数学课程思政教学研讨：在概念教学中落实育人价值

数学课程思政教学研讨：在概念教学中落实育人价值诚如李老师所言，“概念是最基本的思维形式，数学概念是数学基础知识和数学基本命题的重要组成部分。”显然，如果没有对概念的深刻理解，就无法形成数学的判断和推理，也掌握不了数学的法则和定律，更谈不上对数学思维的培养。不过，这里需要注意的是，李老师关注的是“数学概念”的教学，但当李老师把数学概念分成四种概念类型（形成性概念、同化型概念、符号化概念、约定式概念）时，这里被某某类型进行修饰的“概念”其实已经成为教育教学层面的“概念”。再说的简单一些，李老师四种概念类型的划分是“个人化”的，是基于对不同数学概念特点的认知及对教学经验的总结的，它们区别于数概念、数量概念、几何图形概念、度量概念这些数学概念。所以，提出四种概念类型的李老师就做了概念形成中不可或缺的事：分类、命名。概念本身即抽象的结果，李老师提出四种概念类型，抽象的其实是“对数学概念的教学经验”，其目的，是让教师更好地把握住不同数学概念的教学，让学生理解不同数学概念的内涵。以上两段“破题”的话有一点“绕”，需要您静心体会。还需要特别指出的一点是：由事物抽象出概念内涵是一个过程，但将概念内涵命名为概念名称则又是一个过程。这两个过程在最初的概念形成中是联系的、有目的的，但概念名称一旦形成再回头去教概念时，很容易犯“教学法颠倒”（弗赖登塔尔语）的错误，即误认为学生能说出概念名称就是理解了概念内涵。而现实中对数学概念的教学可不止“误认为学生能说出概念名称就是理解了概念内涵”——这仅仅是比较明显、多见的教学问题。比如在“分数的初步认识”中一定要让学生说出“平均”两个字，甚至有教师由此误以为“平均”就是各部分长得一样，而其实“平均”意味着“各部分的地位一样”。而其他“抠字眼”的教学，让学生“鹦鹉学舌”般说出概念标准定义的教学，不胜枚举。是的，诚如李老师及其团队的实践所昭示的，不同的数学概念有不同的教学侧重，不同的教学流程，但我们一定要注意，不管是哪一种类型的概念的教学，都应该有一些共同的底线！比如，在心理学层面，要为学生提供能和他的生活经验、学习经验对接的案例或情境（经验性原则），要以初级概念的扎实建构来作为高级概念的基础（循序渐进原则）；比如，教学层面，要让学生经历“材料感知-比较归纳-分类与抽象-命名”的概念形成的过程，真正感悟概念的内涵；比如育人层面，要创设良好的课堂氛围，让学生有机会多元表征自己的独立思考，并在与伙伴的交流、分享中，学会倾听，学会悦纳，立德树人！李老师的四种概念类型的分类，其实是一个教学工具，而不是一种严格的科学概念。透过李老师提供的工具以及后续会陆续刊登的李老师团队的实践案例，作为一线教师的我们应该看到的是概念学习背后的“人”，即学生学习概念的过程有没有充分展开，他们的想法（包括错误的“迷思”）、潜能有没有得发展与深化及反思的机会。在概念教学中，落实育人价值，既是我们责无旁贷的工作职责，也是我们完全可以实现的教学理想。概念是最基本的思维形式，数学概念是数学基础知识和数学基本命题的重要组成部分。没有对概念的深刻理解，就形不成数学的判断和推理，也掌握不了数学的法则和定律，更谈不上对数学思维的培养。古希腊著名学者阿基米德曾经说过，如果给我一个支点，我就可以撬起整个地球。在数学的世界里，概念就是那个撬动地球的支点。这个“支点”的重要性充分地体现在教材内容编排的体量上，尤其在小学阶段，可以毫不夸张地说，数学课不是在让学生建构一个新的数学概念，就是在让他们利用原有的数学概念解决一个个新的数学问题。那么什么是概念呢？认知心理学上说，所谓的概念就是人脑对客观事物本质属性的思维反映。如果对概念的这个定义做进一步追问的话，就会衍生出两个关键性问题，第一，什么是客观事物的“本质属性”？第二，要知道“人脑是如何反映客观事物本质属性的”？第一个问题比较简单，通过一个具体的案例可以作出说明。比如“三角形”，它是小学生在第二学段从抽象的视角认识的重要几何概念之一，在未作出数学抽象之前，学生所看到的三角形都是依附在三脚架、红领巾、指示牌等客观事物上。这些客观事物名称不同、形状不同、大小不同、颜色不同、摆放角度也不同……，但刨去这些个性差异，它们都有两个共性特征：“由三条线段围成”和“封闭的”，如果把“由三条线段围成的封闭图形”画在平面上的话，就成了几何学上的概念“三角形”。