2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第六章6.1

§6.1数列的概念及简单表示法1．数列的定义按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．2．数列的分类分类原则类型有穷数列无穷数列递增数列递减数列常数列满足条件项数有限项数无限按项数分类按项与项间的大小关系分类a__>__ann1＋a__<__an其中n∈N＋n1＋a＝ann1＋有界数列存在正数M，使|an|≤M按其他标准分类从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小摆动数列于它的前一项的数列3．数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和解析法．4．数列的通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的函数关系可以用一个式子表示成an＝f(n)，那么这个式子叫作这个数列的通项公式．S1n＝1n≥2.5．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝S－Sn－1n1．判断下面结论是否正确(1)所有数列的第(请在括号中打“√”或“×”n项都能使用公式表达．)(×)(√)(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(3)数列：1,0,1,0,1,0，„，通项公式只能是1＋－1n＋1.a＝n(×)(√)2(4)如果数列{a}的前n项和为nS，则对任意nn∈N，都有＋a＝S－S.n＋1n＋1n(5)在数列{a}中，对于任意正整数nm，n，a＝a＋1，若a＝1，则a＝2.(√)m＋nmn121(6)若已知数列{a}的递推公式为na＝2a－1，且a＝1，则可以写出数列{a}的任何一nn＋12n项．(√)()2．设数列{a}的前n项和S＝n2，则a的值为nn8A．15答案A解析∵S＝nB．16C．49D．64，∴a＝S＝1.112n当n≥2时，a＝S－S＝n－(n－1)＝2n－1.22nnn－1∴a＝2n－1，∴a＝2×8－1＝15.n83．已知数列{a}的前n项和S满足：S＋S＝S，且a＝1，那么a10等于()nnnmn＋m1A．1B．9C．10D．55答案A解析∵S＋S＝S，a＝1，∴S＝1.nmn＋m11可令m＝1，得S＝S＋1，∴S－S＝1.nnn＋1n＋1即当n≥1时，a＝1，∴a＝1.n＋11023134．(2013·课标全国Ⅰ)若数列{a}的前n项和S＝a＋，则{a}的通项公式是a＝________.nnnnn答案(－2)n－1解析当n＝1时，a＝1；当n≥2时，123n－123n－1a＝S－S＝a－a，nnna故＝－2，故a＝(－2)n.1－nnan－1当n＝1时，也符合a＝(－2).n－1n综上，a＝(－2).n－1n5．(2013·安徽)如图，互不相同的点A，A，„，A，„和nB，112B，„，B„分别在角2nO的两条边上，所有AB相互平行，nn且所有梯形ABBA的面积均相等．设OA＝a，若a＝1，nn1nnn＋1n＋1a2＝2，则数列{a}的通项公式是n________．答案a＝3n－2n解析由已知S梯形ABBn1An1S梯形An1Bn1Bn2An2nnSOBn1An1SSS，OBn1An1OBAOBn2An2nn2SOBn1An1即S＋S△OBnAnOBn2An2由相似三角形面积比是相似比的平方知OA＋OA＝2OA，即＋a＝2a，a222222nnn＋2n＋1n＋2n＋1因此{a}为等差数列且＝a＋3(n－1)＝3n－2，a222nn1故a＝3n－2.n题型一由数列的前几项求数列的通项例1写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，„；1371531(2)，，，，，„；2481632(3)－1，32，－，，－，，„；13341356(4)3,33,333,3333，„.思维启迪先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项数之间的关系，项与前后项之间的关系．解(1)各项减去1后为正偶数，所以a＝2n＋1.n2－1分子比分母少1，而分母组成数列2222，„，所以a＝.1,2,3,42nnn(2)每一项的(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)；各项绝对值的分母组成数列n1,2,3,4，„；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2＋－1n.2＋1，所以a＝(－1)n·n2－1，偶数项为n1－，n为正奇数，na＝n，n为正偶数.