信息光学-傅立叶变换课件

傅里叶变换:傅里叶逆变换:f(x,y):原函数；F(fx,fy):像函数或频谱函数F(fx,fy)=F{f(x,y)}=F.T.[f(x,y)],

F(fx,fy)=F-1{f(x,y)}=F.T.-1[f(x,y)],

傅里叶变换的基本性质和定理原函数频谱函数1δ(fx,fy)δ(x,y)1δ(x-x0,y-y0)exp[-j2π(fxx0+fyy0)]exp[-j2π(ax+by)]δ(fx-a,

fy-b)cos[2πf0x)]cos[2πf0x)]sin[2πf0x)]sin[2πf0x)]原函数频谱函数rect(x)rect(y)sinc(fx)sinc(fy)Λ(x)Λ(y)sinc2(fx)sinc2(fy)sgn(x)sgn(y)comb(x)comb(y)comb(fx)comb(fy)exp[-π(x2+y2)exp[-π(fx2+fy2)

1.6线性系统分析系统：广义上讲实现函数变换的运算过程从狭义上讲物理学系统电子系统光学系统光电混合系统等等系统的数学描述系统的作用可以用一个算符来表示输入f输出g系统L{·}(表示系统的作用，某种变换处理)g=L{f}系统线性非线性光学系统由光学元器件组成光路系统或仪器光在自由空间中的传播1.6.1线性系统一、定义1）叠加性若则称该系统具有叠加性。叠加性：系统中的一个输入不影响系统对其它输入的影响。2）均匀性若对任意常数a有下成立式均匀性：系统能够保持对输入信号的缩放因子不变。3)线性系统若一个系统同时具有叠加性和均匀性，即则称该系统是线性系统。二、线性系统的数学描述（线性系统的脉冲响应或点扩散函数）1、线性系统分析的基本思想：一个复杂的输入信号（函数）f(x,y)，它可以分解成某些简单函数（也称基元函数）的线性叠加。若系统对每个简单函数（基元函数）的输出已知（易求得），那么，系统对输入信号的输出响应就等于系统对这些简单函数（基元函数）的输出响应的线性叠加。则1.6.2线性平移不变系统一、线性平移不变系统的定义平移不变性：若则称该系统具有平移不变性。所谓平移不变性就是当输入产生平移时，输出也仅仅发生平移，形式不变。对于空间函数来讲，也称为空间平移不变性。

线性平移不变系统：既具有线性又具有平移不变性的系统称为平移不变系统。对于光学成像系统而言，理想成像情况下，平移不变性是指：当物在物面发生平移时，它的像在像面上也仅发生相应平移，其中M是垂轴放大率。实际的光学系统，总有一定的孔径大小，总存在一定的像差，不满足严格的线性平移不变性，但在一定条件下，可近似为线性平移不变系统。二、线性平移不变系统的脉冲响应或点扩散函数线性系统的脉冲响应（点扩散函数）为：对于线性平移不变系统如果对输入、输出的取适当的标度，可使M＝1，则称为线性平移不变系统的脉冲响应。系统的输出：上式表明：对于线性平移不变系统，其性质完全可以由位于坐标原点的响应h(x2,y2)决定，即对于任意输入函数，其输出就等于该函数与h(x2,y2)的卷积。线性平移不变系统的本征函数式中a为一复常数,若的本征函数则称为算符光学中常用的本征函数复指数函数余弦或正弦函数§1-7光波的数学描述

单色光波场的复振幅表示光场随时间的变化关系:由频率n表征.光振动是空间点

(P)和时间(t)的实简谐函数,可表为:

u(P,t)=a(P)cos[2pnt-j(P)]振幅频率初位相可见光:n~1014Hz严格单色光:n为常数光场随空间的变化关系体现在: (1)空间各点的振幅可能不同(2)空间各点的初位相可能不同, 由传播引起.光场变化的空间周期为l.光场变化的时间周期为1/n.将光场用复数表示,有利于简化运算单色光波场的复振幅表示光场随时间的变化e

-j2pnt不重要:u(P,t) =a(P)cos[2pnt-j(P)]} =e{a(P)e-j[2pnt-j(P)]}n~1014Hz,无法探测n为常数,线性运算后亦不变对于携带信息的光波,感兴趣的是其空间变化部分.

