第一部分知识梳理第五单元23课时

第一部分教材知识梳理第五单元

四边形第23课时

矩形、菱形、正方形中考考点清单考点一 矩形的性质与判定（高频考点）名称性质判定1.四个角都是直角1.有一个角是①2.对角线相等直角的平行四边形矩形3.既是中心对称图形，又是轴对称图形2.对角线②相等的平行四边形4.S=ab(a、b表示长和3.有三个角是③直角宽)的四边形考点二 菱形的性质与判定名称性质判定菱形四条边都相等对角线互相垂直，并且每条对角线④平分一组对角菱形的面积等于两条对角线乘积的一半既是中心对称图形，又是轴对称图形有一组邻边⑤相等的平行四边形四条边都相等的四边形对角线互相垂直的⑥

平行四边形考点三 正方形的性质与判定名称性质判定正方形四条边都相等，四个角都是⑦

直角对角线相等且互相⑧垂直平分，每条对角线平分一组对角面积等于边长的平方有一个角是直角，且有一组邻边相等的⑨平行四边形一组邻边相等的⑩矩形一个角是直角的菱形11

垂直

4.对角线相等且的平行四边形【温馨提示】矩形的对角线相互平分且相等，菱形的对角线相互垂直平分，正方形的对角线相互垂直平分且相等.考点四 平行四边形、矩形、菱形和正方形四者之间的关系常考类型剖析A.

B.3243典例精讲类型一 矩形的相关计算例1

（’14六盘水模拟)如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，则折痕DG的长为

（

C

）C.

325D.

13【思路点拨】首先设AG=x，由矩形纸片

ABCD中，AB=4，AD=3，可求得BD的长，又由折叠的性质，可求得A′B的长，然后由勾股定理可得方程：x2+22=（4-x)2，解此方程即可求得AG的长，继而求得答案．【解析】设AG=x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∵AB=4，AD=3，∴BD=AD2

+AB2=5，由折叠的性质可得：A′D=AD=3，A′G=AG=x，∠DA′G=∠A=90°，∴∠BA′G=90°，BG=AB-AG=4-x，A′B=BD-A′D=5-3=2，∵在Rt△A′BG中，

A′G2+A′B2=BG2，∴x2+22=（4-x）2，解得：32x=

，∴AG=

,

∴在Rt△ADG中3

，DG==

,故选C.22

2AD

+

AG532针对演练1.(’14曲靖)如图，在矩形ABCD中，E、F分别是AD、BC中点，连接AF、BE、CE、DF分别交于点M、N，四边形EMFN是（

）A.正方形C.矩形B.菱形D.无法确定B【解析】如解图，连接EF，∵四边形ABCD是矩形，E，F分别是AD，BC的中点，∴AD∥BC，AE＝DE＝BF＝CF，∴四边形AECF，四边形DEBF都是平行四边形，∴BE∥DF，AF∥CE，∴四边形EMFN是平行四边形，又∵EM

＝12DF，MF＝

1

EC，DF＝EC，∴EM＝FM＝EN＝NF，∴四边形

EMFN是菱形,故选B.2第1题解图2.

（’14淄博）如图，矩形纸片ABCD中，点

E是AD的中点，且AE＝1，BE的垂直平分线MN恰好过点C.则矩形的一边AB的长度为(

C

)A.1C.B.D.223【解析】本题考查矩形性质、垂直平分线性质以及勾股定理，如解图，连接EC，因MN垂直平分BE，所以BN=EN，又因为AE=DE=1，所以EC＝2ED＝2，在Rt△DEC中，DC＝AB＝

.22＝+

12

3第2题解图3.（’14黔东南州模拟）将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在D′处，已知∠CED′=60°，DE=1，则DD′的长为(

B)32A.

B.

3

C.

2

2

D.3【解析】∵将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在D′处，已知∠CED′＝60°,∴∠1＝∠2，∠DEA＝∠D′EA，∠DED′=180°-60°=120°,∴∠DEA=∠D′EA＝60°，∴∠1＝∠2＝30°，∵DE＝1，∴AD＝AD′，∠DAD′＝30°+30°＝60°，∴△ADD′是等边三角形，∴DD′=AD＝AD′＝

.DEtan

30=

3

，∵AD=34.

（’14遵义模拟)如图矩形ABCD中，AB=2，点E在BC上并且AE=EC，若将矩形纸片沿AE折叠，使点B恰好落在AC上，则矩形ABCD的面积为（

C

）A. B.

2C.

4

D.

