第四章指数函数对数函数与幂函数知识点清单-高一上学期数学人教B版

新教材人教B版2019版数学必修第二册第四章知识点清单目录第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1指数与指数函数4.1.1实数指数幂及其运算4.1.2指数函数的性质与图像4.2对数与对数函数4.2.1对数运算4.2.2对数运算法则4.2.3对数函数的性质与图像4.3指数函数与对数函数的关系4.4幂函数4.5增长速度的比较4.6函数的应用(二)4.7数学建模活动：生长规律的描述第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1指数与指数函数4.1.1实数指数幂及其运算一、根式1.n次方根的定义：一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn=a，则x称为a的n次方根.2.n次方根的表示(n>1，且n∈N*)n为奇数n为偶数a∈Ra>0a=0a<0x=nx=±nx=0不存在3.根式的定义：当na有意义的时候，na称为根式，n称为根指数，a4.根式的性质(n>1，且n∈N*)(1)(na)n=a(2)当n为奇数时，nan=a；当n为偶数时，n二、分数指数幂(1)正分数指数幂：一般地，如果n是正整数，那么：当na有意义时，规定a1n=na；当na没有意义时对于一般的正分数mn,也可作类似规定，即amn=(na)m=nam{m,n∈N(2)负分数指数幂：负分数指数幂的定义与负整数指数幂类似，即若s是正分数，as有意义且a≠0时，规定a-s=1a规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.三、有理数指数幂的运算法则1.asat=as+t(a>0，s，t∈Q).2.(as)t=ast(a>0，s，t∈Q).3.(ab)s=asbs(a>0，b>0，s∈Q).四、实数指数幂1.一般地，当a>0且t是无理数时，at都是一个确定的实数.因此，当a>0，t为任意实数时，可以认为实数指数幂at都有意义.有理数指数幂的运算法则同样适用于实数指数幂.五、根式与分数指数幂的化简、求值1.利用根式的性质进行化简、求值的思路及注意点(1)思路：首先要分清根式为奇数次根式还是偶数次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值.(2)注意点：正确区分nan与(na)

nan(n>1，n∈N*)是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，a∈R，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制，不一定等于a.(na)n(n>1，n∈N*)是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶决定，2.根式与分数指数幂运算的原则与技巧(1)将根式化为分数指数幂.(2)将负分数指数幂化为正分数指数幂的倒数.(3)底数是小数时，先将其化成分数；底数是带分数时，先将其化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于利用指数幂的运算法则进行运算.注意：运算的结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既含有分母又含有负指数幂.六、指数幂的条件求值问题1.将已知条件或所求代数式进行恰当变形，从而通过“整体代换法”求出代数式的值.

2.“整体代换法”是数学中变形与计算常用的方法，分析观察条件与结论中代数式的结构特点，灵活运用恒等式是关键.常用的变形公式有：①a±2a12b12+b=(a②(a12+b12)·(a③a32+b32=(a12④a32-b32=(a12-4.1.2指数函数的性质与图象一、指数函数1.一般地，函数y=ax称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.2.指数函数解析式的结构特征(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x，且x的系数是1；(3)ax的系数是1.二、指数函数的性质与图象函数y=ax(a>0且a≠1)a>10<a<1图象 性质定义域R值域(0，+∞)奇偶性非奇非偶函数定点图象过定点(0，1)函数值的变化当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1单调性增函数减函数注：指数函数y=ax与y=1ax(a>0且a≠1)的图象关于y2.指数函数y=ax(a>0且a≠1)的底数a对图象相对位置的影响：(1)在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底大图高”；(2)在y轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底大图低”.三、比较指数幂的大小1.指数幂比较大小的类型及方法(1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性进行判断；(2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象的变化规律进行判断；(3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较，中间量常选用0或1.注：对于3个(或3个以上)指数幂的大小比较，可先根据其与特殊值(常选用0或1)的大小比较进行分组，再比较各组数的大小.四、解指数不等式1.