故引入复振幅U(P):将光场用复数表示,有利于简化运算=e{a(P)e

jj(P).e-j2pnt}复数表示有利于将时空变量分开U(P)=a(P)e

jj(P)#单色光波场的复振幅表示:说明

U(P)是空间点的复函数,描写光场的空间分布,

与时间无关;U(P)=a(P)e

jj(P)U(P)同时表征了空间各点的振幅|U(P)|=|a(P)|

和相对位相 arg(U)=j(P)

方便运算,满足叠加原理

实际物理量是实量.欲恢复为真实光振动:#

光强分布:I=UU*

光强是波印廷矢量的时间平均值,正比于电场振幅的平方u(P,t)=e{U(P)exp(-j2pnt)}即可球面波:空间分布点光源或会聚中心球面波:等相面为球面,且所有等相面有共同中心的波k=|k|=2p/l,为波数.表示由于波传播,在单位长度上引起的位相变化,也表明了光场变化的“空间频率”(P(x,y,z))0zyx源点S(rk设观察点P(x,y,z)与发散球面波中心的距离为r,k:传播矢量#球面波的等位相面:kr=c

为球面则P点处的复振幅:j(P)=k.rk:传播矢量球面波:k//ra0:单位距离处的光振幅球面波:空间分布会聚球面波距离r

的表达若球面波中心在原点:(P(x,y,z))会聚点S(r若球面波中心在S(x0,y0,z0):#0zyxk

球面波:在给定平面的分布以系统的光轴为z轴,光沿z轴正方向传播.所考察的平面垂直于z轴令点光源位于z=0的平面上坐标(x0,y0)处.考察与其距离为z的x

-y平面上的光分布Sx0zxy0y0需要作近轴近似#球面波:近轴近似只考虑x

-y平面上对源点S张角不大的范围,即可以作泰勒展开(1+D)1/21+D/2一级近似二级近似对振幅中r

的可作一级近似.但因为k很大,对位相中的r须作二级近似#

二、球面波:近轴近似已将球面波中心取在z=0的平面,且光波沿z轴正方向传播.如果z>0,上式代表从S发散的球面波.如果z<0,上式代表向S会聚的球面波.对给定平面是常量随x,y变化的二次位相因子球面波特征位相#球面波中心在原点:光波的数学描述

三、

平面波:空间分布等相面为平面,且这些平面垂直于光波传播矢量k.等相平面的法线方向k(kcosa,kcosb,kcosg)k的方向余弦,均为常量以k表示的等相平面方程为k

.r=const.故平面波复振幅表达式为:线性位相因子#常量振幅#光波的数学描述

三、平面波:在给定平面的分布在x-y平面上的等位相线

xcosa+ycosb=const为平行直线族在与原点相距为z

的平面上考察平面波的复振幅:随x,y线性变化的位相因子常数幅相因子,A四、平面波的空间频率在与原点相距为z

的平面上考察平面波的位相分布.等位相线是平行直线族.为简单计,先看k在x-z平面内:cosb=0等位相面是平行于y轴的一系列平面,间隔为lz等位相面与x-z平面相交形成平行直线等位相面与x-y平面相交形成平行于y轴的直线复振幅分布:沿x方向的等相线间距:#

四、平面波的空间频率复振幅分布:定义复振幅分布在x方向的空间频率:#复振幅分布可改写为:Y=∞,fy=0对于在x-z平面内传播的平面波,在y方向上有:

平面波的空间频率:一般情形定义:复振幅变化空间周期的倒数称为空间频率平面波在x和y方向的空间频率分别为:cosa,cosb

为波矢的方向余弦若波矢在x-z平面或y-z平面中,a(b)

又常用它们的余角qx(qy)表示,故:引入空间频率概念后,单色平面波在xy平面的复振幅分布可以表示为#

平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念空间频率的单位:cm-1,mm-1,周/mm,条数/mm等空间频率的正负:表示传播方向与x(或y)轴的夹角小于或大于90在给定的坐标系,任意单色平面波有一组对应的fx和fy,它仅决定于光波的波长和传播方向.反之,给定一组fx和fy,对于给定波长的单色平面波就能确定其传播方向cosa=l,fx,cosb=l,fy

要与光的时间频率严格区分开空间比时间更具体,更直观,是有形的如果在xy平面上的复杂的复振幅分布可以分解为许多简单的周期分布,则复杂的光振动可以分解成许多简单平面波的叠加.二维F.T.在光学上的意义:#五、复振幅分布的空间频谱(角谱)即:把U(x,y)看作频率不同的复指数分量的线性组合,各分量的权重因子是A(fx,fy).

A(fx,fy)

称为xy平面上复振幅分布的频谱对xy平面上单色光场的复振幅分布U(x,y)进行傅里叶分析:物理上,exp[j2p(fxx+fyy)]

代表传播方向余弦为cosa=lfx,cosb=lfy

的单色平面波在xy平面的复振幅分布,U(x,y)是不同平面波分量分布的线性叠加.每个分量的相对振幅和初位相由频谱A(fx,fy)决定.#五、复振幅分布的空间频谱(角谱)根据可将频谱函数A(fx,fy)用各平面波分量的方向余弦表示:称为xy平