63

3

3

3【解析】∵AE=EC，∴∠EAC=∠ECA，∵将纸片沿AE折叠，点B恰好落在AC上,∴∠BAE=∠EAC，∴∠BAE=∠EAC=∠ECA，∵∠B+∠ECA+∠CAB=180°，∴∠ECA=30°，∵AB=2，∴AC=2AB=4，在Rt△ABC中，∵AB2+BC2=AC2，即22+BC2=42，解得BC=

，∴S矩形ABCD2=A3B·BC

=2×=

.

2

3

4

3类型二 菱形性质的相关计算例2（’14烟台)如图，在菱形ABCD中，

M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（A.

28°

B.

52°C

）C.

62°

D.

72°【思路点拨】根据菱形的性质以及

AM=CN，利用AAS可得△AOM≌△CON，可得OA=OC，然后根据角平分线的性质易得∠ABC的度数，继而可求得∠OBC的度数．【解析】本题考查了菱形的性质及等腰三角形的性质，根据四边形ABCD为菱形可知∠OAM=∠OCN，又∵∠AOM=∠CON，AM=CN，∴△AOM≌△CON（AAS），∴OA=OC，又∵AB=CB，∴OB平分∠ABC，由∠DAC=28°，OA平分∠BAD得∠BAD=56°，∴∠ABC=124°，∴∠OBC=62°.A.AB∥DCC.AC⊥BDB.

AC=BDD.OA=OC针对演练1.如图．在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（

B

）【解析】本题考查的是菱形的性质，菱形是特殊的平行四边形，所以平行四边形具有的性质，菱形都有，所以选项A、D都是对的；另外菱形还有自己特殊的性质，对角线互相垂直等，所以选项C也是对的.所以，根据排除法可知，选项B是错误.2.

（’14兰州)如果菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满足（a-1)2+b

-4

=0，那么菱形的面积等于

2

.【解析】本题考查非负数的性质及菱形面积的计算.根据题意得：a-1=0b-4=0，解得：a=1b=4，2菱形的面积为

1

ab＝

1

×1×4=2.23.（’14安顺模拟)如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线BD上的一个动点，点M、N分别是边BC、CD的中点，则PM+PN的最小值是

5

.【解析】如解图，作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，即Q在AB上，∵MQ⊥BD，∴AC∥MQ，∵M为BC中点，∴Q为AB中点，∵N为CD中点，四边形ABCD是Q第3题解图菱形，∴BQ∥CD，BQ=CN，∴四边形BQNC是平行四边形，∴NQ=BC，∵四边形ABCD是菱形，∴CP=AC=3,

BP=即NQ=5,∴MP+NP=QP+NP=QN=5.12中，由勾股定理得：BC=5,1

BD=4,在Rt△BPC2类型三 正方形性质的相关计算例3

（’14绵阳)如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF=45°，△ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为

.2【思路点拨】以点A为圆心，AE长为半径画弧线，交CD的延长线为点G，根据旋转的性质，运用全等三角形的知识，即可求出正方形ABCD的边长.G例3题解图【解析】以点A为圆心，AE长为半径画弧线，交CD的延长线为点G,根据HL可以证明△ADG≌△ABE,则D=BE,∠GAD=∠EAB

，∵∠EAF=45°∴∠DAF+∠EAB=45°，∴∠GAF=∠GAD+∠DAF=∠EAB+∠DAF=45°,又∵GA＝AE,∠GAF=∠EAF=45°,AF为公共边∴可以证明△GAF≌△EAF（SAS）,则GF=EF,∵△ECF的周长为

EC+EF+CF=4,EF=GF,GF=GD+DF,GD=BE,∴EC+EF+CF=EC+GD+DF＋CF=EC+BE+DF+CF=4,即BC+DC=4.∴正方形边长为2.C.

2-针对演练1.（’14安顺模拟)如图所示，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ODC交OC于点E，若AB=2，则线段OE的长为（

C

）22A.

B.

2232D.

2

-1OE＝FC，设OE＝x，则EC=【解析】如解图，过E作EF⊥CD于点F，∵AB=2,∴BD=AC=2

2,∴OD=OC=

2

，∵DE平分∠ODC交OC于点E,∴OE=EF，又∵AB＝2，∴CD＝2，∵EF⊥CD，∴EF＝EF

2

+

FC

2

＝x2

+

x2

=2

x.∴OE+EC＝x+

2x＝OC＝

2，∴x＝2-

2

，∴OE＝2-

2

.F2.（新人教八下P67复习题第1（3）题改编）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠AEB