高考数复习函数应用

函数应用A组1．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x(x＋4)，x<0，,x(x－4)，x≥0.))则函数f(x)的零点个数为________．解析：只要画出分段函数的图象，就可以知道图象与x轴有三个交点，即函数的零点有3个．答案：32．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为___．x－10123ex0.3712.727.3920.09x＋212345解析：据题意令f(x)＝ex－x－2，由于f(1)＝e1－1－2＝2.72－3<0，f(2)＝e2－4＝7.39－4>0，故函数在区间(1,2)内存在零点，即方程在相应区间内有根．答案：(1,2)3．偶函数f(x)在区间[0，a](a>0)上是单调函数，且f(0)·f(a)<0，则方程f(x)＝0在区间[－a，a]内根的个数是__________．解析：由题意函数f(x)在区间[0，a](a>0)上是单调函数，且f(0)·f(a)<0，根据零点存在定理知：在区间[0，a]内函数f(x)一定存在惟一零点且f(0)≠0，又函数f(x)是偶函数，故其在[－a,0]也惟一存在一个零点，所以方程f(x)＝0在区间[－a，a]内根的个数为2.答案：24．(2009年高考浙江卷)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表低谷时间段用电价格表高峰月用电量(单位：千瓦时)高峰电价(单位：元/千瓦时)低谷月用电量(单位：千瓦时)低谷电价(单位：元/千瓦时)根据表中数据，推测繁殖到1000个细胞时的时刻t最接近于________分钟．解析：由表格中所给数据可以得出n与t的函数关系为n＝2eq\f(t,20)，令n＝1000，得2eq\f(t,20)＝1000，又210＝1024，所以时刻t最接近200分钟．答案：2005．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝eq\f(1,2)n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年．解析：由题知第一年产量为a1＝eq\f(1,2)×1×2×3＝3；以后各年产量分别为an＝f(n)－f(n－1)＝eq\f(1,2)n·(n＋1)(2n＋1)－eq\f(1,2)n·(n－1)(2n－1)＝3n2(n∈N*)，令3n2≤150，得1≤n≤5eq\r(2)⇒1≤n≤7，故生产期限最长为7年．答案：76．(2010年苏、锡、常、镇四市调研)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km(不超过3km按起步价付费)；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.解析：设乘客每次乘坐出租车需付费用为f(x)元，由题意可得：f(x)＝令f(x)＝22.6，解得x＝9.答案：97.(2010年绍兴第一次质检)一位设计师在边长为3的正方形ABCD中设计图案，他分别以A、B、C、D为圆心，以b(0<b≤eq\f(3,2))为半径画圆，由正方形内的圆弧与正方形边上线段(圆弧端点在正方形边上的连线)构成了丰富多彩的图形，则这些图形中实线部分总长度的最小值为________．解析：由题意实线部分的总长度为l＝4(3－2b)＋2πb＝(2π－8)b＋12，l关于b的一次函数的一次项系数2π－8<0，故l关于b的函数单调递减，因此，当b取最大值时，l取得最小值，结合图形知，b的最大值为eq\f(3,2)，代入上式得l最小＝(2π－8)×eq\f(3,2)＋12＝3π.答案：3π8．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度vm/s和燃料的质量Mkg，火箭(除燃料外)的质量mkg的函数关系是v＝2000·ln(1＋M/m)．当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12km/s.解析：由题意得2000ln(1＋eq\f(M,m))≤12000，∴eq\f(M,m)≤e6－1.答案：e6－19．(2010年浙江省宁波市十校高三联考)定义域为R的函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,|x－1|)，x≠1,1，x＝1))若关于x的函数h(x)＝f2(x)＋bf(x)＋eq\f(1,2)有5个不同的零点x1，x2，x3，x4，x5，则x12＋x22＋x32＋x42＋x52等于________．