平面系的合成与平衡课件

建筑力学与结构第2章平面力系的合成与平衡1第2章平面力系的合成与平衡2.1力系简化的基础知识

2.2力矩与力偶目录

2.3平面力系的合成

2.4平面力系平衡方程的应用22.1.1平面力系的分类平面力系平面汇交力系平面一般力系力系中各力的作用线都处于同一个平面，称为平面力系。在平面力系中，各力的作用线都汇交与一点，称为平面汇交力系。平面平行力系在平面力系中，各力的作用线都互相平行，称为平面平行力系。在平面力系中，各力的作用线既不完全平行，也不完全相交，称为平面一般力系。2.1力系简化的基础知识3平面汇交力系平面平行力系平面任意力系2.1.1平面力系的分类2.1力系简化的基础知识4

空间汇交力系空间一般力系空间平行力系2.1.1平面力系的分类2.1力系简化的基础知识51.力的平行四边形法则

作用在物体上同一点的两个力，可以合成为仍作用于该点的一个合力，合力的大小和方向由以原来的两个力为邻边所构成的平行四边形的对角线矢量来表示。

力的平行四边形法则2.1.2力的合成A表达式：6三角形法则（1）力的三角形法则：两个力首尾相接，起点和终点相连，但次序可变，合力的终点就是最后分力的终点。（2）计算大小和方向，不代表作用点及作用线。2.1.2力的合成三角形法则7力的多边形法则：把各力矢按一定次序首尾相接，形成力矢折线链，加上封闭边得到了一个多边形，合力矢是封闭边，合力矢的方向是从第一个力矢的起点指向最后一个力矢的终点。FRF1BF2CF3DF4EAAF2F1F4F3FRF1BF2CF3DF4EA2.力的多边形法则2.1.2力的合成8

汇交力系可以合成为一个力，合力作用在力系的公共作用点，它等于这些力的矢量和，并可由这力系的力多边形的封闭边表示。矢量的表达式：FRF1BF2CF3DF4EAAF2F1F4F3FRF1BF2CF3DF4EA2.1.2力的合成2.力的多边形法则92.力的多边形法则2.1.2力的合成OABCDEO10A60ºPB30ºaaC(a)FA

BACD60ºFB30ºPEPFBFA60º30ºHK(c)解：(1)取梁AB作为研究对象。(4)解出：FA=Pcos30=17.3kN，FB=Psin30=10kN(2)画出受力图。(3)应用平衡条件画出P、FA和FB的闭合力三角形。

[例2-1]水平梁AB中点C作用着力P，其大小等于20kN，方向与梁的轴线成60º角，支承情况如图(a)所示，试求固定铰链支座A和活动铰链支座B的反力。梁的自重不计。

11几何法解题步骤：1.取研究对象；2.画受力图；

3.作力多边形；4.选比例尺；

5.解出未知数。几何法解题不足：1.精度不够，误差大；

2.作图要求精度高；

3.不能表达各个量之间的函数关系。平面汇交力系合成与平衡的另一种方法：解析法。

平面汇交力系合成与平衡的几何法121.力在坐标轴上的投影abFxFyOxyb¢a¢

从力F的始点A和终点B分别向x轴作垂线，得垂足a和b，则线段ab称为力F在x轴上的投影，用Fx表示。ABF

从力F的始点A和终点B分别向y轴作垂线，得垂足和，则线段称为力F在y轴上的投影，用Fy表示。a¢b¢a¢b¢2.1.3力的投影与合力投影定理13abFxFyOxyb¢a¢ABFFx和Fy的计算公式：

力的投影为代数量，其正负号规定如下：若投影的始端a（或）到投影的末端b（或）方向与x轴（或y轴）的正向一致，则投影Fx（或Fy）为正；反之为负。a¢b¢

Fx=±Fcosα

Fy=±Fsinα

1.力在坐标轴上的投影2.1.3力的投影与合力投影定理14力的方向与其投影的正负号2.1.3力的投影与合力投影定理15AF2F1(a)F3以三个力组成的共点力系为例。设有三个共点力F1、F2、F3如图。2.合力投影定理2.1.3力的投影与合力投影定理F1F2F3xABCD(b)16合力在x轴上投影：F1F2F3xABCD(b)推广到任意多个力F1、F2、Fn

