高数第10章-拉普拉斯变换课件

第九章拉普拉斯变换拉普拉斯变换拉氏变换的概念拉氏变换的基本性质拉氏逆变换的求法拉氏变换第一节拉氏变换的概念重点：1.拉氏变换的定义2.简单函数拉氏变换的求法难点：

拉氏变换的计算一拉普拉斯变换的定义拉氏变换通常用符号

表示，即若是

的拉氏变换，则称是函数，拉氏变换是可逆的积分变换，称的像是的像原函数，或逆变换。设函数

的定义域为

,且当时，，若积分对于在某一范围内的值收敛，则此积分就确定了一个参数的函数，记为，即，函数称为的拉普拉斯变换，简称拉氏变换。

说明：1.在很多实际问题中，以时间

为自变量的函数

，当

时是无意义或者无需考虑的，故对本章中出现的任何函数，总假定当时，且常常将

简记为;;2.积分

中的

一般情况下为复数，但我们只讨论是实数的情况。

3.函数的拉氏变换，当且仅当积分

时才存在，但一般说来，科技、生产中常用函数的拉氏变换总是存在的。说明：1.在很多实际问题中，以时间

例1:求函数

的拉氏变换。解：由公式，得函数

的拉氏变换为

所以，

例2：求函数

的拉氏变换（其中

为实数）。

解：由公式可得：,例3：求函数

的拉氏变换。

解：当

时，两次使用分布积分，得由此可得同理可算得余弦函数的拉氏变换二两个重要函数1.单位阶梯函数单位阶梯函数

由例1知，它的拉氏变换的图像如下页左图所示，，将的图像向右平移个单位，即得设，则其图像如下页右图所示。2.狄拉克函数定义：设当时，函数序列的极限称为狄拉克函数或单位脉冲函数，记为函数。由此可见，是这样一个函数：的图形如图所示。显然，对任何，有所以，我们规定有些工程书上将函数用一个长度等于1的有向线段来表示（如图），这个线段的长度表示函数的积分，称为函数的强度。根据拉氏变换的定义，可以得到的拉氏变换

第二节拉氏变换的性质重点：拉氏变换的性质难点：拉氏变换的性质1.线性性质：若,,则对于任意常数和有例1：求双曲正弦函数的拉氏变换。解：例2：求函数的拉氏变换。解：由于，所以2.平移性质：若，则例3：求函数和的拉氏变换.解：由平移性质及及可得:3.延滞性质：若，则()例4求狄拉克函数的拉氏变换。解：由及可得：同理可得：4．微分性质：若，且及直至

的拉氏变换都存在，则一般有特别的，如果则(),例5证明:证明：设，注意到及,由，有而即得所以，例6利用微分性质求解：由,,故5.积分性质:,()，且连续，则性质5表明，一个函数积分后取拉氏变换，等于这个函数的拉氏变换除以参数.性质5可以推广到有限次积分的情形：()

例7查表求解：令，则由表中序号4得：或第三节拉氏逆变换的运算重点：拉氏逆变换的求法难点：拉氏逆变换的求法一拉氏逆变换的定义：若存在，则称为的拉氏变换，记为此时也称为的拉氏逆变换，记为2.若，则(1)(2)(5)(4)(3)()例1求下列各像函数的拉氏逆变换(1)(3)(4)(2)解：（1）由性质及表（序号11），得：（2）由性质及表（序号2，3），得：（3）由性质及表（序号4，5），得：（4）由性质及表（序号13，14），得：例2求的拉氏逆变换。解：先将分解为两个简单分式之和，

其中为待定的常数，上式两边同乘以，得令，得，又令

，得。所以于是，例3求的拉氏逆变换。解：设（因分母有一个因式为二次式，所以它的分式要写成一次式形式），由上式得比较两边的系数，得解方程组，得,,所以第四节拉氏变换的应用

重点：１.用拉氏变换解微分方程

２.传递函数难点：１.用拉氏变换解微分方程

２.传递函数一解微分方程用拉氏变换解微分方程的一般步骤为：(1)对方程两边分别求拉氏变换；(2)解出未知函数的拉氏变换；(3)求出像函数的拉氏逆变换，解出未知函数。例1求解，已知,解：第一步对方程两边取拉氏变换，并设因,故上式变为,第二步解出第三步求像函数的逆变换。例2求微分方程满足初始条件：,的解。解：对方程两边求拉氏变换，并设，得将,代入，得解得再对上式取拉氏逆变换，得这就是所求微分方程的解。例3一个欧姆的电阻，亨利的电感和一个伏的电源连同开关串联起来（如图），在时开关闭合，此时电流。若（1），（2）（3），求时的电流解：根据基尔霍夫定律，有（1）令(1)若，对（1）取拉氏变换，并代入初始条件，得取逆变换，得到电流（2）若，则取逆变换，得到电流（3）若，则取逆变换，得到电流例4给定如图所示的电网络中，若初始电流是零，求各个支路中电流的变化规律。解由基尔霍夫定律，得其中，,令,对方程组取拉氏变换，并代入初始条件,得二传递函数定义：一个具有零初始条件的线性系统（或部件、或基本环节、或网络），它的输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比称为该系统的传递函数，记为，即，或者系统的传递函数表达了该系统本身的特性，而与系统的拉氏变换就可求出输出的拉氏变换。输入无关，即如果一个系统的传递函数已知，则由输入的一个系统如由多个基本环节串联而成，则该系统的传递函数是所有基本环节的传递函数之积。整理，得

解方程组，得取逆变换，得到电流的变化规律,,.例5求如图所示电路的传递函数，这里输入是电压,输出是电压,并求当输入电压

时的输出电压。解：设电路的左网孔的电流为由回路电压法，得，对此方程组取拉氏变换，得由（2）式，得。代入（1）得经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量StudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,