03刚体的定轴转动课件

刚体运动的描述1

刚体的基本运动形式：平动和转动刚体（rigidbody）：特殊的质点系，在力的作用其形状和体积均不发生形变的物体，理想化的模型。平动（translation）：刚体在运动过程中，其上任意两点的连线始终保持平行的运动。一、刚体运动的基本形式可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。注：2转动（rotation）:刚体在运动过程中，其上各点都绕同一直线作圆周运动刚体定轴转动的特点：这条直线称为转轴。刚体上各质点都作半径不同的圆周运动。（角位移、角速度、角加速度）角量完全相同各质点运动的线量一般不同（线位移、线速度、线加速度）转轴固定不动则称为定轴转动（fix-axisrotation）3描述刚体转动的角量可由刚体上任一点P点作圆周运动时的角量来表示。刚体的角速度、角加速度：二、刚体定轴转动的描述转动平面

方向:右手螺旋方向定轴转动的转动方向可以用角速度的正负来表示.4定轴转动刚体上任一点的速度和加速度三.匀变速转动公式当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动.

刚体绕定轴作匀变速转动质点匀变速直线运动5定轴转动刚体的转动定律力矩角动量转动惯量6P*O刚体绕Oz轴旋转,力作用在刚体上点P,

且在转动平面内,为由点O到力的作用点P的径矢.对转轴Z的力矩

一、对轴的力矩

1）若力不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量其中对转轴的力矩为零，故对转轴的力矩7a)在定轴转动问题中，力对转轴的矩等于转动平面内的分力对转轴的力矩。b)同一个力对不同转轴的矩不一样；c)通常规定:说明：沿转轴方向沿转轴反方向8质元mi对转轴Z的角动量为：对组成刚体的所有质元的角动量求和从以角速度ω作定轴转动的刚体内取一质元mi，其对O的角动量为：二、定轴转动刚体对轴的角动量9刚体绕OZ轴转动的转动惯量刚体绕OZ轴转动的角动量注意：转动惯量、角动量都是相对量，都必须指明它们是相对于哪个轴。由质点系的角动量定理可得:三、定轴转动的转动定理令10即其中定轴情况下，可不写下标z，记作：之间的夹角与牛顿第二定律相比，有：M相应F，J相应m，相应a。转动平面内的力----刚体的定轴转动定律转动惯量J是刚体转动惯性的量度.11转动惯量的定义：转动惯量由质量对轴的分布决定，与下列因素有关：（1）密度大小（2）质量分布（3）转轴位置定轴zrimiΔ转动惯量的意义：J反映了转动惯性的大小。四、转动惯量的计算12例：半径为R

质量为

M的圆环，绕垂直于圆环平面的质心轴转动，求转动惯量J。解：分割质量元dm圆环上各质量元到轴的距离相等，绕圆环质心轴的转动惯量为13oR例2

一质量为m，半径为R的均匀圆盘，求对通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。rdr

解设圆盘面密度为，在盘上取半径为，宽为的圆环14例

求长度为L，质量为m的均匀细棒AB的转动惯量。（1）对于通过棒的一端与棒垂直的轴。

（2）对于通过棒的中心与棒垂直的轴。解（1）细杆为线质量分布，单位长度的质量为：（2）对于通过棒的中心的轴153.平行轴定理上例中JC表示对刚体质心轴的转动惯量，JA表示对任意轴的转动惯量。两轴平行，相距L/2。推广上述结论，可得平行轴定理。刚体绕平行于质心轴的转动惯量J，等于绕质心轴的转动惯量JC加上刚体质量与两轴间的距离平方的乘积。刚体绕质心轴的转动惯量最小。16应记住的几个常用结果:（1）细圆环（3）均匀圆盘、圆柱（2）均匀细棒计算转动惯量J的三条有用的定理：

（1）叠加定理:对同一转轴J有可叠加性17（2）平行轴定理:所以Jc总是最小的.mJACdJC平行（3）垂直轴定理:（对薄平板刚体）yxzyixiO18例：求对薄圆盘的一条直径的转动惯量利用转动惯量的可叠加性和平行轴定理：例：写出下面刚体对O轴（垂直屏幕）的转动惯量RMOOmL圆盘细杆19刚体定轴转动定律的应用解题思路:（1）选物体（2）看运动（3）查受力（注意:画隔离体受力图）（4）列方程（注意:建立坐标）20例1