组成的平面汇交力系，可得：abcd各力在x轴上投影：

合力投影定理：合力在坐标轴上的投影，等于它的各个分力在同一坐标轴上投影的代数和。17合力的大小：合力的方向：根据合力投影定理得合力作用点：为该力系的汇交点OxyFFRxFRy18[例2-2]一固定于房顶的吊钩上有3个力F1，F2，F3，其数值与方向如图所示，用解析法求些3力的合力。19【例2-3】固定于墙内的环形螺钉上，作用有3个力

，各力的方向如图所示，各力的大小分别为，

。试求螺钉作用在墙上的力。

解：要求螺钉作用在墙上的力可先求作用在螺钉上三力合力。20根据力的平衡可知，墙给螺钉的作用力应与FR大小相等方向相反。再根据牛顿第三定律可知，螺钉作用在墙上的力F`R=FR=8.345kN。

21平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系的合力为零。3、汇交力系平衡的解析充要条件或：力系中所有力在各个坐标轴上投影的代数和分别等于零。为平衡的充要条件，也叫平衡方程22解析法求解汇交力系平衡问题的一般步骤:1.选分离体，画受力图。分离体选取应最好含题设的已知条件。2.建立坐标系。3.将各力向各个坐标轴投影，并应用平衡方程求解。2个方程解能求解2个未知力。23解：1.取滑轮B轴销作为研究对象。2.画出受力图（b)。FBCTFABPxy30°30°bB[例2-4]

利用铰车绕过定滑轮B的绳子吊起一重P=20kN的货物，滑轮由两端铰链的水平刚杆AB和斜刚杆BC支持于点B(图(a))。不计铰车的自重，试求杆AB和BC所受的力。30°BPAC30°a243.列出平衡方程：4.联立求解，得反力FAB为负值，说明该力实际指向与图上假定指向相反。即杆AB实际上受拉力。FBCTFABPxy30°30°bB25C2.2.1力矩和合力矩定理当力F作用在乒乓球的下侧时：1.力对点之矩FC平移转动C问题？如何度量力的转动效应？2.2力矩和力偶26FO力的转动效应取决于：力F的大小O点到力F作用线的垂直距离d矩心力臂d力矩

力F与力臂d的乘积Fd，称为力F对O点的力矩，简称力矩，用MO(F)。F↑,d↑转动效应↑1.力对点之矩2.2力矩和力偶27FO矩心力臂d力矩

力F与力臂d的乘积Fd，称为力F对O点的力矩，简称力矩，用MO(F)。力矩正负号表示转动方向：逆时针为正+－顺时针为负逆正顺负力矩的单位：或2.2力矩和力偶1.力对点之矩28由力矩的定义可以得到如下性质：（1）力F对点O的矩，不仅决定于力的大小，同时与矩心的位置有关。（2）当力的大小为零或力臂为零时，力矩为零。（3）力沿其作用线移动时，因为力的大小、方向和力臂均没有改变，故力矩不变。（4）相互平衡的两个力对同一点的矩的代数和等于零。2.2力矩和力偶1.力对点之矩29合力矩定理

合力FR对某一点O之矩，等于其分力Fi(i=1~n)对同一点之矩的代数和。力矩计算方法当力臂易求时，按力矩定义计算当力臂难求时，用合力矩定理计算2.2力矩和力偶2.合力矩定理30[例2-5]求:解:按合力矩定理已知:F=1400N,

直接按定义31[例2-6]支架如图所示，已知AB=AC=30cm,BD=15cm，F=100N,α=30°,试分别根据力矩的定义和合力矩定理求力F对A、B、C三点的力矩。并比较计算结果。【解】（1）根据力矩定义计算，得：32(2)根据合力矩定理计算将力F分解为水平力Fx和铅垂力Fy，如图中所示。33

把大小相等、方向相反、作用线平行的两个力叫做力偶。并记作（F，F

）。力偶的概念2.2.2力偶和力偶矩1.力偶d34

把大小相等、方向相反、作用线平行的两个力叫做力偶。并记作（F，F

）。力偶的概念力偶作用面：组成力偶的两个力所在的平面。力偶臂：力F

和F

作用线之间的距离d。d力偶的三要素：力偶的大小力偶的转向力偶的作用面2.2.2力偶和力偶矩1.力偶35力偶矩d

力偶作用于物体，将使物体产生转动效应。用力偶矩来度量。力偶矩：力和力偶臂d的乘积。记作或M。力偶矩的单位：N·m或kN·m+_力偶矩正负号：逆时针为正顺时针为负2.2.2力偶和力偶矩2.力偶矩36dFyxo力偶的性质性质1：力偶无合力，即力偶不能用一个力来代替，也不能用一个力来平衡。力偶只能与力偶相平衡。性质2：在同一个平面的两个力偶，如果力偶的大小相等，转向相同，则两个力偶等效。性质3：力偶对其平面内任一点之矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关。

力偶在坐标轴上的投影等于零。FdF’FdF’2.2.2力偶和力偶矩3.力偶的基本性质37推论1：任何一个力偶在其作用面内任意的转移，而不会改变它对刚体的转动效应。推论2：在力偶矩大小不变的条件下，可以改变力偶中的力和力臂的长短，而不改变力偶对物体的转动效应。用力偶作用面内的一个圆弧箭头表示力偶，圆弧箭头的方向表示力偶转向，弧线旁的字母M或数值表示力偶矩的大小。2.2.2力偶和力偶矩3.力偶的基本性质38根据力的可传性原理，力沿其作用线移动到刚体上任意一点，而不改变力对刚体的效应。那么，力是否可以离开作用线向任意点平移（即力线的平移）呢？?2.2.3力的平移定理39

A点的力平行移动至B点时，必须附加一个相应的力偶，这样才与原力对物体作用的效应相等。FFF’F”FF’M=Fh

F’=F’’=F2.2.3力的平移定理40力的平移定理：作用于刚体上的力可以平行移动至刚体内任意一点，欲不改变它对刚体的作用效应，则必须附加一个相应的力偶，此力偶矩等于原力F对新的作用点之矩。FhF’M2.2.3力的平移定理41力平移的应用划船42例如用丝锥攻丝43如一厂房中行车梁立柱受力

将P力平移至立柱轴线的O点处

，并附加一个力偶，该力偶矩

M=Pe式中，e称为偏心距。442.2.1平面汇交力系的合成2.3平面力系的合成1.力的可传性原理力的可传性原理：作用于刚体上的力，可沿其作用线移动至该刚体上的任意点而不改变它对刚体的作用效应。AFBAFB45将平面汇交力系简化为平面共点力系，然后连续应用力的平行四边形法则，可将平面共点力系合成为一个力，就是该力系的合力。即：故平面汇交力系的合成结果是一个合力，合力的作用线通过汇交点，其大小和方向由力系中各力的矢量和确定。根据合力投影定理，有：2.3.1平面汇交力系的合成2.3平面力系的合成2.平面汇交力系的合成46[例2-7]一固定于房顶的吊钩上有3个力F1，F2，F3，其数值与方向如图所示，用解析法求些3力的合力。472.3.2

平面力偶系的合成与平衡平面力偶系:作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系设有两个力偶 dd48平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的代数和等于零。

结论:平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩的代数和。2.3.2

平面力偶系的合成与平衡49【例2.8】一物体在某平面内受到三个力偶的作用，如图所示。已知P1=P1′=200N，P2=P2′=600N,

P3=P3′=400N，试求其合力偶。【解】用M1、M2、M3分别表示力偶（P1，P1′)、(P2，P2′)、（P3，P3′)的力偶矩，则

M1=-P1×1=-200×1N·m=-200N·m

M2=-P2×0.25/sin30°=-300N·m

M3=P3×0.25=100N·m所以合力偶矩为

M=∑Mi=M1+M2+M3=-400N·m50【例2.9】简支梁AB上作用有两个力偶，如图（a)所示。已知P=P′=2kN,m=20kN·m,a=1m,l=5m，试求支座A、B的反力。【解】取梁AB为研究对象。梁AB的受力图,如图（b)所示。列出平面力偶系的平衡方程

∑M=0,

-Pasin30°-m+RAl=0即-2×1×0.5-20+RA×5=0解得RA=4.2kN故RB=RA=4.2kN512.3.3平面一般力系向平面内一点的简化1、力系向给定点O的简化、简化中心平面一般力系F1、F2…Fn

平面汇交力系F1’、F2’…Fn平面力偶系:M1、M2…Mn

F1’=F1F2’=F2Fn’=Fn

=简化中心0合成合成

52

应用力线平移定理，可将刚体上平面任意力系中各个力的作用线全部平行移到作用面内某一给定点O

。从而这力系被分解为平面汇交力系和平面力偶系。这种变换的方法称为力系向给定点O的简化。点O

称为简化中心。1、力系向给定点O的简化、简化中心2.3.3平面一般力系向平面内一点的简化53(1)主矢F`

汇交力系F1’、F2’…Fn’的合成结果为一作用点在点O的力F`,这个力矢F`称为原平面任意力系的主矢。2、主矢和主矩

F`的大小与方向由原力系各力的矢量和决定，可用力多边形法则的图解法求解，或用数解法求出。

主矢是原力系的合力?54用数解法时，先计算F`在x轴和y轴上的投影：

(1)主矢F`55附加力偶系M1、M2…Mn的合成结果是作用在同平面内的合力偶，该力偶的矩用MO代表，称为原平面任意力系对简化中心O

的主矩。(2)主矩M0主矩M0等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和。56

主矢F`与主矩

M0合成的结果得到原力系的合力FR

。

(3)合力FR

合力FR的大小、方向与主矢F`相同，作用线距简化中心的垂直距离为：MOOF`O

AF`F``O

A57

[例2-10]在长方形平板的O、A、B、C点上分别作用着有四个力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如图），试求以上四个力构成的力系对点O的简化结果，以及该力系的最后的合成结果。解：取坐标系Oxy。

1、求向O点简化结果：①求主矢F`F1F2F3F4OABCxy2m3m30°60°58R0OABC

xyF1F2F3F4OABCxy2m3m30°60°59②求主矩：（2）求合成结果：

合成为一个合力R，R的大小、方向与R0相同。其作用线与O点的垂直距离为：yR0OABC

xMoRhF1F2F3F4OABC

xy2m3m30°60°60主矢和合力是两个不同的概念合力是作用在同一点上的各力的矢量和，主矢可以是作用点不同的各力之矢量和。主矢只有大小和方向，没有作用点。2.3.3平面一般力系向平面内一点的简化613、平面任意力系对简化中心O的简化结果主矩：主矢：汇交力系之合力F`

(主矢)，(作用在简化中心)

力偶系之合力偶MO(主矩)，(作用在该平面上)（1）主矢的大小与方向取决于原力系中各力的大小和方向，与简化中心0的位置无关；（2）主矩与简化中心0的位置有关。因此，必须指明对哪一点的主矩。主矢和主矩是决定平面力系对刚体作用效应的两个物理量。6263=（1）简化为一个合力偶M0，则原力系无合力，而只有合力偶矩。此时主矩与简化中心的位置无关。（2）力系简化成为过简化中心的一个合力。?

