2023学年完整公开课版数学归纳法2

数学归纳法（一）（2）用数学归纳法证明，当时，左边应为

。（1）如果命题对成立，则对也成立，又若对成立，则下列结论正确的是（）A、对所有自然数成立B、对所有正偶数成立C、对所有正奇数成立D、对所有大于1的自然数成立预习检测1、通过预习同学们有什么收获？（分组讨论后选出学生回答）

练习检测☺B-1解:

一、探究数列中，，，求以6为周期探究出证明有关正整数命题的方法（建立数学模型）。证题步骤：（1）n取第一个值(例如）时命题成立；（2）假设时命题成立,利用它证明当

时也命题成立；注意：第一步中n可取的第一个值不一定是1;

第二步是证明一个命题,必须要利用假设的结论证明n=k+1时结论正确;用这种递推思想证明：如果是一个等差数列，那么：

对一切都成立.

证明:(1)当时，左，右，所以等式成立(2)假设当时等式成立，就是那么∴当n=k+1时，等式成立由(1)(2)知对任何n∈N等式成立2、数学归纳法：

我们知道，有一些命题是和正整数有关的，如果这个命题的情况有无限种，那么我们不可能用完全归纳法逐一进行证明，而不完全归纳法又不可靠，怎么办？------用数学归纳法步骤：①验证n=n0时命题成立。（n0为n取的第一个值）②假设n=k(k∈N,k≥n0)时命题成立,证明n=k+1

时命题也成立。③根据①②得出结论。

概括起来就是“两个步骤，一个结论。”例1、用数学归纳法证明1+3+5+……+(2n-1)=n2

（n∈N）.

证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。

②假设n=k(k∈N,k≥1)时等式成立,即：

1+3+5+……+(2k-1)=k2，

当n=k+1时：

1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2，所以当n=k+1时等式也成立。

由①和②可知，对n∈N，原等式都成立。请问：第②步中“当n=k+1时”的证明可否改换为：1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)==(k+1)2?为什么？1、三个步骤却一不可:第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为归纳基础；第二步是归纳步骤，是推理的依据，是判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中“假设n=k时成立”称为归纳假设(注意是“假设”，而不是确认命题成立)。如果没有第一步，第二步就没有了意义；如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没有可靠性；第三步是总体结论，也不可少。2、在第二步的证明中必须用到前面的归纳假设，否则就不是数学归纳法了。3、数学归纳法只适用于和正整数有关的命题。由以上可知，用数学归纳法需注意：以问题2为例：问题2：在数列{an}中，a1=1,,先计算a2,,a3,a4的值，再推测通项an的公式.a2=,a3=,a4=,推测an=证明思路：先证明“第一项满足公式”再证明命题“若某一项满足公式，则下一项也满足公式”证明：（1）当n=1时,左=a1=1,右==1，所以公式成立。（2）假设当n=k(k∈N)时,公式成立,即ak=那么：∴当n=k+1时,公式成立由(1)(2)知对任意正整数n,an=成立.练习：1、用数学归纳法证明（a≠1），在验证n=1等式成立时，左边应取的项是__________.2、某个命题当n=k(k∈N)时成立，可证得当n=k+1时也成立。现在已知当n=5时该命题不成立，那么可推得（）A、n=6时该命题不成立B、n=6时该命题成立C、n=4时该命题不成立D、n=4时该命题成立3、证明：

C1、用数学归纳法证明问题，三个步骤缺一不可；2、注意证明等式时第一步中n=1时左右两边的形式，第二步中

n=k+1时应增加的式子；3、第二步中证明n=k+1命题成立是全局的主体，主要注意两个