高中快车道数学必修第一册课件第二章2 2基本不等式课时

第二章一元二次函数、方程和不等式高中快车道成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群483122854联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存，自动更新，永不过期2.2

基本不等式课时4

基本不等式(2)高中快车道教学目标掌握基本不等式及相关重要不等式,理解基本不等式成立及应用的条件.能正确地运用基本不等式求解最值问题,提高分析问题和解决问题的能力.渗透等价转化、分类讨论等数学思想,积累数学解题经验,培养理性思维的品质.学习目标课程目标学科核心素养掌握用基本不等式求代数式最值的方法，会灵活创造基本不等式成立的条件通过创造基本不等式成立的条件，发展数学抽象素养灵活运用基本不等式解决不等式恒成立问题通过运用基本不等式解决不等式恒成立问题，发展数学运算、逻辑推理的素养情境导学甲、乙两公司每一次在同一电脑耗材厂以相同价格购进电脑芯片．已知甲、乙两公司共购芯片两次，每次的芯片价格不同，甲公司每次购10

000片芯片，乙公司每次购10000元芯片．两次购芯片，哪家公司平均成本较低？你能解决这一问题吗？通过这一问题的解决，你能得出哪些启示？【活动1

】

对基本不等式进行变形与引申【问题1】由基本不等式出发，通过变形引申，你还能得出哪些重要的不等式？初探新知【活动2

】

探究运用基本不等式求代数式最值的方法和规律【问题2】௫【问题4】满足什么条件的代数式能够利用基本不等式模型求最值？【问题5】你能归纳出利用基本不等式模型求最值的基本方法吗？【问题6】在多次使用基本不等式求最值时，我们应注意什么问题？【问题7】两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值吗？【问题8】当利用基本不等式求最大(小)值时，若等号取不到，应如何处理？【问题3】你能求x+ଵ(x>0)最小值吗?【问题9】甲、乙、丙三位同学对问题“当1≤x≤12时，关于x的不等式x2＋4≥(a2＋3a)x恒成立，求实数a的取值范围．”提出了各自的解题思路甲说：“只需要利用不等式左边的最小值大于等于右边的最大值．”乙说：“把不等式变形为左边含有变量x的函数，右边仅含所求参数a，转化为求左边函数的最值．”丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数的图象求解．”参考上述解题思路，请你评价上述三种方法．【问题10】

请你尝试用乙同学的方法解决上述问题．【活动3

】明确不等式恒成立问题中参数取值范围的处理策略典例精析【例1】思路点拨：(1)由x>2知x-2>0,可通过配凑积为常数,运用基本不等式求最小值.(2)由0<x<2,将函数式变形为y=𝐱𝟐ሺ𝟒−𝐱𝟐ሻ,注意到x2+(4-x2)=4为定值,可运用基本不等式求最大值及相应的x的值.【解】【方法规律】利用基本不等式求最值：(1)前提是“一正”“二定”“三相等”，三者缺一不可；(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式求解.【变式训练1】[教材改编题](1)已知0<x<1,求x(4-3x)的最大值及取得最大值时相应的x的值;𝐱ା𝟐(2)已知代数式x+

𝟏𝟔

(x<-2),求此代数式的最值.【解】𝟑

𝟑

𝟐

𝟑(1)因为x(4-3x)=𝟏·(3x)(4-3x)≤𝟏·

𝟑𝐱ା(𝟒ି𝟑𝐱)𝟐=𝟒,当且仅当3x=4-3x,即x=𝟐时,取等号.所以x(4-3x)的最大值为𝟒,当x(4-3x)取𝟑

𝟑𝟑最大值时,x的值为𝟐.(2)由x<-2可得-(x+2)>0,所以-(x+2)+−

𝟏𝟔𝐱ା𝟐𝐱ା𝟐≥2

−(𝐱

+

𝟐)

· −

𝟏𝟔

=8,当且仅当-(x+2)=-

𝟏𝟔

,即x=-6时,等号成立,因此(x+2)+

𝟏𝟔

≤-8,即𝐱ା𝟐

𝐱ା𝟐x+

𝟏𝟔

≤-10,当且仅当x=-6时,等号成立,故所求代数式的最大值为-10,无𝐱ା𝟐最小值.【例2】若正数x，y满足xy＋2x＋y＝8.求xy的最大值；求x＋y的最小值．思路点拨：这是一个二元变量的条件最值问题，可以运用条件消去其中的一元，转化为一元变量的函数，再运用基本不等式求出其最值，也可以运用基本不等式进行整体处理．【解】𝟖ି𝟐𝐱𝐱

>

𝟎,正数x,y满足xy+2x+y=8,所以y=𝐱ା𝟏

.由ቐ𝐲=𝟖ି𝟐𝐱

>𝟎,可得0<x<4.𝐱ା𝟏(1)方法1:xy=x(𝟖ି𝟐𝐱)=𝐱(𝟖ି𝟐𝐱)=-𝟐𝐱𝟐ି𝟖𝐱,其中0<x<4.令t=x+1,由0<x<4,得1<t<5,所以𝐱ା𝟏