在这个案例中可以非常清楚地看到“由三条线段围成的封闭图形”就是“三角形”这个概念的本质属性。至于“三角形”依附着的客观事物的名称、形状、大小、颜色、角度等都是“三角形”这个概念的非本质属性。数学上所说的理解概念就是指对概念本质属性的认识。第二个问题相对比较复杂，是要剖析人脑对客观事物的本质属性究竟是如何反映的？要阐述清楚这个问题，首先就要对概念进行分类。因为数学中的很多概念属性是不一样的，学生对不同属性的数学概念本质特征的感知方式也是不一样的。在长期的实践研究过程中，笔者工作室罗列出了小学数学中作为新授内容的所有概念，按照概念的本质属性在人脑中形成思维反映方式的不同把它们划分成四种类型。每种类型的名称，内涵特征，对象例举等详见下表。心理学上说，人脑对不同类型概念本质属性的思维反映方式是不一样的，由此，教师在实施教学时也应该做到“因类试教”，对不同类型数学概念采用不同的教学策略。一、形成性概念：注重对客观事物共性特征的准确归纳所谓的形成性概念是指在生活中能够找到原型，需要对丰富的生活原型的共性特征进行归纳才能提炼本质属性的概念。小学阶段的形成性概念大都集中在图形与几何领域，比如角、三角形、梯形、平行四边形、圆形等都属于这一类概念。需要特别说明的是，形成性概念大都集中在图形与几何领域，但是图形与几何领域的概念未必都是形成性的，尤其从小学高年级开始，很多的几何概念逐步转向于“同化型”。形成性概念的学习一般要经历“生活具象→数学抽象→生活具象”的过程，这个过程可以浓缩成下图1来表示。图1以“角的初步认识”教学片段为例，谈形成性概念的学习过程。（一）提供生活具象，聚焦概念特征1.了解认知基础教师直接出示课题“认识角”，通过对话了解学生心目中的“角”。师：生活中你在哪些地方见到过“角”，可以说一说或指一指。生1：动物园里很多动物是有角的，牛、羊、鹿头上都有角。生2：人民币上也有角，比如1角和5角。生3：我发现老师讲台上的那把大三角尺上有三个角。生4：我们教室里的凳子、桌子、黑板上都有角。生5：家里的电视机、空调、礼品盒、魔方等好多物体上都有角。生6：……师：是啊，生活中到处有“角”，你们刚才说的这些“角”，它们有什么不一样吗？生1：第一位同学找到“角”长在动物的头上，第二位同学找到的“角”印在人民币上，第三位同学找到的“角”长在学具上。生2：后面的几位同学和第三位同学一样，找到的“角”都长在我们身边的物体上。2.关注研究对象师：今天这节课我们要研究的“角”既不长在动物头上，也不印在人民币上，而是要专门研究长在物体上的那一类“角”。这样的角在现实生活中应该还有很多，你还能找到一些吗？同学们把目光聚焦到身边的物体，在物体上找了很多的角。师：老师也从生活中找来了三样常见的物体，剪刀、钟面和三角尺。如下图2，在它们上面有角吗？图2生：有。师：你能把这些角描画出来吗？学生用水彩笔描画出了依附在实物上的角。如下图3。图片图33.讨论对象特征师：这就是你们描画出的角，这些角有什么一样和不一样的地方吗？生1：它们的颜色是不一样的，剪刀上的角是黑色的，钟面上的角是红色的，三角尺上的角是蓝色的。生2：他们的大小也不同。师：你能比出角的大小？生2：三角尺上的角是直角，剪刀上的角比直角小，钟面上的角比直角大。师：厉害了，你不仅知道了“直角”，还知道有些角比直角大，有些角比直角小。谁还想再来说一说？生3：它们的粗细也是不一样的，我发现钟面上的角画得特别粗，另外两个角画得细一些。生4：三个角的边长也不一样，剪刀上和钟面上的角两条边都是一样长的，三角尺上的角两条边一条长，一条短。生5：三个角开口的方向也不一样，剪刀上的角开口朝右，钟面上的角朝上，三角尺上的角开口朝下。师：你观察的真仔细，三个角开口的方向不同，也可以说是摆放的角度不同（教师边说，边用活动角的模型演示）。师：你们找到了那么多不一样的地方，那么它们有一样的地方吗？生6：我发现它们也有一样的地方，就是每个角都有两条边。师：是的，每个角都有两条边，但是有两条边的图形就一定是角吗？老师也画了三组图形，如右图4，请你判断它们是不是角？图4生7：它们都不是角。生8：剪刀手柄的两条边，其中有一条不是直的。直尺和三角尺虽然画出的图形都是两条直直的边，但是两条边都没有相交。师：我听懂你的意思了，角的两条边必须要直，不能曲，而且还需要有交点。