gl81-概率论与数理统计2版(上交大)课件

对于一个或多个总体的未知概率分布或参数作出假设，所作的假设可以是正确的,也可以是错误的.为判断所作的假设是否正确,从总体中抽取样本,根据样本的取值,按一定的原则进行检验,然后,作出接受或拒绝所作假设的决定.§8.1.假设检验的基本概念进行假设检验的原则为实际推断原理:小概率事件(0.05或0.01)在一次试验中几乎是不可能发生的.1例1.某厂生产的一种螺钉,按标准要求强度为68克/mm2,而实际生产的螺钉的强度为随机变量X,已知它服从正态分布N(,3.62).

若E(X)==68,则认为这批螺钉符合要求,否则,认为不符合要求.为此提出如下假设:原假设的对立面:H1:

68称为备择假设从该厂生产的螺钉中随机地抽取了一个容量为36的样本,样本均值,问原假设是否正确?H0:=68称为原假设或零假设

2若原假设正确,因而,即偏离68不应该太远,故取较大值是小概率事件是小概率事件,偏离较远由于则3规定为小概率事件的概率大小,通常取

=0.05,0.01,…例如,取=0.05,则因此,可以确定一个常数c,使得4由可以确定区间称的取值区间(66.824,69.18)现落入接受域,为检验的接受域(实际上是没有理由拒绝),而区间(,66.824)与(69.18,+)为检验的拒绝域则接受原假设H0:=685由本例可见,在给定的前提下,接受还是拒绝原假设完全取决于样本值,因此可能导致错误的结论.H0

为真H0

为假真实情况所作判断接受H0拒绝H0正确正确第一类错误(弃真)第二类错误(取伪)假设检验的两类错误犯第一类错误的概率通常记为

犯第二类错误的概率通常记为6希望所用的检验方法尽量少犯错误,但不能完全排除犯错误的可能性.理想的检验方法应使犯两类错误的概率都很小,但在样本的容量给定的情形下,不可能使两者都很小,降低一个,往往使另一个增大.假设检验的指导思想是控制犯第一类错误的概率，使其不超过,然后,若有必要,通过增大样本容量的方法,减小犯第二类错误的概率.

7犯第一类错误的概率

P(拒绝H0|H0为真)若H0为真,则所以,拒绝H0的概率为,又称为显著性水平,越大,犯第一类错误的概率越大,即越显著.本例中8H0不真,即68,可能小于68,也可能大于68,的大小取决于的真值的大小.下面计算犯第二类错误的概率(P.252)设=66,n=36,=P(接受H0|H0不真)9若=69,n=36,取伪的概率较大10/2/2H0真H0不真11仍取=0.05,则由可以确定拒绝域为(,67.118)与(68.882,+)因此，接受域为(67.118,68.882)现增大样本容量,取n=64,=66,则1213注1º一般地,在作假设检验时,先控制犯第一类错误的概率,在保证的条件下使尽量地小.要降低一般要增大样本容量.当H0

不真时,参数值越接近真值,越大,本课程仅考虑.注2º备择假设可以是单侧的,也可以是双侧的.上例中的备择假设是双侧的.如果,根据以往的生产情况,

0=68.现采用了新工艺,关心的是新工艺能否提高螺钉强度,越大越好.此时,可作如下的假设检验:原假设H0:=68备择假设H1:

>6814当原假设H0:=0=68为真时,取较大值的概率较小当备择假设H1:>68为真时,取较大值的概率较大给定显著性水平,根据可确定拒绝域15因而,接受域称这种检验为右边检验.原假设H0:68备择假设H1:

>68另外,可设16若原假设正确,则但现不知的真值，只知0=68—小概率事件故取拒绝域显著性水平不超过17注3º哪个假设作为零假设,哪个假设选作备择假设?H0

与H1地位应该平等,但在控制犯第一类错误的概率的原则下,使得采取拒绝H0的决策变得较慎重,即H0

得到特别的保护.因而,通常把有把握的、有经验的结论作为原假设，或者，尽可能使后果严重的错误成为第一类错误。18假设检验的步骤:

其中根据实际问题所关心的内容,建立原假设H0与备择假设H1

在

H0为真时,选择一个合适的检验

统计量V,它的分布是已知的,由H1

确定拒绝域的形式

给定显著性水平,对应的拒绝域双侧检验右边检验左边检验19§8.2.正态总体常用参数的假设检验(1)一个正态总体:X~N(2)