解析：假设关于t的方程t2＋bt＋eq\f(1,2)＝0不存在t＝1的根，则使h(x)＝0的f(x)的值也不为1，而显然方程f(x)＝k且k≠1的根最多有两个，而h(x)是关于f(x)的二次函数，因此方程h(x)＝0的零点最多有四个，与已知矛盾，可见t＝1时t2＋bt＋eq\f(1,2)＝0，即得b＝－eq\f(3,2)，所以h(x)＝f2(x)－eq\f(3,2)f(x)＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(f(x)－1)(2f(x)－1)，而方程f(x)－1＝0的解为x＝0,1,2，方程2f(x)－1＝0的解为x＝－1,3，由此可见五根分别为－1，0,1,2,3，因此直接计算得上述五数的平方和为15.答案：1510.(2010年黑龙江哈尔滨模拟)某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售．同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：,消费金额(元)的范围[200,400)[400,500)[500,700)[700,900)…获得奖券的金额(元)3060100130…根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：400×0.2＋30＝110(元)．设购买商品的优惠率＝eq\f(购买商品获得的优惠额,商品的标价).试问：(1)购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？(2)对于标价在[500,800)(元)的商品，顾客购买标价为多少元的商品时，可得到不小于eq\f(1,3)的优惠率？解：(1)eq\f(1000×0.2＋130,1000)＝eq\f(33,100)，即顾客得到的优惠率是eq\f(33,100).(2)设商品的标价为x元，则500≤x<800.则消费金额满足400≤0.8x<640.当400≤0.8x<500，即500≤x<625时，由eq\f(0.2x＋60,x)≥eq\f(1,3)解得x≤450，不合题意；当500≤0.8x<640.即625≤x<800时，由eq\f(0.2x＋100,x)≥eq\f(1,3)解得625≤x≤725.因此，当顾客购买标价在[625,725](元)内的商品时，可得到不小于eq\f(1,3)的优惠率．11．已知某企业原有员工2000人，每人每年可为企业创利润3.5万元．为应对国际金融危机给企业带来的不利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分流出一部分员工待岗．为维护生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%，并且每年给每位待岗员工发放生活补贴0.5万元．据评估，若待岗员工人数为x，则留岗员工每人每年可为企业多创利润(1－eq\f(81,100x))万元．为使企业年利润最大，应安排多少员工待岗？解：设重组后，该企业年利润为y万元．依题意得y＝(2000－x)(3.5＋1－eq\f(81,100x))－0.5x＝－5(x＋eq\f(324,x))＋9000.81，∴y＝－5(x＋eq\f(324,x))＋9000.81(0<x≤100且x∈N)，y＝－5(x＋eq\f(324,x))＋9000.81≤－5×2eq\r(324)＋9000.81＝8820.81，∴当且仅当x＝eq\f(324,x)，即x＝18时取等号，此时y取得最大值．即为使企业年利润最大，应安排18人待岗．12．(2010年扬州调研)某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量．(1)若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？(2)若年销售量T关于x的函数为T＝3240(－x2＋2x＋eq\f(5,3))，则当x为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？解：(1)由题意得：上年度的利润为(13－10)×5000＝15000万元；本年度每辆车的投入成本为10×(1＋x)万元；本年度每辆车的出厂价为13×(1＋0.7x)万元；本年度年销售量为5000×(1＋0.4x)辆．因此本年度的利润为y＝[13×(1＋0.7x)－10×(1＋x)]×5000×(1＋0.4x)＝(3－0.9x)×5000×(1＋0.4x)＝－1800x2＋1500x＋15000(0<x<1)．由－1800x2＋1500x＋15000>15000，解得0<x<eq\f(5,6).为使本年度的年利润比上年度有所增加，则0<x<eq\f(5,6).(2)本年度的利润为f(x)＝[13×(1＋0.7x)－10×(1＋x)]×3240×(－x2＋2x＋eq\f(5,3))＝3240×(0.9x3－4.8x2＋4.5x＋5)，则f′(x)＝3240×(2.7x2－9.6x