经典高等数学幂级数

1第1页，课件共27页，创作于2023年2月2.正项级数的审敛法(2)比值法(1)比较法(3)根值法设和均为正项级数.(常数k>0)；若大的收敛，则小的也收敛；若小的发散，则大的也发散.1)当2)当时,收敛;或时,发散.3.交错级数的审敛法(莱布尼茨审敛法)(i)(ii)2第2页，课件共27页，创作于2023年2月第三节一、函数项级数的概念

二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算幂级数第十二章3第3页，课件共27页，创作于2023年2月一、函数项级数的概念1.定义：为定义在区间I

上的函数项级数.记为即例如：级数级数定义在的级数4第4页，课件共27页，创作于2023年2月对若常数项级数敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域;若常数项级数收敛,发散,所有为其收为其发散点,发散点的全体称为其发散域.2.收敛点与收敛域:例如级数收敛域为(－1,1);发散域为注意：函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.5第5页，课件共27页，创作于2023年2月为级数的和函数,

并写成若用则余项则在收敛域上有表示函数项级数前n

项的和,即在收敛域上,函数项级数的和是

x

的函数称它3.和函数:(定义域是?)如:6第6页，课件共27页，创作于2023年2月二、幂级数及其收敛性

形如的函数项级数称为幂级数,

其中数列下面着重讨论例如,幂级数为幂级数的系数.即是此种情形.的情形,即称1.定义：7第7页，课件共27页，创作于2023年2月2.幂级数收敛域的结构：显然，当x=0时，收敛.例如级数当时，收敛；当时，发散；收敛域为发散域为时，有和函数由此看出:它的收敛域是以原点为中心的对称区间.这个结论对于一般的幂级数也成立吗？.8第8页，课件共27页，创作于2023年2月定理1(阿贝尔Abel定理)(1)如果级数在处收敛，则它在满足不等式的一切x处绝对收敛.(2)如果级数在处发散，则它在满足不等式的一切x处发散.简记:收敛发散发散9第9页，课件共27页，创作于2023年2月阿贝尔(1802–1829)挪威数学家,近代数学发展的先驱者.他在22岁时就解决了用根式解5次方程的不可能性问题,他还研究了更广的一并称之为阿贝尔群.在级数研究中,他得到了一些判敛准则及幂级数求和定理.论的奠基人之一,他的一系列工作为椭圆函数研究开拓了道路.数学家们工作150年.类代数方程,他是椭圆函数C.埃尔米特曾说:阿贝尔留下的思想可供后人发现这是一类交换群,10第10页，课件共27页，创作于2023年2月定理1(阿贝尔Abel定理)(1)如果级数在处收敛，则它在满足不等式的一切x处绝对收敛.(2)如果级数在处发散，则它在满足不等式的一切x处发散.简记:绝对收敛发散发散11第11页，课件共27页，创作于2023年2月证:

设收敛,则必有于是存在常数M>0,使当时,收敛,故原幂级数绝对收敛.也收敛,如果级数在处收敛，则它在满足不等式的一切x处绝对收敛.12第12页，课件共27页，创作于2023年2月反之,若当时该幂级数发散,下面用反证法证之.假设有一点满足不等式所以若当满足且使级数收敛,面的证明可知,级数在点故假设不真.的x,原幂级数也发散.时幂级数发散,则对一切则由前也应收敛,与所设矛盾,证毕如果级数在处发散，则它在满足不等式的一切x处发散.如果级数在处收敛，则它在满足不等式的一切x处绝对收敛.13第13页，课件共27页，创作于2023年2月几何说明:绝对收敛发散发散说明:因此,阿贝尔定理刻画了幂级数的收敛域的特征14第14页，课件共27页，创作于2023年2月推论:不是仅在x=0一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个完全确定的正数R存在，它具有下列性质：如果幂级数幂级数绝对收敛；当时，幂级数发散；当时，当x=R与x=－R时，幂级数可能收敛也可能发散.绝对收敛发散发散15第15页，课件共27页，创作于2023年2月定义:正数R称为幂级数的收敛半径.绝对收敛发散发散绝对收敛当时，发散当时，的收敛半径为R称为幂级数的收敛区间.称为幂级数的收敛域.规定问题:如何求幂级数的收敛半径?(1)幂级数只在x=0处收敛时，收敛域为{0};(2)幂级数对一切x都收敛时，收敛区间为16第16页，课件共27页，创作于2023年2月如果幂级数的所有系数3.幂级数收敛半径的求法：定理2.

是它的相邻两项的系数且满足：则1)当≠0时,2)当＝0时,3)当＝∞时,的收敛半径为说明:据此定理知17第17页，课件共27页，创作于2023年2月证:1)若≠0,则根据比值审敛法可知:当原级数绝对收敛;当原级数发散.即时,即时,2)若则根据比值审敛法可知,绝对收敛,3)若则对除x=0以外的一切x原级发散,对任意

x原级数因此因此因此级数的收敛半径18第18页，课件共27页，创作于2023年2月说明:1)注意定理的条件：幂级数的所有系数是它的相邻两项的系数不缺项存在或为且2)定理的条件是结论的充分条件，不是必要条件.3)定理的证明中找收敛半径的方法叫比值法(或根值法),该法适用于任何函数项级数.4)用定理找收敛半径的方法叫公式法，该法适用于标准的幂级数(即不缺项的).19第19页，课件共27页，创作于2023年2月对端点x=－1,

的收敛半径及收敛域.解:对端点x=1,级数为交错级数收敛;级数为发散.故收敛域为例1.求幂级数

20第20页，课件共27页，创作于2023年2月例2.

求下列幂级数的收敛域:解:(1)所以收敛域为(2)所以级数仅在x=0处收敛.规定:0!=121第21页，课件共27页，创作于2023年2月解:缺少偶次幂的项级数绝对收敛,级数发散,例3.求幂级数的收敛区间及收敛域.考虑级数应用直接法，即时，即时，级数为22第22页，课件共27页，创作于2023年2月级数发散,因为原级数的收敛区间为所以原级数的收敛域为:级数为级数为当时，当时，级数发散,例3.求幂级数的收敛区间及收敛域.23第23页，课件共27页，创作于2023年2月例4.的收敛半径.解:

级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径.时级数绝对收敛时级数发散故收敛半径为故直接由24第24页，课件共27页，创作于2023年2月例4.的收敛半径.另解:

级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,可通过换元化为标准型再求.级数变为故收敛半径为时原级数绝对收敛.25第25页，课件共27页，创作于2023年2月例5.解:

令级数变为当t=2

时,级数为此级数发散;当t=–2时,级数为此级数条件收敛;因此级数的收敛域为故原级数的收敛域