生9：我不同意生8的说法，三角尺画出的两条边，如果再继续往右边画下去，它们一定会相交，这个时候就会出现角。很多学生附和生9的发言，教师按照生9的意思延长直线，直到它们相交为止。（二）尝试数学抽象，提炼概念本质1.学生尝试数学抽象师：通过刚才的学习和讨论，谁来说说，长在物体上的角到底有什么共同特点？生：它们都有两条直直的边和一个公共的交点。2.教师提炼概念本质师：是的，角就是由一个顶点和两条直直的边组成的。（三）回归生活具象，进行概念类化1.回归生活具象，再找角师：做个生活的有心人，你还能找到哪些由一个顶点和两条直边组成的图形呢？请你用手指一指顶点，再沿着两条直边摸一摸。学生从现实的物体或平面图形中找到了很多数学中的角，并指出了每个角的顶点和两条边。2.进行概念类化，认识角师：刚才我们找到的这些角形状、颜色、大小、摆放角度，边的长短和粗细等都是不一样的，但它们共同的特征是什么呢？生：它们都是由一个顶点和两条直边组成的。师：在数学上，我们就把由一个顶点和两条直边组成的图形都叫做角在“角的初步认识”这个课例中，可以非常清楚地看到形成性概念学习的一般过程，即“从生活具象出发，聚焦对象特征—经历数学抽象，明晰本质属性—回归生活具象，进行概念类化”。在形成性概念学习的各个阶段，我们需要特别关注以下几个问题：1.给学生提供丰富而典型的生活具象形成性概念都是能够在生活中找到原型的，对其本质属性的抽象也是基于对生活具象的共同特征归纳的基础上获得的。学生归纳概念本质属性的过程是否顺利，结果是否正确，这在很大程度上与生活具象的丰富性和典型性是密不可分的。课堂上，教师只有提供足够丰富且典型的生活具象，学生才能在个性鲜明的非本质属性的干扰下聚焦到相对隐性的本质属性。在“角的初步认识”这节课中，学生找到了诸如“桌角、凳角、窗角、魔方上的尖角”等许多的生活具象，在足够丰富的生活具象的基础上，教师又选择性地出示了学生描画在剪刀、钟面和三角尺上的三个角。这份学习材料非常典型，因为它几乎包含了关于“角”的所有非本质属性，如形状、颜色、大小、摆放角度，边的长短和粗细等。有了丰富而典型的生活具象，学生才能在比较和思辨中慢慢明白，对象的某些特征很鲜明，但它是个性化的，非本质的，只有所有对象都具备的共性特征才有可能是本质的，尽管这样的特征有时相对隐性。2.让学生尽可能地经历概念抽象的全过程概念有两个基本的要素，内涵和外延，内涵和外延完全匹配是理解概念的基本要求。当丰富的生活具象呈现在学生眼前，学生想要透过纷繁鲜明的非本质属性，精准地抽象出生活具象的本质属性并不是一件容易的事。一旦抽象出来的内涵过多，那么概念所对应的外延就会缩小，如果抽象出来的内涵过少，那么概念所对应的外延就会扩大，所以抽象的精准度是形成性概念教学的难点之一。在“角的初步认识”这节课中，教师通过“操作-思辨-归纳”，让学生充分经历了概念的形成过程，达成了精准抽象的目标。首先是操作，在呈现了丰富的具象之后，教师让学生在剪刀、钟面和三角尺上对观察到的“角”进行描画，描画的过程就是让概念本质属性外显的过程。然后是思辨，通过对描画出来的几个角的观察和比较，学生在交流中逐渐明晰，这些角很有个性，它们的形状、颜色、大小、摆放角度，边的长短和粗细都不一样，但是它们也有共性，都有两条直边和一个顶点。最后是归纳，把个性鲜明的对象的共同特征提炼出来，由此，就让学生经历的概念抽象的全过程。3.让学生在表现性任务的驱动中实现概念类化这是形成性概念学习中非常重要的一个环节，但是在以往教学中，这个环节很容易被教师忽视。我们以为，虽然学生经历了从生活具象中抽象出本质属性的过程，但是从本质属性出发回归到生活具象，把生活中具有同样本质属性的其余物体也划归到这个概念之中，同样是形成性概念学习中一个很重要的环节。因为概念类化的过程事实上承载着检验概念学习成果的重要目标，这也是教学的“硬任务”。在“角的初步认识”这节课中，学生经过前面两个环节的学习，已经抽象出了角的本质属性。如何应用概念解决问题呢？教师在课堂上设置了一个表现性任务，让学生去找一找由一个顶点和两条直边组成的图形，并用手指一指顶点，沿着两条直边摸一摸。在这样的任务驱动下，学生尝试用数学的眼光去观察现实世界，从现实世界中抽象出了更多的数学意义上的角，明白了在现实生活中具有同样本质属性的图形都叫做角，从而实现了概念的类化。二、同化型概念：注重旧概念对新概念建构过程的影响所谓同化型概念是指发生在数学内部,难以在生活中找到原型，是为了进一步研究数学的需要而产生的概念。小学阶段的同化型概念大都集中在数与代数领域，比如奇数、偶数、质数、合数、因数、倍数等都属于这一类概念。当然这只是说了一种普遍情况，事实上，数与代数领域的概念并非都是同化型的，同化型概念也并非只隶属于数与代数领域。同化型概念的学习一般要经历“创设情境，提出驱动性任务—解决问题，经历新概念的建构过程—勾连旧概念，同化新概念”的过程，这个过程可以浓缩成下图5来表示。图5以单元整合课“约分和通分”的教学片段为例，谈同化型概念的学习过程。（一）复习旧知师：我们已经学习了“分数的基本性质”，谁能通过举例的方法说一说什么是分数的基本性质？生：分数的基本性质是指分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。比如2/3的分子和分母同时乘5，这个数就是10/15，2/3＝10/15；反过来，10/15的分子和分母同时除以5，这个数就是2/3，同样道理10/15＝2/3，（二）探索新知1.学习“约分”教师出示情境：豆类食品含有较高的蛋白质和脂肪，经常食用有益于人体健康，30克黄豆中蛋白质含量是12克。请你用一个分数表示出蛋白质含量占黄豆总量的几分之几？生1：我用12/30表示。师：谁还能用不一样的分数表示？生2：我用6/15表示。师：12/30和6/15都能表示出蛋白质含量占黄豆总量的几分之几吗？生3：可以的。12/30表示把每一克的质量都看成1份，黄豆总量30克就是30份，蛋白质含量12克就是12份，所以蛋白质含量就占黄豆总量的12/30。如果把两克照片看成1份的话，那么30克就是15份，12克就是6份，所以蛋白质含量就占黄豆总量的6/15。师：原来我们在解决问题的过程中，既可以把一克看成1份，也可以把两克看成1份，这样就能写出不一样的分数了。按照这样的思路，还能用哪些分数来表示蛋白质含量占黄豆总量的几分之几呢？生4：如果把3克看成1份的话，蛋白质含量就占黄豆总量的4/10。生5：如果把6克看成1份的话，蛋白质含量就占黄豆总量的2/5。教师在黑板上从左往右依次写出12/30、6/15、4/10、2/5。师：这些分数都可以表示蛋白质含量占黄豆总量的几分之几，那么它们之间有什么关系吗？生8：它们都是相等的。师：你有办法证明吗？生8：利用商不变的性质就能说明它们相等。12/30的分子和分母同时除以2是6/15，同时除以3是4/10。同时除以6就是2/5。教师根据学生的回答完善板书。如下图6。图6生9：生8说的意思，通过画图是很清楚的。如下图7。图7师：通过刚才的研究，我们证实了12/30、6/15、4/10和2/5是相等的，在数学上，我们把一个分数化成和它相等，但是分子和分母都比较小的分数叫做“约分”。师：如果让你从这些分数中选择一个来表示最后的结果，你们最喜欢选谁，说说理由？生1：我想选12/30，因为把一克看成1份是最简单的。生2：我想选2/5，因为12和30的公因数有4个，其中6是最大公因数，所以12/30的分子和分母同时除以6，得到的这个分数就是与它相等，但是分子和分母又是最小的那一个。师：我明白你的意思了，也就说2/5是12/30约分之后分子和分母最小的那个分数，这是唯一的。为了找到这个唯一的分数，一般情况下，我们默认约分就是要让分子和分母同时除以它们的最大公因数，这样大家得到的结果就统一了。2.学习“通分”教师改造情境：豆类食品含有较高的蛋白质和脂肪，经常食用有益于人体健康，30克黄豆中蛋白质含量是12克，同样质量的蚕豆中蛋白质含量大约是1/4，哪一种豆的蛋白质含量比较高？生1：这道题目简单，我们在三年级的时候就学过了，把30克蚕豆平均分成4份，蛋白质含量占其中的1份，那么用“30÷4×1=7.5”就可以求出蚕豆中蛋白质的含量。因为7.5＜12，所以黄豆中蛋白质含量比较高。师：生1是通过计算蚕豆中蛋白质的具体质量来解决问题的。还有不一样的方法吗？生2：我认为还可以直接比较2/5和1/4的大小。师：为什么？生2：因为黄豆和蚕豆的总质量都是30克，所以只要比较分数的大小就可以了。生3：我也认为是黄豆中蛋白质含量比较高。我的方法是2/5＝2÷5＝0.4，1/4＝1÷4＝0.25，因为0.4＞0.5，所以2/5＞1/4。