2021年辽宁省沈阳市智达中学高二数学理月考试卷含解析

2021年辽宁省沈阳市智达中学高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若为所在平面内一点，且满足(OB-OC)·(OB+OC-2OA)=0，则的形状为(

）A．正三角形

B．直角三角形

C．等腰三角形

D．斜三角形参考答案：C2.已知，则的大小关系是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C3.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数参考答案：B4.在同一平面的直角坐标系中，直线变成直线的伸缩变换是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C5.下面框图所给的程序运行结果为S＝28，那么判断框中应填入的关于k的条件是()A．?

B．k≤7?

C．k<7?

D．k>7?参考答案：D6.函数存在两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（

）A. B.(0,+∞) C.(－∞,0) D.参考答案：A【分析】求解出，将在上有两个不等实根，转化为二次函数图像与轴有两个交点，通过二次函数图像得到不等式，求解出的范围.【详解】由题意得：设，又，可知存在两个不同的极值点等价于在上存在两个不同零点由此可得：，即

本题正确选项：A【点睛】本题考查导数与极值的关系，解题关键在于通过求导将极值点个数问题转化为二次函数在区间内的零点个数问题，确定二次函数图像主要通过以下三个方式：①判别式；②对称轴；③区间端点值符号.7.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个参考答案：D【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可．【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误，故选：D8.执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B试题分析：由题意得，输出的S为数列的前三项和，而，∴，故选B.9.已知集合,，则=A、

B、

C、

D、参考答案：B10.设O为坐标原点，，若点取得最小值时，点B的个数是(

)A.1 B.2 C.3 D.无数个参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则▲参考答案：112.以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是______.参考答案：【分析】根据椭圆的标准方程求出焦点和顶点坐标，得出双曲线的顶点和焦点，从而求出双曲线的方程．【详解】椭圆的焦点为F（±1，0），顶点为（±，0）；则双曲线的顶点为（±1，0），焦点为（±，0），∴a＝1，c＝，∴b1，∴双曲线的方程为，故答案为：．【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程与简单几何性质的应用问题，是基础题．13.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为

▲

.参考答案：略14.如图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是_______________________.参考答案：由三视图还原可知该几何体是一个组合体，下面是一个圆柱，上面是一个三棱柱，故所求体积为。15.已知函数，且，则____．参考答案：6分析：由可求得，先求得的值，从而可得的值.详解：函数，且，，即，，，，故答案为.点睛：本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.16.已知随机变量X服从二项分布B～（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，则P=__________．参考答案：试题分析：直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．解：随机变量X服从二项分布B（n，p），若E（X）=30，D（X）=20，可得np=30，npq=20，q=，则p=，故答案为：．点评：本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力．17.如下程序图表示的算法功能是

参考答案：求使成立的最小正整数n的值加2。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

已知：二项式展开式中所有项的二项式系数和为64，

（1）求的值；

（2）若展开式所有项的系数和为，其中为有理数，求和的值.参考答案：（1）由题意，，

………………4分

（2）展开式的通项为（）…………6分则，

…………8分

……………………10分【方法二】令，则，因为故，，.19.国家“十三五”计划，提出创新兴国，实现中国创新，某市教育局为了提高学生的创新能力，把行动落到实处，举办一次物理、化学综合创新技能大赛，某校对其甲、乙、丙、丁四位学生的物理成绩（x）和化学成绩（y）进行回归分析，求得回归直线方程为y=1.5x﹣35．由于某种原因，成绩表（如表所示）中缺失了乙的物理和化学成绩．

甲乙丙丁物理成绩（x）75m8085化学成绩（y）80n8595综合素质（x+y）155160165180（1）请设法还原乙的物理成绩m和化学成绩n；（2）在全市物理化学科技创新比赛中，由甲、乙、丙、丁四位学生组成学校代表队参赛．共举行3场比赛，每场比赛均由赛事主办方从学校代表中随机抽两人参赛，每场比赛所抽的选手中，只要有一名选手的综合素质分高于160分，就能为所在学校赢得一枚荣誉奖章．若记比赛中赢得荣誉奖章的枚数为ξ，试根据上表所提供数据，预测该校所获奖章数ξ的分布列与数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）求出物理与化学的平均值，代入回归直线方程，然后求解即可．（2）推出ξ的可能值，求出概率，即可得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（1）由已知可得，，因为回归直线y=1.5x﹣35过点样本中心，所以，∴3m﹣2n=80，又m+n=160，解得m=80，n=80．（2）在每场比赛中，比赛中赢得荣誉奖章的枚数为ξ的可能值为：0，1，2，3．获得一枚荣誉奖章的概率P=1﹣=，ξ～B（3，），P（ξ=0）==；P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，所以预测ξ的分布列为：ξ0123P故预测Eξ=nP=3×=．【点评】本题考查随机变量的分布列以及期望的求法，回归直线方程的应用，考查计算能力．20.(12分)已知函数

(1)求最小正周期.

(2)求函数的单调递增区间.参考答案：解：（1）最小正周期……………..(4分)(2)由得

………(10分)所以所求函数的单调递增区间为…(12分)21.设向量，，x∈R，记函数．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，求△ABC面积的最大值．参考答案：【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用化简可求f（x）=sin（2x﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，即可解得f（x）的单调递增区间．（2）由已知可求sin（2A﹣）=，结合△ABC为锐角三角形，可得A，利用余弦定理，基本不等式可求bc≤2+，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵=sinxcosx+（sinx﹣cosx）（sinx+cosx）=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），…3分∴令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，∴函数f（x）的单调递增区间为：，k∈Z…5分（2）∵，∴sin（2A﹣）=，结合△ABC为锐角三角形，可得：2A﹣=，∴A=，…7分∵在△ABC中，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：2=b2+c2﹣bc≥（2﹣）bc，（当且仅当b=c时等号成立）∴bc≤=2+，又∵sinA=sin=，…10分∴S△ABC=bcsinA=bc≤（2+）=，（当且仅当b=c时等号成立）∴△ABC面积的最大值为…12分【点评】本题考查了向量的内积运算，三角函数的化简及性质的探讨，并与解三角形知识相互交汇，对基本运算能力、逻辑推理能力有一定要求，难度为中等．22.如图，在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=SA=SC，M为AB的中点．（Ⅰ）证明：AC⊥SB；（Ⅱ）求点B到平面SCM的距离．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】数形结合；综合法；空间角．【分析】（Ⅰ）先证明线面垂直，从而证明出线线垂直；（Ⅱ）求出SE的长，得到三角形BMC的面积，从而求出B到平面SCM的距离．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取AC的中点D，连接DS，DB．因为SA=SC，BA=BC，所以AC⊥DS，且AC⊥DB，DS∩DB=D，所以AC⊥平