也可写为3n9999999999(4)将数列各项改写为，，，，„，分母都是3333，而分子分别是10－1,102－1,1033－1,10－1，„，41a＝(10n－1)．3n所以思维升华根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征，应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．(1)数列－1,7，－13,19，„的一个通项公式是a＝________________.n(2)数列{a}的前4项是，1，107，179，则这个数列的一个通项公式是32a＝________.nn答案(1)(－1)·(6n－5)(2)2n＋1nn2＋1解析(1)符号问题可通过(－1)或(－1)表示，其各项的绝对值的排列规律为后面的数nn＋1的绝对值总比前面的数的绝对值大6，故通项公式为a＝(－1)n(6n－5)．n2×1＋12×2＋12×3＋12×4＋12n＋1{a}的前4项可变形为，，，，故a＝.1＋12＋132＋142＋1n＋1222nn(2)数列题型二由数列的前例2已知下面数列n项和S求数列的通项n{a}的前n项和S，求{a}的通项公式：nnn(1)S＝2n2－3n；n(2)S＝3n＋b.n思维启迪当n＝1时，由a＝S，求a；111当n≥2时，由a＝S－S消去S，得a与a的关系．转化成由递推关系求通项．nnnnn－1n＋1解(1)a1＝S＝2－3＝－1，1当n≥2时，a＝S－Snnn－1＝(2n－3n)－[2(n－1)2－－＝3(n1)]4n－5，2由于a也适合此等式，∴a＝4n－5.1n(2)a1＝S＝3＋b，1当n≥2时，a＝S－Snnn－1＝(3n＋b)－(3＋b)＝2·3.n－n－11当b＝－1时，a适合此等式．1当b≠－1时，a不适合此等式．1∴当b＝－1时，a＝2·3；n－1n3＋b，n＝1，当b≠－1时，a＝2·3，n≥2.n1n－Sn，＝1，当n＝1时，a－S，n≥2.11思维升华数列的通项a与前n项和S的关系是nSna＝nnn－1若适合S－S，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项a；当n＝1时，a若不适合Snnnn－11－S，则用分段函数的形式表示．n－1已知数列{a}的前n项和S＝3n－2n＋1，则其通项公式为2nn________________．2，n＝1答案a＝6n－5，n≥2n解析当n＝1时，a＝S＝3×1－2×1＋1＝2；211当n≥2时，a＝S－S＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－－＋2(n1)1]nnn－1＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．2，n＝1，故数列的通项公式为a＝6n－5，n≥2.n题型三由数列的递推关系求数列的通项公式例3(1)设数列{a}中，a＝2，a＝a＋n＋1，则通项a＝________.nn1n＋1n(2)数列{a}中，a＝1，a＝3a＋2，则它的一个通项公式为a＝________.nn1n＋1n(3)在数列{a}中，a＝1，前n项和S＝n＋2a.则{a}的通项公式为________．3n1nnn思维启迪观察递推式的特点，可以利用累加(乘)或迭代法求通项公式．答案(1)nn2＋1＋1(2)2×3n－－1(3)a＝nn＋112n解析(1)由题意得，当n≥2时，a＝a＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋„＋(a－a)n1nn－1n－12＋nnn＋1＝2＋(2＋3＋„＋n)＝2＋2＝＋1.21×1＋1又a＝2＝＋1，符合上式，21nn＋1因此a＝＋1.2n(2)方法一(累乘法)a＝3a＋2，即a＋1＝3(a＋1)，n＋1nn＋1na＋1即1＝3，n＋a＋1na＋1a＋1a＋1所以a＋1a＋1a＋1＝3，＝3，a＋1234＝3，„，n＋1＝3.a＋1n123a＋1＝3.