若另选一适当点作为简化中心，力系能否简化为一力偶？不能，因为主矢与简化中心无关。合力偶合力2.3.3平面一般力系简化结果的讨论64（3）F`≠0，MO≠0

原力系简化成一个力偶和一个作用于点O的力。这时力系还可简化为一个合力。MOOO

AO

A（4）F`=0，MO=0，原力系平衡。合力平衡65总结平面力系简化的三种结果

F`=0，MO=0F`=0

，MO≠0合力偶

平衡力系

F`≠0，MO≠0合力

F`≠0，MO=066例题[例2-11]已知挡土墙自重FG=400kN，水压力FQ=180kN，土压力FP=300kN，各力的方向及作用线位置如右图所示，试将这三个力向底面中心O点简化，并求简化的最后结果。解：以底面中心O为简化中心，取坐标系如上图所示，得：67所以F`指向第三象限与x轴之夹角为a，主矩为：计算结果为正，表示MO是逆时针转向。因为主矢和主矩都不为零，所以还可进一步合成为一个合力FR。FR的大小、方向与F`相同，它的作用线与O点的距离为：由于MO为正，所以MO（FR）也应为正，即合力FR应在O点左侧，如图所示。682.4.1平面一般力系的平衡方程1、平面一般力系平衡充要条件：力系的主矢等于零，且力系对任一点的主矩也等于零。平面一般力系平衡的必要与充分条件：力系中各力对坐标轴投影的代数和为零，且对平面内任意点的力矩的代数和也为零。2.4

平面力系的平衡方程和应用无移动无转动692、平衡方程基本形式:平衡方程的二力矩式：（A、B连线不垂直X轴）

平衡方程的三力矩式(A、B、C三点不共线)

ABCF

若A、B、C三点共线，在F`≠0，也满足上面三个方程，但力系不是平衡力系。702.4.2

平面特殊力系的平衡方程一.平面汇交力系平衡方程：二.平面力偶系

平衡方程：三.平面平行力系

1.平面平行力系的合成作用在物体同一平面内的力是相互平行的，称之为平面平行力系。合力：71（1）、平面平行力系平衡的充要条件

力系中各力的代数和等于零，以这些力对任一点的矩的代数和也等于零。

2.

平面平行力系的平衡（2）、平面平行力系的平衡方程：二矩式AB连线不能平行于力的作用线（设力线与X轴垂直）一矩式利用平衡方程只能求解二个未知量。72

1、解题步骤与技巧

解题步骤①选研究对象②画受力图③选坐标、取矩点、列平衡方程。④

解方程求出未知数⑤校核（即验证所求的结果是否正确）解题技巧①

选坐标轴最好是未知力投影轴；②

取矩点最好选在未知力的交叉点上；③

充分发挥二力杆的直观性；④

灵活使用合力矩定理。2、注意问题

力偶在坐标轴上的投影不存在；力偶矩M=常数，它与坐标轴和取矩点的选择无关。2.4.3平面问题的平衡方程及其应用73平面力偶系平面任意力系平面汇交力系两个独立方程，只能求两个独立未知数。一个独立方程，只能求一个独立未知数。三个独立方程，只能求三个独立未知数。平面平行力系两个独立方程，只能求两个独立未知数。3、力系平衡方程2.4.3平面问题的平衡方程及其应用74[例2-12]如图，起吊一个重10kN的构件，钢丝绳与水平线夹角，求构件匀速上升时，绳的拉力是多少？解：构件匀速上升时处于平衡状态，所以：（1）根据题意，取吊钩C为研究对象。（2）画出吊钩C的受力图，如右图所示。（3）选取坐标系如图所示。（4）列平衡方程：解得：例题75[例2-13]外伸梁受荷载如下图所示，已知均布荷载集度q=20KN/m，力偶m=38KN.m，集中力P=20kN，试求支座A、B的反力。解得：校核：说明计算无误。解：取梁BC为研究对象，画受力图如上图所示，选取坐标轴，建立平衡方程：76[例2-14]求右图所示刚架的支座反力。解：取整体为研究对象，受力图如右图所示，选取坐标轴，建立平衡方程：解得：校核：说明计算无误。77解（1）以BC为研究对象，进行受力分析，如图（b)所示。列平衡方程：[例2-15]多跨静定梁由AB梁和BC梁用中间铰B连接而成，支座和荷载情况，如图(a)所示，已知P=20kN,q=5kN/m,。求支座A、C的反力和中间铰B