𝐱ା𝟏

𝐱ା𝟏xy=-𝟐(𝐭ି𝟏)𝟐ି𝟖(𝐭ି𝟏)=-2

𝐭

+

𝟓

+12.因为t+𝟓≥2

𝐭

·

𝟓=2

𝟓,当且仅当t=

𝟓,即x=

𝟓-1时,等号𝐭

𝐭

𝐭

𝐭成立.所以xy≤12-4

𝟓,即xy的最大值为12-4

𝟓.方法2:由x>0,y>0,8=xy+2x+y≥xy+2

𝟐𝐱𝐲,令

𝐱𝐲=t>0,则t2+2

𝟐t-8≤0,由此可得t≤

𝟏𝟎-

𝟐,即

𝐱𝐲≤

𝟏𝟎-

𝟐,当且仅当𝐱𝐲

+

𝟐𝐱

+

𝐲

=

𝟖,𝐲

=

𝟐

𝟓−

𝟐𝟐𝐱

=

𝐲,൞

𝐱𝐲

= 𝟏𝟎

− 𝟐,即൝

𝐱

=

𝟓−

𝟏,

时,等号成立,从而xy≤12-4

𝟓,即xy的最大值为12-4

𝟓.(2)

x+y=x+𝟖ି𝟐𝐱=x+1+ି𝟐(𝐱ା𝟏)ା𝟏𝟎-1=x+1+

𝟏𝟎

-3≥2𝐱ା𝟏

𝐱ା𝟏

𝐱ା𝟏𝐱ା𝟏(𝐱

+

𝟏)

·

𝟏𝟎

-3=2𝟏𝟎-3,当且仅当x+1=

𝟏𝟎

,即x=𝟏𝟎-1时取等号,所以x+y的最小值为2

𝟏𝟎-3.𝐱ା𝟏【方法规律】求解二元变量的最值，基本不等式是一个有力的工具，其基本思路有二：一是根据题目中表达式的特征，发现“正数”“定和”或“定值”，进行整体处理，直接运用基本不等式求解；二是“消元”，将其转化为一元变量的函数，再运用基本不等式求出其最值．解题时要根据问题的条件灵活地加以选择．【变式训练2】已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为

6

.【解】方法1(整体凑配法):由已知得x+3y=9-xy,因为x>0,y>0,所以x+3y≥2

𝟑𝐱𝐲,所以𝟐3xy≤𝐱ା𝟑𝐲

𝟐,又xy=9-(x+3y),所以3xy=27-3(x+3y),𝟐即27-3(x+3y)≤𝐱ା𝟑𝐲

𝟐,(x+3y)2+12(x+3y)-108≥0,令x+3y=t,则t>0,且t2+12t-108≥0,得t≥6,当且仅当ቐ𝐱

=

𝟑𝐲,𝐱

+

𝟑𝐲

=

𝟔,𝐱

+

𝟑𝐲

+

𝐱𝐲

=

𝟗,即x=3,y=1时取等号,所以x+3y的最小值为6.【解】𝐱

𝐲【例3】[2021·江苏省盐城中学高一期中改编题]已知不等式(x+y)𝟏

+𝐚

≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为

)A.

2 B.

4 C.

6 D.

8思路点拨

将不等式恒成立转化为左边代数式的最小值大于等于9恒成立求解．将不等式的左边展开，利用基本不等式求出最小值，令最小值大于等于9，解不等式求出a的范围，进而求出a的最小值.(

B【解】【方法规律】不等式恒成立问题常转化为最值问题.若f(x)存在最值,则f(x)≥0恒成立⇔f(x)min≥0,f(x)≤0恒成立⇔f(x)max≤0;有时候运用参变分离法可简化求解过程,如λ≥f(x)恒成立⇔λ≥f(x)max,λ≤f(x)恒成立⇔λ≤f(x)min.【变式训练3】【解】𝐚ି𝐛

𝐛ି𝐜

𝐚ି𝐜（备选例题）(1)

设a>b>c,且

𝟏

+

𝟒

≥

𝐤

恒成立,则k的取值范围为

.(2)已知a,b∈R,a2+b2-ab=2,①求a+b的最值;②求ab的最值.【解】𝐚ି𝐛

𝐛ି𝐜

𝐚ି𝐜(1)记x=a-b,y=b-c,则a-c=x+y,因为a>b>c,所以x>0,y>0,

𝟏

+

𝟒

≥

𝐤

恒成立,即等价于k≤𝟏

+𝟒

(x+y),由𝟏

+𝟒

(x+y)=5+𝐲+𝟒𝐱≥5+2𝐱

𝐲

𝐱

𝐲

𝐱

𝐲𝐲

·

𝟒𝐱=9,当且仅当𝐲=𝟒𝐱,即y=2x时等号𝐱

𝐲

𝐱

𝐲成立,所以k≤9,即k的取值范围是k≤9. (2)

①

由a2+b2-ab=2可得(a+b)2=2+3ab,所以𝟑

𝟐ab=𝟏[(a+b)2-2],由ab≤𝐚ା𝐛

𝟐可得𝟏[(a+b)2-2]≤𝐚ା𝐛

𝟐,所以-2

𝟐≤a+b≤2

𝟐,当且仅𝟑

𝟐当a=b=𝟐时,取得最大值2

𝟐,当且仅当a=b=-𝟐时,取得最小值-2𝟐.②由a2+b2-ab=2𝟑可得a2+b2=2+ab,由a2+b2≥2|ab|可得2+ab≥2|ab|,所以-𝟐≤ab≤2,当且仅当a=b=𝟐时,取得最大值2,当且仅当a=-b=

𝟔或a=-b=-

𝟔时,取得最小值-𝟐.𝟑

𝟑

𝟑【方法规律】(1)不等式恒成立问题常转化为最值问题研究.(2)求最值问题,可运用基本不等式,或直接构造不等关系求解.课堂反思1.通过本节课的学习，你学到了哪些知识？2.你认为本节课的重点和难点是什么？随堂演练ACC1.

已知x>0,y>0,若x+y=4,则xy的最大值为(D

)A.

1 B.

2 C.

3 D.

42.

[2021·重庆市高一期末改编题]若x,y是正数,ଽ