显著性水平,样本值(x1,x2,…,xn)0000

2已知

<

0

2已知

>

0

2已知关于参数的假设检验原假设H0备择假设H1条件检验统计量及其H0为真时的分布拒绝域20原假设H0备择假设H1条件检验统计量及其H0为真时的分布拒绝域0000

2未知

<

0

2未知

>

0

2未知21原假设H0备择假设H1条件检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域2=02202已知2=02202未知关于参数2的假设检验22原假设

H0备择假设

H1条件检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域2022>02未知2<02未知20223(2)两个正态总体:

X~N(1

1

2),Y~

N(2

2

2),

X,Y相互独立,样本(X1,X2,…,Xn),

(Y1,Y2,…,Ym),

样本值(x1,x2,…,xn),

(y1,y2,…,ym),

显著性水平24原假设H0备择假设H1条件检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域1–2

=12,

22已知关于参数1–2

的假设检验1–2

1–2

1–2

<

1–2>

1–2

12,

22已知12,

22已知25原假设H0备择假设H1条件检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域1–2

=12,

22未知12=

221–2

1–2

1–2

<

1–2>

1–2

12,

22未知12=

2212,

22未知12=

22其中26原假设H0备择假设H1条件检验统计量及其在H0为真时的分布拒绝域

12=

22

12

221,

2未知

12

22

12>

22

1,

2未知

12

22

12<

22,

2未知关于参数方差比

12

/

22的假设检验27区间估计与假设检验的关系对同一总体的同一参数的显著性水平为的接受域即为置信度为1-

的置信区间,假设检验所选的统计量与求置信区间所选的枢轴量是同一函数.正态总体N(,2),2的双侧假设检验与置信区间对照28原假设H0备择假设H1检验统计量及其在H0为真时的分布接受域条件置信区间枢轴量及其分布待估参数2

已知

0029原假设H0备择假设H1检验统计量及其在H0为真时的分布接受域条件置信区间枢轴量及其分布待估参数

2未知

0

030原假设H0备择假设H1检验统计量及其在H0为真时的分布接受域条件置信区间枢轴量及其分布待估参数未知2022=02231例1.某厂生产小型马达,在其说明书上写着:这种小型马达在正常负载下平均消耗电流不会超过0.8安培.现随机抽取16台马达试验,求得平均消耗电流为0.92安培,消耗电流的标准差为0.32安培.假设马达所消耗的电流服从正态分布,取显著性水平为=0.05,则根据这个样本,能否否定厂方的断言?32解一H0:0.8

H1:>0.8

选用统计量:查表得t0.05(15)=1.753,故拒绝域现故接受原假设,即不能否定厂方断言.n=16未知s=0.3233解二H0:

0.8

H1:<0.8

选用统计量:查表得t0.05(15)=1.753,故拒绝域现故接受原假设,即否定厂方断言.34随着对问题的提法不同(把哪个假设作为原假设),统计检验的结果也会不同.由于假设检验是控制犯第一类错误的概率,使得拒绝原假设H0

的决策变得比较慎重,也就是H0得到特别的保护.因而,通常把有把握的,经验的结论作为原假设,或者,尽量使后果严重的错误成为第一类错误.上述两种解法的立场不同，因此得到不同的结论.第一种假设是不轻易否定厂方的结论；第二种假设是不轻易相信厂方的结论.35例2.新设计的某种化学天平，其测量的误差服从正态分布，现要求99.7%的测量误差不超过0.1mg,即要求30.1.现拿它与标准天平相比，得10个误差数据，其样本方差s2=0.0009.试问在=0.05的水平上能否认为满足设计要求？(P.73)解H0:1/30H1:>1/30拒绝域：—接受原假设36例3.假设机器A和机器B

都生产钢管,要检验A和B

生产的钢管的内径的稳定程度.设它们生产的钢管内径分别为X和Y,都服从正态分布X~N(1,

12),Y~N(2,

22)现从机器A生产的钢管中抽出18根,测得s12=0.34,

从机器B生产的钢管中抽出13根,测得s22=0.29,设两样本独立.问是否能认为两台机器生产的钢管内径的稳定程度相同?(取=0.1)37解H0:

12=

22

H1: