&更班，由，々，或力"〜）类似的，可以定义函数工=/（筛了）对自变量尸的偏导函数，记做由偏导数的概念可知，『（几力在点、（鼎，此）处对芯的偏导数八（两，%）显然就是偏导函数/"产）在点（工口/口）处的函数值,就像一元函数的导函数一样，以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简称为偏导数.至于求芭二/（阳力的偏导数,并不需要用新的方法，因为这里只有一个自变量在变动，另外dz一个自变量看作是固定的,所以仍旧是一元函数的微分法问题，求去时,只要把尸暂时看作受兀KE）处常量而对K求导;求方时，则只要把兀KE）处偏导数的概念还可以推广导二元以上的函数，例如三元函数1A1A•（兀ME）=Hiyl其中（克f"）是函数”二『（rJ,刁的定义域的内点，它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题例求£二产£恒2y的偏导数dz解率=2工加2匕dz》_2x2cos2y二偏导数的几何意义二元函数£=在点（/J口）的偏导数的几何意义设%每，/,九））为曲面？二八工㈤上的一点，过圾点作平面A二加,截此曲面得一曲线，此曲线在平面户二凡上的方程为京二/（三如乙则导数占"工&）卜哂,即偏导数/^2°乙就是这曲线在％点处的切线此空对轴的斜率.同样，偏导数W/和如）的几何意义是曲面被平面克二而所截得的曲线在点监）处的切线必04对户的斜率三偏导数的几何意义我们知道,如果一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续,但对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续.这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P口时,函数值〃斓趋于了（々）,但不能保证点P按任何方式趋于P0时,函数值八口都趋于/储）.例如，函数x十yN=小叫Q，f』在点（0,0）对X的偏导数为/(0+A^0)-/(0,0)=/(0+A^0)-/(0,0)=hm=0小帅二加/8+配一川明二M二。同样有573但是我们在前面的学习中知道这函数在点（0,0）并不连续四二阶混合偏导数设函数z=/（见y）在区域d内具有偏导数&生^=^y\忠Jew那么在D内川"\力""）都是"的函数.如果这里两个函数的偏导数也存在，则它们是函数工=/（羽尸）的二阶偏导数，按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数：汹砺汹砺勿上国=三"（D）e（丝卜匹"（D）张%dydx犷'期少旷沙’,其中第二，第三个偏导数称为混合偏导数d%d2d2z拼工例2设用悬^-狂/一炉+1,求萧,引加，务办，旷

从例子中,我们看到两个二阶混合偏导数相等，即，齿欧=》期我们再看用maple作求的图形第一个图形为由②第二个图形为印加从图中我们看到两个连续的偏导函数，它们是相等的这不是偶然的,事实上我们有下述定理d2z定理如果函数芭:羽了）的两个二阶混合偏导数在区及务力在区域d里连续，那么该内这两个二阶混合偏导数必定相等换句话说,二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关IllIE^i11IC(n*Ifiurt，ilalaiJm-Kaslp-■♦B诲a4当国跳品3dt匕购E—Jfig.江七型l».逃if^jycAl.|CHsrplaInpd口曲^^加^^一，邙17jDJ|TL■■:厢.DBa:〉叫X].》j»f!i<itnl'&'t.id.tq"f；♦1-2*^6*y'3'L.r-em^MMAL)：%dim,v)EUntit1e-d.(Ut-Serverij影丸E4il口1HdWL影丸E4il口1HdWL片小述n仪胃工“』