生4：我是通过画图来解决问题的。（边演示作品，边讲解思考过程，如图8所示）我和同桌两人合作，先画出了两个一样大的正方形，分别用阴影部分涂出了它的2/5和1/4，但是这两个分数的单位是不同的，然后就把2/5的分子和分母同时乘2、乘3、乘4，把1/4的分子和分母也同时乘2、乘3、乘4、乘5，结果发现，当2/5的分子和分母同时乘4，转化成8/20，1/4的分子和分母同时乘5，转化成5/20的时候，它们的单位就相同了，都是1/20，我们直接数分数单位的个数就能知道2/5＞1/4。图8教师根据学生的讲解思路，指导同桌两人边说边完善图示。师：解决这个问题，同学们用了很多种方法，让我们重点关注生4的方法，像这样把异分母分数2/5和1/4化成和原来分数相等的同分母分数8/20和5/20，这个过程就叫做“通分”。3.同化“概念”师：今天我们学习了约分和通分两个数学概念，这两个概念有什么相同点和不同点吗？师生共同总结：约分和通分都在找与已知分数相等的分数，所以它们都应用到了分数的基本性质。但是约分是分子和分母同时除以一个相同的数（0除外），而通分则是分子和分母同时乘一个相同的数（0除外）。（三）巩固应用（略）从“约分和通分”这个课例中可以清楚地看到同化型概念学习的一般过程，即“创设情境，提出驱动性任务—解决问题，经历新概念的建构过程—勾连旧概念，同化新概念”。在这三个学习阶段中，我们特别需要做好以下两点。1.创设优质的驱动性任务，让学生在解决问题的过程中深度学习，经历概念发生和发展的过程。同化型的概念很重要的一个特征是需要借助旧概念来理解和接纳新概念，理解和接纳的主体自然是学生，所以教师应当让学生这个主体经历有效的学习过程，只有这样他们才有可能自主完成对新概念的建构。在“约分和通分”这节单元整合的概念课中，教师首先给学生创设了两个驱动性任务，即“蛋白质含量占黄豆总量的几分之几”以及“黄豆和蚕豆，哪一种豆的蛋白质含量比较高”。在第一个任务驱动下，学生经历了“约分”的产生过程。在第二个任务驱动下，学生经历了“通分”的产生过程。从驱动性任务的提出到完整经历概念的发生过程，最关键的一个因素是要让学生经历有效的学习过程。所谓的有效的学习过程就是设法让学生浸润在解决问题的过程中深度学习。要让深度学习在课堂上真实发生，优质的驱动性任务是先决条件。在“约分和通分”这节课中，教师创设的两个驱动性任务质量都很高。首先它们都能呈现解决问题方法的多样化。第一问题，如果学生把不同的克数看成1份，那么就能用不同的分数表示蛋白质含量占黄豆总量的几分之几。第二个问题，关于30克的2/5和1/4谁更多一些，既可以求出分率所对应的具体量进行比较，也可以把分数改写成小数进行比较，还可以把它们转化成同分母分数进行比较。不同的方法彰显不同的思维，让不同的学生都有选择性学习的机会。其次是在方法的解读中都能促使学生主动勾连旧概念。第一个问题，学生在比较“表示蛋白质含量占黄豆总量的几分之几”的4个分数的大小时，第二个问题，学生在结合直观图阐述2/5和1/4的大小关系时，他们都能很自然地引出“分数的基本性质”进行解答，而“分数的基本性质”就是学生在理解和接纳“约分和通分”两个新概念时最为重要的旧概念。依上所述，我们不难发现，只有创设优质的驱动性任务才有可能让学生沉浸在解决问题的过程中，这个过程是深度的学习，也是真实的学习，经历这个过程才可能让学生体验到概念是如何发生和发展的。2.抓住核心资源展开探究，让学生观察到新旧概念的对接过程，体会到同化型概念的本质特征。学生在任务驱动下，尝试解决问题，在问题解决过程中会产生很多的课堂生成资源，有些资源对于建构概念是起决定性作用，即一般所说的核心资源。对于核心资源教师要有充分的预见性，如果教师能够在课堂上抓住核心资源，引导学生充分展开探究，那么就有可能让学生观察到新旧概念的对接过程，这对于体会同化型概念的本质特征是具有重要意义的。在“约分”这个概念的教学环节，学生围绕“蛋白质含量占黄豆总量的几分之几”这个问题，设想出了四种解决问题的方法，由此也得到了四个不同的分数12/30、6/15、4/10和2/5。这四个分数就是一份核心资源，在证明它们等值的过程中，自然就会引出“分数的基本性质”，再加上直观图示的表征，学生很清楚地看到了“约分”和“分数基本性质”两个新旧概念之间的对接过程。