将这些等式两边分别相乘得1n＋a＋1n1a＋1a＝1，所以＝3n，因为1n＋1＋1即an＋1＝2×3n－1(n≥1)，a＝2×3－1(n≥2)，1所以n1n－又a1＝1也满足上式，故数列{a}的一个通项公式为a＝2×31－1.n－nn方法二(迭代法)an＋1＝3a＋2，n即an＋1＋1＝3(a＋1)＝3(a＋1)＝3(a＋1)23n－1n－2n＝„＝3n(a1＋1)＝2×3n(n≥1)，a＝2×3－1(n≥2)，所以nn－1又a1＝1也满足上式，{a}的一个通项公式为故数列na＝2×3－1.n－1n(3)由题设知，a＝1.1n＋2n＋1a＝S－S＝a－a.33nnnn－1n－1当n>1时，n＋1an－1n－1a∴∴＝.n＋153anan－1n－1a＝，„，4＝，na3a4aa22a3＝，2＝3.1ann＋1以上n－1个式子的等号两端分别相乘，得到＝，na21nn＋1又∵a1＝1，∴a＝.2n思维升华已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解．当出现a＝an－1＋m时，构造等差数列；当出现a＝xan－1＋y时，构造等比数列；当出nna＝f(n)时，用累乘法求解．nan－1现a＝an－1＋f(n)时，用累加法求解；当出现n(1)已知数列{a}满足a1＝1，a＝n－1a1(n≥2)，则a＝________.nnnn－n(2)已知数列{a}的前n项和为S，且S＝2a－1(n∈N)，则a5等于()nnnn＋A．－16B．16C．31D．32答案(1)1n(2)Bn－1解析(1)∵a＝a(n≥2)，nn－1nn－2121∴a＝a，„，a2＝a.n－1n－1n－2以上(n－1)个式子相乘得1223－1a1na＝a···„·＝＝.1n1nnn(2)当n＝1时，S＝2a－1，∴a1＝1.11当n≥2时，S＝2an－1－1，n－1∴a＝2a－2an－1，nn∴a＝2an－1.n∴{a}是等比数列且a＝1，q＝2，n1故a5＝a1×q＝2＝16.44数列问题中的函数思想典例：(12分)已知数列{a}．n(1)若a＝n2－5n＋4，n①数列中有多少项是负数？②n为何值时，a有最小值？并求出最小值．n(2)若a＝n2＋kn＋4且对于n∈N，都有an＋1>a.求实数k的取值范围．n＋n思维启迪(1)求使a<0的n值；从二次函数看a的最小值．(2)数列是作相应的解析式f(n)＝n＋kn＋4.f(n)在N上单调递增，但自变量不连续．从2一类特殊函数，通项nn公式可以看＋二次函数的对称轴研究单调性．规范解答解(1)①由n∵n∈N，∴n＝2,3.－5n＋4<0，解得1<n<4.2＋∴数列中有两项是负数，即为a，a.[4分]2359－5n＋4＝－52②∵a＝n22－的对称轴方程为n＝.又n∈N，∴当n＝2或n＝3时，n24n＋a有最小值，其最小值为a＝a＝－2.[8分]n23(2)由an＋1>a知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a＝n2＋kn＋4，可以看作是关nnk3于n的二次函数，考虑到n∈N，所以－<，即得22k>－3.[12分]＋温馨提醒(1)本题给出的数列通项公式可以看做是一个定义在正整数集N上的二次函数，＋因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数解决．k的取值范围，使问题得到(2)在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取．(3)易错分析：本题易错答案为k>－2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数．方法与技巧1．求数列通项或指定项．通常用观察法(对于交错数列一般用(－1)或(－1)来区分奇偶nn＋1项的符号)；已知数列中的递推关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜想和转化的方法．n＝1S12．强调a与S的关系：a＝nS－Sn－1n≥2.nnn3．已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有两种常见思路：(1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)利用累加或累乘法可求数列的通项公式．失误与防范1．数列是一种特殊的函数，在利用函数观点研究数列时，一定要注意自变量的取值，如数列a＝f(n)和函数y＝f(x)的单调性是不同的．n2．数列的通项公式不一定唯一．A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，„的一个通项公式是a等于()nA.－1n＋1B．cosn2π2C．cosn＋1πD．cosn＋2π22答案D解析令n＝1,2,3，„逐一验证四个选项，易得D正确．2．数列{a}的前n项和为nS，若a＝1，a＝3S(n≥1)，则a等于()n1n＋1n6A．3×44C．45B．3×44＋1D．45＋1答案A解析当n≥1时，a＝3S，则a＝3Sn＋1，nn＋1n＋2∴a－a＝3Sn＋1－3S＝3an＋1，即a＝4an＋1，n＋2n＋2n＋1n∴该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列．1n＝1，又a＝3S1＝3a1＝3，∴a＝3×4n≥2.2n－2n∴当n＝6时，a＝3×46－2＝3×4.463．若数列{a}的通项公式是na＝(－1)n(3n－2)，则a＋a＋„＋a等于()n1210A．15B．12C．－12D．－15答案A解析由题意知，a＋a＋„＋a1210＝－1＋4－7＋10＋„＋(－1)×(3×10－2)10＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋„＋[(－1)9×(39×－＋－2)(1)10×(310×－2)]＝3×5＝15.49234．已知数列{a}的通项公式为na＝()n－1－()n－1，则数列{a}n()nA．有最大项，没有最小项B．有最小项，没有最大项C．既有最大项又有最小项D．既没有最大项也没有最小项答案C492n－解析∵数列{a}的通项公式为a＝()1－()1，n－3nn23令t＝()，t∈(0,1]，t是减函数，n－11214则a＝t2－t＝(t－)2－，n由复合函数单调性知a先递增后递减．n故有最大项和最小项，选C.S＝，则1等于＋1()n5．若S为数列{a}的前n项和，且nannn5A.56B.65C.130D．30答案Dn－11n解析当n≥2时，a＝S－S＝－＝，＋1nn＋1nnn－1nn1所以＝55×6＝30.a二、填空题n26．已知数列{n＋1}，则0.98是它的第________项．2答案7n24950解析＝0.98＝，∴n＝7.n2＋17．数列{a}中，a1＝1，对于所有的n≥2，n∈N，都有a1·a2·a3·„·a＝n2，则a3＋a5＝________.n＋n61答案16解析由题意知：a·a·a·„·a＝(n－1)，2123n1－nn－1∴a＝()(n≥2)，2n325∴a3＋a5＝()＝.241661＋()28．已知{a}是递增数列，且对于任意的n∈N，a＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是n＋n________．答案(－3，＋∞)解析方法一(定义法)因为{a}是递增数列，所以对任意的n∈N，都有a>a，＋nnn＋1即(n＋1)2n＋1＋λ>0，即n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(函数法＋λ(n＋1)>n＋λn，整理，得22λ>－(2n＋1)．(*)因为(*)恒成立，只需λ>－3.方法二)λ设f(n)＝a＝n＋λn，其图像的对称轴为直线n＝－，22n要使数列{a}为递增数列，只需使定义在正整数上的函数f(n)为增函数，n故只需满足f(1)<f(2)，即三、解答题9．数列{a}的通项公式是a＝n2－7n＋6.λ>－3.nn(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？解(1)当n＝4时，a＝4－4×7＋6＝－6.24(2)令a＝150，即n－7n＋6＝150，2n解得n＝16或n＝－即150是这个数列的第16项．(3)令a＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍)．7项起各项都是正数．9nn＋19(舍去)，n故数列从第10．已知数列{a}的通项公式为na＝，试判断此数列是否有最大项？若有，第几项最10nn大，最大项是多少？若没有，说明理由．9n＋29n＋198－nn＋1n解a－a＝－＝·n，10n＋1101010n＋1nnn当n<8时，a－a>0，即a>a；nnn＋1n＋1当n＝8时，a－a＝0，即a＝a；nnn＋1n＋1当n>8时，a－a<0，即a<a.nnn＋1n＋1则a1<a2<a3<„<a8＝a9>a10>a11>„，{a}有最大项，为第8项和第9项，故数列n9×9989且a＝a＝＝.10108889B组专项能力提升(时间：30分钟)1．跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格子外跳到第8个格子的方法种数为()A．8种B．13种C．21种D．34种答案C解析设跳到第①向前跳1格到达第n个格子，②向前跳2格到达第n个格子，前8项分别是1,1,2,3,5,8,13,21.n个格子的方法种数有a，则到达第n个格子的方法有两类：n方法种数为a；n－1方法种数为a，则a＝a＋a，n－2n－1n－2n由数列的递推关系得到数列的∴跳到第8个格子的方法种数是21.故选C.122．数列{a}满足a＋a＝(n∈N)，a＝2，S是数列{a}的前