定滑轮看作匀质圆盘，轴光滑，无相对滑动，桌面水平光滑。已知m1,m2,m3，R.求：两侧绳拉力。

m1

m2

m3RT1解：选竖直向下为坐标轴正向，垂直纸面向里为转轴正向，对m1,m2，由牛顿定律对m3,由转动定理无相对滑动：解得21例2

如图所示，一均匀细棒，可绕通过其端点并与棒垂直的水平轴转动。已知棒长为l，质量为m，开始时棒处于水平位置。令棒由静止下摆，求：（1）棒在任意位置时的角加速度；（2）角为300，900时的角速度。解(1)选垂直纸面向里为转轴正向细棒在任意位置时棒上的dr质元所受的对O的重力矩2223例3：一匀质细杆，长为l质量为m，在摩擦系数为的水平桌面上转动，求摩擦力的力矩M阻。解：杆上各质元均受摩擦力作用，但各质元受的摩擦阻力矩不同，靠近轴的质元受阻力矩小，远离轴的质元受阻力矩大，细杆的质量密度质元质量质元受阻力矩：细杆受的阻力矩24转动中的功和能一.力矩的功设刚体上P点受到外力的作用，,功为,位移为力矩：力矩对刚体所作的功：25二.定轴转动动能定理刚体的定轴转动动能:（可对比质点的动能）……定轴转动动能定理.即26三.刚体的重力势能

hc----质心的高度由于刚体仍是个质点系，所以对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立.四.应用举例27例

一半径为R，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上。若它的初速度为0，绕中O心旋转，问经过多长时间圆盘才停止。（设摩擦系数为）Or解：drR2829求:杆下摆到角时，角速度？

【解】“杆+地球”系统，(1)(2)由(1)、(2)解得：只有重力作功，E机

守恒。

已知：均匀直杆质量为m，长为l，轴o光滑，初始静止在水平位置。例.EP重=0θ·ω0CABl,ml/430刚体：刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量守恒定律：刚体系：

M外z=0时，对定轴的角动量守恒此时角动量可在系统内部各刚体间传递，而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。31例如：花样滑冰运动员的“旋”动作，当运动员旋转时伸臂时转动惯量较大，转速较慢；收臂时转动惯量减小，转速加快。再如：跳水运动员的“团身--展体”动作，当运动员跳水时团身，转动惯量较小，转速较快；在入水前展体，转动惯量增大，转速降低，垂直入水。强调：由质点和刚体组成的系统中，即有质点的运动，又有刚体的转动。在这种情况下，一般按转动问题来处理比较方便。当研究的是质点与刚体的碰撞问题时，可以把质点和刚体看成一个系统，在碰撞期间，由于系统所受的合外力矩为零，所以可对系统应用角动量守恒定律。32例

一长为l，质量为m0的杆可绕支点O自由转动。一质量为m，速度为v的子弹射入距支点为a的棒内。若棒偏转角为30°。问子弹的初速度为多少。解：角动量守恒：机械能守恒：oalv30°33质量m长l的均匀细杆可绕过其中点处的水平光滑固定轴0转动，如果一质量为

m’的小球以速度竖直落到棒的一端，发生弹性碰撞（忽略轴处摩擦）。例2.lm’mo【解】求：碰后小球的速度及杆的角速度。杆的角速度肯定如图，假设小球碰后瞬时的速度向上，如图所示。系统：小球+杆条件：M外=0角动量守恒（轴力无力矩；小球的重力矩与碰撞的内力矩相比可以忽略）34因为弹性碰撞,

动能守恒联立(1)(2)解得讨论1.量纲对2.>0对3.当m>3m’时,v>0（向上）当m=3m’时,v=0（瞬时静止）当m<3m’时,v<0（向下）35例3.已知:泥球质量为m,半径为R的均质圆盘质量为M=2m,它可绕水平光滑轴o轴转动.泥球与它正下方的圆盘上的P点距离为h，=60。

求:（1）碰撞后的瞬间m、M共同角速度（2）P点转到x轴时，角速度

角加速度【解】对“泥球+地球”系统，只有保守力作功，故机械能守恒：m下落过程：对第（1）问36

碰撞过程:对“m+M”系统，碰撞时间极小，冲力远大于重力，重力（外力）对0的力矩可忽略，故角动量守恒：37(1)(3)代入(2)得：转动过程：对“m+M+地球”系统，对第（2）问只有重力作功，故E机守恒：令P点与x轴重合时，EP重=0(3)(4)代入(5)得：P点转到x轴时，38例1：在摩擦系数为桌面上有细杆，质量为m、长度为l，以初始角速度0绕垂直于杆的质心轴转动，问细杆经过多长时间停止转动。解：以细杆为研究对象，受力分析，重力及桌面的支持力不产生力矩，只有摩擦力产生力矩。确定细杆受的摩擦力矩分割质量元dm细杆的质量密度为：质元受的摩擦力矩细杆受的摩擦力矩39始末两态的角动量为：由角动量定理：本题也可用运动学方法求解，由M=J,和=0+

t,求出

t=-0/。40刚体和质点力学规律的对照