在“通分”这个概念的教学环节，学生围绕“黄豆和蚕豆，哪一种豆的蛋白质含量比较高”这个问题，想到的方法之一是把2/5和1/4的分子与分母同时乘相同的倍数，直到把它们转化成同分母分数为止。显然这个方法就是一份核心资源，在详述这个方法的思考过程时，必然会勾连到“分数的基本性质”，再加上直观图示的表征，学生也能很清楚地看到“通分”和“分数基本性质”两个新旧概念之间的对接过程。依上所述，我们不难发现，教师只有抓住课堂上生成的核心资源，引导学生展开探究，才有可能让学生观察到新旧概念的对接过程，如果在此过程中能够辅以直观表征，那么效果会更好，只有让学生充分经历新旧概念的对接过程，他们对同化型概念的本质特征才会有深刻的体会。三、符号化概念：注重对数学操作活动过程的多元表征所谓的符号化概念是指对一类具有数学特质的操作活动进行符号化抽象之后所形成的概念。其实小学阶段的符号化概念并不多，主要有整数、小数、分数、负数和百分数这样一些。虽然符号化概念的数量并不多，但分量却很重，几乎每一个都是各自领域中的核心概念。而且由于符号化概念是对操作活动的数学表征，具有高度抽象性，因此对它的理解也是概念教学的难点。符号化概念的学习一般要经历“多元表征符号→提炼表征共性→推论概念内涵”的过程，这个过程可以浓缩成下图9来表示。图9以人教版“分数的再认识”教学片段为例，谈符号化概念的学习过程：（一）呈现典型符号，进行多元表征1.呈现学习材料，提出学习要求师：今天我们继续学习分数（出示1/4），你能通过画图的方式表示出1/4的意义吗？2.学生独立操作，用图示表征1/4。（二）解读多元表征，提炼表征共性1.学生交流，解读表征师：每个同学都通过画图的方式表达了对1/4的理解，老师选择了四份有代表性的作品（如图10），请四位小作者上台汇报他们的想法。生1：我认为把一个圆平均分成4份，其中的1份就可以用1/4表示。生2：我画了四个小三角形，把它们平均分成4份，其中的1个小三角形正好就是1/4。生3：我是把八个五角星平均分成4份，其中的2个五角星也可以用1/4表示。生4：我认为1/4还可以这样表示，画六个正方形，把它们平均分成4份，其中的1份也是1/4。师：六个正方形的1/4是几个正方形呢？生4：阴影部分正好是6个1/4，6个1/4合起来就是1.5个正方形。图102.比较异同，提炼共性师：通过刚才四位同学的讲解，我们确信它们都可以用1/4来表示。那么这些作品会不会有什么不一样的地方呢？生1：这四幅作品平均分的图形的形状是不一样的。从第一幅到第四幅，它们分别在对圆形、三角形、五角星和正方形进行平均分。生2：这四幅作品中，1/4所表示的阴影部分的形状和大小也是不一样的。生3：这四幅作品平均分的图形的数量是不一样。第一幅作品是把一个图形看做整体平均分的，后面三幅作品则是把多个图形看做整体平均分的。师：我们把目光聚焦到后三幅作品，为什么第二幅和第三幅作品，把图形平均分成4份之后，其中1份的数量正好是整数，而第四幅作品其中1份的数量却不是整数呢？生4：因为物体的总个数不同，如果总个数是4的倍数的，如4、8、12等，那么它们的1/4结果一定是整数，如果总个数不是4的倍数的，那么它们的1/4结果就没法用整数表示了。师：既然我们认同它们都可以用1/4来表示阴影部分的大小，那么它们一定是有共同点的，你能说一说吗？生5：它们都是把图形平均分成4份，表示了其中的1份。师：对的，这与拿来平均分的图形的形状、大小和数量都是无关的。在数学上，我们把“看成整体”进行平均分的物体、图形或计量单位都叫做“单位1”，所以1/4就是指，把单位“1”平均分成4份，表示其中1份的数。（三）从一个到一类，理解符号概念1.依次类推，认识更多的分数师：我们已经知道了1/4的意义，那么你还能知道哪些分数的意义呢？可以画一画、写一写或说一说。学生自主学习，表征更多分数的意义。（略）2.由此及彼，拓展分数的意义师：你能从下面的材料中找到分数吗？说说你找到的这个分数是什么意思？图11生1：我在第一份材料中看到了3/5，它表示把20个同学看做单位“1”，平均分成5份，其中男生人数表示这样的3份。生2：我在第一份材料中还看到了2/5，它表示把20个同学看做单位“1”，平均分成5份，其中女生人数表示这样的2份。生3：我在第二份材料中看到了4/7。师：你能具体说说4/7怎么产生的吗？生3：我们用铅笔去度量一个托盘的边长，结果发现它的长度比两支铅笔多一些，但是又不到三支铅笔的长度。这时，我们就把一支铅笔的长度看成单位“1”，平均分成7份后，托盘多余部分的长度正好占其中的4份，所以就出现了4/7。生4：我在第三份材料中看到了两个分数，第一个分数5/8，表示把小丑手上的8个气球看做单位“1”，右手上5个气球就表示其中的5/8。第二个分数3/8，就表示左手上的气球占其中的3/8。师：你还能从第三份材料中看到不一样的分数吗？生5：我想也可以吧，假如我们把小丑右手边的5个气球单做单位“1”，平均分成5份，每份是1/5，左手边的3个气球就相当于有这样的3个1/5，所以就可以用来3/5表示左边的气球是右边的几分之几。生6：那么倒过来，假如我们把小丑左手边的3个气球单做单位“1”，平均分成3份，每份是1/3，右手边的5个气球就相当于有这样的5个1/3，所以就可以用5/3来表示右边的气球是左边的几分之几。生：我知道，像5/3这样的分数角假分数……3.总结提炼，归纳分数的意义师：通过刚才的学习，同学们应该对分数的意义有了更加深刻的理解，那么谁来说一说到底什么是分数呢？师生共同归纳：分数就是指把单位“1”平均分成若干份，表示这样一份或几份的数。从“分数的再认识”这个课例中可以清楚地看到“符号化概念”学习的一般过程，即“多元表征符号—提炼表征共性—推论概念内涵”三个阶段。在这样三个学习阶段中，我们需要特别关注以下两点：1.要给学生足够的时间和空间去表征一个典型的符号化概念符号化概念是对具有数学特质的操作活动抽象的结果，一类操作活动对应着一类抽象的符号化概念，一次操作活动则对应着一个具体的符号化概念。比如，人们进行如下的操作活动“先把一个或多个物体看成一个整体，然后把整体平均分成若干份，最后取了这样的一份或几份”，我们对这一类具有数学特质的操作活动进行表征的话，那么它所对应的就是“分数”这一类抽象的符号化概念。但是如果我们遵循着这一类操作活动的基本特征，进行一次具体的操作，比如，“先把一堆苹果看成一个整体，然后把它们平均分成四份，最后取了这样的一份”，那么这一次操作活动所对应的就是1/4这样一个具体的符号化概念。根据小学生的年龄特征和认知规律，他们对符号化概念的认识一定是要经历从个别到一般，从具体到抽象的过程。因此在新授环节，教师必须要选择一个典型，作为一类符号化概念的代表，让学生有足够的时间和空间去表征这个概念，表征的过程其实就是从“抽象符号”还原成“具体活动”的过程，让学生在抽象和具象，符号和活动之间自由回还。在“分数的再认识”这节课中，教师首先选择了1/4这样一个典型的符号化概念，然后让学生用直观的方式表征对这个具体分数符号的理解，学生用图示表征的过程其实是在还原1/4产生的数学活动过程。倘若离开具体活动的支撑，在小学生眼里也仅仅只是个符号而已，没有任何意义，只有让数学符号与操作活动相对接，学生才能真正理解它的意义。2.要给学生从点到面的拓思机会去感受一类符号化概念的内涵一次具体的操作活动能只对应一个具体的符号化概念，比如，我们已经通过图示表征理解了1/4的意义，但是从理解“1/4”这个具体的符号化概念上升到理解“分数”这一类抽象的符号化概念并不是一蹴而就的。课堂上教师需要给学生创设拓展思维的空间，让学生认识到与一类抽象的符号化概念相关联的所有数学操作活动都是有共性的，这个共性才是符号化概念的本质和内涵。在“分数的再认识”这节课中，教师首先引导学生通过图式表征理解了1/4这样一个具体的符号化概念，然后进行了两次教学递进，给学生创造了拓展思维的空间。第一次教学递进是对学生的追问：我们已经知道了1/4的意义，那么你还能知道哪些分数的意义呢？学生通过“写数、画数、说数”的方法展示了对不同分数意义的理解。虽然从思维层次上说，这是对1/4学习过程的模仿，但是这样的模仿有时也是必须的，因为只有经历多个具体的符号化概念的表征过程，学生才有可能体会和归纳出“分数”这类抽象的符号化概念的本质属性。第二次教学递进是教师提供了三份学习材料，让学生在材料中找分数，并说出分数所表示的意义。很显然，这三份材料中所包含的分数与传统观念中分数仅表示“份数”的意义是不一样的，在这些分数中既有“商的意义”、“度量的意义”、“算子的意义”还有“比的意义”，但是不管分数的意义朝那个领域拓展，归根究底，它的本源还是“份数”的意义。