简单指数不等式的解法(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y=ax(a>0且a≠1)的单调性求解；(2)形如af(x)>b的不等式，可将b化成以a为底数的幂的形式，再借助y=ax(a>0且a≠1)的单调性求解；(3)形如ax>bx的不等式，可借助函数y=ax与y=bx(a>0且a≠1，b>0且b≠1)的图象求解；(4)形如a2x+b·ax+c>0(或<0)的不等式，可利用换元法，将其转化为不含指数的不等式.五、与指数函数有关的函数的定义域、值域1.求与指数函数有关的函数的定义域时，要观察函数是y=af(x)型还是y=f(ax)型.(1)当函数是y=af(x)(a>0且a≠1)型时，由于指数函数y=ax(a>0且a≠1)的定义域是R，所以函数y=af(x)的定义域与f(x)的定义域相同.(2)当函数是y=f(ax)(a>0且a≠1)型时，先令u=ax，然后确定y=f(u)的定义域，即u=ax的值域，由此构造关于x的不等式(组)，确定x的取值范围，从而得到y=f(ax)的定义域.2.求与指数函数有关的函数的值域时，重点是要注意指数函数的值域为(0，+∞).(1)求函数y=af(x)(a>0且a≠1)的值域，需先确定f(x)的值域，再根据指数函数y=ax的单调性确定函数y=af(x)的值域.(2)求函数y=f(ax)(a>0且a≠1)的值域，先令u=ax，然后利用函数u=ax的单调性确定u=ax的值域，进而确定函数y=f(u)的值域，即为y=f(ax)的值域.五、与指数函数有关的函数的单调性1.形如y=af(x)(a>0且a≠1)的函数的单调性的判断方法当a>1时，函数u=f(x)的单调递增(减)区间即为函数y=af(x)的单调递增(减)区间；当0<a<1时，函数u=f(x)的单调递减(增)区间即为函数y=af(x)的单调递增(减)区间.2.形如y=f(ax)(a>0且a≠1)的函数的单调性的判断方法通过内层函数u=ax的值域确定外层函数y=f(u)的定义域，在此定义域内讨论外层函数的单调区间，再根据复合函数“同增异减”的规律确定复合函数的单调区间.4.2对数与对数函数4.2.1对数运算4.2.2对数运算法则一、对数的概念1.对数的概念在表达式ab=N(a>0且a≠1，N∈(0，+∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b=logaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数.2.对数的性质(1)负数和零没有对数.(2)1的对数是0，即loga1=0(a>0且a≠1)；底的对数是1，即logaa=1(a>0且a≠1).3.对数式与指数式的关系(1)当a>0且a≠1时，ab=N⇔b=logaN.(2)对数恒等式：alogaN=N；logaab4.常用对数与自然对数以10为底的对数称为常用对数，并把log10N简写为lgN；以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数，并把logeN简写为lnN.二、对数的运算法则1.如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么(1)loga(MN)=logaM+logaN；(2)logaMα=αlogaM(α∈R)；(3)logaMN=logaM-logaN三、换底公式1.换底公式：logab=logcblogca(a>0且a≠12.相关结论：logatbs=stlogab(a>0且a≠1，b>0，s∈R，t∈R且t≠0)，logab=1logba四、利用对数的运算法则化简、求值1.利用对数的运算法则求值的关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系.2.同底数的对数式化简的常用方法(1)“收”，将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数，即“收”为一个对数式；(2)“拆”，将积(商)的对数“拆”成两个对数之和(差).3.在利用换底公式进行化简求值时，一般情况下是根据题中所给对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，那么可以选择以10为底数进行换底.五、对数与指数的综合运用1.(1)在对数式与指数式的互化运算中，要注意灵活应用定义、运算性质，尤其要注意条件和结论之间的关系.(2)对于连等指数式，可令其等于k(k>0)，然后将指数式转换为对数式，再由换底公式将各指数的倒数化为同底的对数，从而解决问题.2.解决对数应用问题时，首先要理解题意，弄清关键词及字母的含义，然后设未知数，建立数学模型，最后转化为常用对数问题来求解.4.2.3对数函数的性质与图像一、对数函数1.一般地，函数y=logax称为对数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.2.对数函数解析式的结构特征(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)真数是自变量x，且x的系数是1；(3)logax的系数是1.二、对数函数的性质与图象函数y=logax(a>0且a≠1)a>10<a<1图象 性质定义域(0，+∞)值域R奇偶性非奇非偶函数定点图象过定点(1，0)函数值的变化x∈(0，1)时，y∈(-∞，0)；x∈[1，+∞)时，y∈[0，+∞)x∈(0，1)时，y∈(0，+∞)；x∈[1，+∞)时，y∈(-∞，0]单调性增函数减函数1.对数函数y=logax与y=log1ax(a>0且a≠2.单调性相同的对数函数，它们位于直线x=1右侧部分的图象满足“底大图低”的规律.利用此性质可比较不同对数函数的底数大小，具体方法如下：作直线y=1与各个对数函数的图象，在第一象限内，从左到右，对数函数的底数逐渐增大.三、比较对数值的大小1.同底数的利用对数函数的单调性进行判断.2.同真数的利用对数函数的图象进行判断，或先用换底公式进行转化，然后判断.3.底数和真数都不同的，找中间量.4.若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.四、解对数不等式1.形如logaf(x)>logab(a>0且a≠1)的不等式，借助函数y=logax的单调性求解，如果a的取值不确定，则需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论.2.形如logaf(x)>b(a>0且a≠1)的不等式，先将b化成以a为底数的对数式的形式(即b=logaab)，再借助函数y=logax的单调性求解.3.形如logf(x)a>logg(x)a的不等式，利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用图象求解.五、与对数函数有关的函数的定义域、值域1.对数型函数的定义域(1)求对数型函数的定义域，要注意真数必须大于0，如在y=logaf(x)(a>0且a≠1)中应首先保证f(x)>0；(2)若底数中也含有变量，则底数应大于0且不等于1.2.求对数型函数值域的常用方法(1)直接法：根据函数解析式的特征，由函数自变量的范围直接得出函数的值域.(2)配方法：当所给的函数可化为二次函数形式(形如y=m[f(logax)]2+nf(logax)+c(a>0且a≠1，m≠0))时，可以用配方法求函数的值域.(3)单调性法：根据所给函数在其定义域(或定义域的某个子集)上的单调性，求出函数的值域.(4)换元法：求形如y=logaf(x)(a>0且a≠1)的函数的值域时，先换元，令u=f(x)，利用此函数的图象和性质求出u的范围，再利用y=logau的单调性、图象求出y的取值范围.五、与对数函数有关的函数的单调性1.“定义域优先”原则：单调区间是定义域的子集.求函数的单调区间时一定要先求其定义域.2.与对数函数有关的函数的单调性的判断方法（1）形如y=logaf(x)(a>0且a≠1)的复合函数，当a>1时，y=logaf(x)的单调性与y=f(x)的单调性相同；当0<a<1时，y=logaf(x)的单调性与y=f(x)的单调性相反.（2）形如y=f(logax)(a>0且a≠1)的复合函数，一般用复合函数单调性的规律判断，先令t=logax，然后只需研究t=logax与y=f(t)的单调性即可.4.3指数函数与对数函数的关系一、反函数1.反函数的概念一般地，如果在函数y=f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y=f(x)的反函数.此时，称y=f(x)存在反函数.函数y=f(x)的反函数记作y=f-1(x).2.函数y=f(x)与y=f-1(x)的定义域和值域正好互换，且它们的图象关于直线y=x对称.3.对反函数概念的理解(1)并不是任意一个函数y=f(x)都存在反函数，只有当函数的定义域与值域中的值是一一对应的关系时，这个函数才存在反函数.(2)反函数也是函数.(3)互为反函数的两个函数在相应区间上的单调性一致.(4)奇函数不一定存在反函数，若存在，它的反函数也是奇函数；偶函数一定不存在反函数.(5)因为互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称，所以若y=f(x)的图象过点(a，b)，则点(b，a)必在其反函数的图象上.4.求反函数的基本步骤(1)求函数y=f(x)的值域，它是反函数的定义域；(2)由y=f(x)解出x=f-1(y)；(3)交换x，y，得y=f-1(x)；(4)写出反函数的定义域.4.4幂函数一、幂函数的概念1.一般地，函数y=xα称为幂函数，其中α为常数.二、常见幂函数的性质与图象1.常见幂函数的性质幂函数y=xy=x2y=x3y=xy=x-1定义域RRR[0，+∞)(-∞，0)∪(0，+∞)值域R[0，+∞)R[0，+∞)(-∞，0)∪(0，+∞)单调性增函数在[0，+∞)上单调递增，在(-∞，0)上单调递减增函数增函数在(0，+∞)上单调递减，在(-∞，0)上单调递减奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数公共点图象都经过点(1，1)2.在同一平面直角坐标系内作出函数y=x，y=x2，y=x3，y=x12，y=x-1的图象， 三、幂函数的共同特征1.所有的幂函数在区间(0，+∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点(1，1).2.如果α>0，则幂函数y=xα的图象通过原点，并且在区间[0，+∞)上是增函数.3.如果α<0，则幂函数y=xα在区间(0，+∞)上是减函数，且在第一象限内：当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方且无限地逼近y轴；当x无限增大时，图象在x轴上方且无限地逼近x轴.四、幂函数图象的应用1.根据幂函数在第一象限内的图象可以确定幂指数α与0，1的大小关系.2.依据图象高低可以判断幂指数的大小，相关结论如下：(1)在x∈(0，1)上，幂指数越大，幂函数的图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)；(2)在x∈(1，+∞)上，幂指数越大，幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”).五、幂函数的性质的应用1.幂函数y=xα中只有一个参数α，幂函数的所有性质都与α的取值有关，故可由α确定幂函数的定义域、值域、单调性、奇偶性.反过来，也可由幂函数的性质去限制α的取值：(1)利用幂函数的单调性求出α的取值范围；(2)由奇偶性结合所给条件确定α的值.4.5增长速度的比较一、平均变化率1.定义：函数f(x)在区间[x1，x2](x1<x2)上的平均变化率为ΔfΔx=f(2.实质：平均变化