所以通过这样的两次教学递进，让学生从“点”的认识上升到了“面”的认识，真正理解了“分数”这类抽象的符号化概念所表示的意义。四、约定式概念：注重对事物可测量属性的深刻体验所谓的约定式概念，望文生义，就是指内涵被人为约定俗成的概念。小学数学中大凡“常见的量”都属于这一类概念，比如长度单位的厘米、分米、米；时间单位的时、分、秒；质量单位的克、千克、吨等都属于人为约定俗成的概念。约定式概念非常显著的一个特征是它们的内涵都反映了对客观事物可测量属性的描述，对小学生而言，学习约定式概念就是要体验到每个概念所反映的客观事物可测量属性的大小。约定式概念的学习一般要经历“多种操作活动→分享量感体验→积累数学经验”的过程，这个过程可以浓缩成下图12来表示。图12以“常用的面积单位”的教学片段为例，谈约定式概念的学习过程：（一）开门见山，呈现概念1.复习旧知，引出新知师：昨天我们认识了“面积”，知道面积单位是测量面积大小的工具，也意识到要让度量结果保持一致就需要统一面积单位。今天我们就一起来认识三个常用的面积单位，它们分别是平方厘米，平方分米和平方米。2.自学新知，提出任务师：数学上是怎么定义这三个常用面积单位的呢？请同学们可以把书本翻到第63页，自学课本，读一读、划一划、记一记。师：我们首先来重点认识“平方厘米”。（二）活动操作，清晰表象1.重点认识“平方厘米”（1）找一找师：拿出课前准备的信封，信封里有很多平面图形，不借助任何工具，请您找一找哪个图形正好是1平方厘米。学生拿出信封，从信封里的多个平面图形中很快就找出了自认为是1平方厘米的那个小正方形。师：找得那么快啊，你们是怎么找出来的？生：刚才我们翻阅了书本，已经知道了1平方厘米就表示边长为1厘米的正方形。这样的话，我们只要从那么多图形中找出边长为1厘米的正方形就可以了。（2）量一量师：你能确定找出来的这个图形就一定是1平方厘米吗？部分学生对自己的选择产生了质疑。生：我们能用尺子量一下这个正方形边长吗？师：可以，拿出尺子测量一下，看看自己对1厘米的估测是否精准。从学生的测量结果来看，对1平方厘米的估测过大、偏小和完全准确的学生大约各占总人数的三分之一。师：看来很多同学的第一次估测并不精准，那么请错误的同学，重新拿出信封，找出标准的1平方厘米。（3）画一画师：刚才所有的同学都已经准确地找到了面积正好是1平方厘米的小正方形，拿起这个小正方形，再仔细观察，争取把它的大小能够印在脑海中。学生都在仔细地观察这个小正方形，有的还在借助尺子的测量和手势的辅助，强化记忆。师：你们确定已经把1平方厘米的大小印刻在脑海中了吗？生（异口同声，很有信心）：确定。师：那好，我们先把1平方厘米和尺子都放回抽屉，拿出笔和纸，在不使用尺子的前提下，你能画出1平方厘米的草图吗，看看谁画的1平方厘米最标准？学生动手就画，很快完成了1平方厘米的草图。（4）比一比师：你们完成得很快，对自己的作品肯定也很有自信。但是到底画得准不准确呢，光有自信是不行的。现在，你可以从抽屉中再拿出这个1平方厘米的小正方形，与草图比对一下。学生比对完成后，课堂上一片嘈杂，学生的表情也从完全自信演变成各不相同。有的学生在欢呼雀跃，因为比对的结果几乎一致。有的学生稍有遗憾，因为比对的结果有点出入，但是在能够接受的范围内。有的学生唉声叹气，因为比对的结果差距离谱。师：看来，刚才我们是盲目自信了，不少同学对1平方厘米的印象并不深刻和准确。如果差距比较大的，请你重新调整。有问题的同学们都认真地调整了1平方厘米草图的大小。（5）估一估师：通过刚才的一些活动，相信1平方厘米的大小已经印刻在了同学们的脑海中。现在请你找一找在我们身边哪些物体的表面大约是1平方厘米。学生找到了大拇指的指甲盖、键盘上的字母键、骰子、电灯开关、田字格、衣服纽扣等物品，并没有出现与1平方厘米相去甚远的答案。2.自主认识“平方分米”和“平方米”师：刚才我们用了找一找、量一量、画一画、比一比、估一估等方法认识了1平方厘米，现在请你选择其中的一种或几种方法，以小组为单位来认识“平方分米”和“平方米”，结束之后，各小组做好汇报的准备。小组操作，分组反馈（略）（三）解决问题，积累经验师：通过刚才的学习，我们已经认识了三个常用的面积单位，那么现实生活中的物体表面大约有多大，用哪个面积单位去度量最合适呢？请同学们先估一估，再量一量，然后比对一下估测结果和测量结果之